高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)

一、問題的提出1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題如圖,取極限得一、問題的提出1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題如圖,取極限得12.切線問題割線的極限位置——切線位置播放2.切線問題割線的極限位置——切線位置播放2如圖,如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線.極限位置即如圖,如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位3二、導(dǎo)數(shù)的定義定義二、導(dǎo)數(shù)的定義定義4其它形式即其它形式即5★★關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：★★關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：6注意:★注意:★7播放2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).播放2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).8★2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):★★2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):★9★★★★10高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)11三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:例1解三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:例1解12例2解例2解13例3解更一般地例如,例3解更一般地例如,14例4解例4解15例5解例5解16例6解例6解17四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程為法線方程為四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程為法線方程為18例7解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為例7解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方19五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證20連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如,注意:該定理的逆定理不成立.★連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如,注意:該定理的逆定理不成立.2101例如,01例如,22例如,011/π－1/π例如,011/π－1/π23高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)24例8解例8解25六、小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.六、小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何26思考題思考題27思考題解答思考題解答28高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)29高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)30高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)31練習(xí)題答案練習(xí)題答案322.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置332.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置342.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置352.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置362.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置372.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置382.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置392.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置402.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置412.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置422.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).432.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).442.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).452.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).462.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).472.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).482.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).492.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).502.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).512.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).522.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).532.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).54一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理55證(3)證(1)、(2)略.證(3)證(1)、(2)略.56高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)57推論推論58二、例題分析例1解例2解二、例題分析例1解例2解59例3解同理可得例3解同理可得60例4解同理可得例5解同理可得例4解同理可得例5解同理可得61例6解例6解62高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)63三、小結(jié)注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.三、小結(jié)注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.64思考題求曲線上與軸平行的切線方程.思考題求曲線65思考題解答令切點(diǎn)為所求切線方程為和思考題解答令切點(diǎn)為所求切線方程為和66練習(xí)題練習(xí)題67高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)68練習(xí)題答案練習(xí)題答案69一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒70證于是有證于是有71例1解同理可得例1解同理可得72例2解特別地例2解特別地73二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因74證證75推廣例3解推廣例3解76例4解例5解例4解例5解77例6解例7解例6解例7解78三、小結(jié)反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.三、小結(jié)反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則79思考題思考題80思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導(dǎo)，取在處可導(dǎo)，在處不可導(dǎo)，取在處可導(dǎo)，在處可導(dǎo)，思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導(dǎo)81練習(xí)題練習(xí)題82高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)83練習(xí)題答案練習(xí)題答案84高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)85初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式862.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu==可導(dǎo)，則（1）vuvu￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數(shù))2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu=873.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完88例1解例1解89例2解例2解90小結(jié)任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.關(guān)鍵:正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).小結(jié)任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和91思考題冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（）.思考題冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（）.92思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導(dǎo)，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導(dǎo)93練習(xí)題練習(xí)題94練習(xí)題答案練習(xí)題答案95一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題:變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題:變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.定義96記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為97二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例1解1.直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例1解1.直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步98例2解例2解99例3解注意:

求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明)例3解注意:求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1-3或4階后,不要100例4解同理可得例4解同理可得101例5解例5解1022.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:萊布尼茲公式2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:萊布尼茲公式103例6解例6解1043.間接法:常用高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過四則運(yùn)算,變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).3.間接法:常用高階導(dǎo)數(shù)公式105例7解例7解106例8解例8解107三、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義；高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式);n階導(dǎo)數(shù)的求法;1.直接法;2.間接法.三、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義；高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式);108思考題設(shè)連續(xù)，且，求.思考題設(shè)連續(xù)，且109思考題解答可導(dǎo)不一定存在故用定義求思考題解答可導(dǎo)不一定存在故用定義求110練習(xí)題練習(xí)題111高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)112高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)113練習(xí)題答案練習(xí)題答案114高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)115一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能116例1解解得例1解解得117例2解所求切線方程為顯然通過原點(diǎn).例2解所求切線方程為顯然通過原點(diǎn).118例3解例3解119二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用120例4解等式兩邊取對(duì)數(shù)得例4解等式兩邊取對(duì)數(shù)得121例5解等式兩邊取對(duì)數(shù)得例5解等式兩邊取對(duì)數(shù)得122一般地一般地123三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難124由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得125高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)126例6解例6解127

所求切線方程為所求切線方程為128例7解例7解129高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)130例8解例8解131四、相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題:已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?四、相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題:已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另132例9解仰角增加率例9解仰角增加率133例10解水面上升之速率4000m例10解水面上升之速率4000m134五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則:直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo):實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率:通過函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的變化率;解法:

通過建立兩者之間的關(guān)系,用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解.五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則:直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:135思考題思考題136思考題解答不對(duì)．思考題解答不對(duì)．137練習(xí)題練習(xí)題138高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)139高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)140高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)141練習(xí)題答案練習(xí)題答案142高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)143一、問題的提出實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.一、問題的提出實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.144再例如,既容易計(jì)算又是較好的近似值問題:這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?再例如,既容易計(jì)算又是較好的近似值問題:這個(gè)線性函數(shù)(改變量145二、微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))二、微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))146由定義知:由定義知:147三、可微的條件定理證(1)必要性三、可微的條件定理證(1)必要性148(2)充分性(2)充分性149例1解例1解150四、微分的幾何意義MNT）幾何意義:(如圖)P四、微分的幾何意義MNT）幾何意義:(如圖)P151五、微分的求法求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式五、微分的求法求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.1522.函數(shù)和、差、積、商的微分法則2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則153例2解例3解例2解例3解154六、微分形式的不變性結(jié)論：微分形式的不變性六、微分形式的不變性結(jié)論：微分形式的不變性155例4解例3解例4解例3解156例5解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.例5解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.157七、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:★★七、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量158導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:★導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:★159思考題思考題160思考題解答說法不對(duì).從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.思考題解答說法不對(duì).從概念上講，微分是從求函161練習(xí)題練習(xí)題162高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)163練習(xí)題答案練習(xí)題答案164高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)165一、計(jì)算函數(shù)增量的近似值例1解一、計(jì)算函數(shù)增量的近似值例1解166二、計(jì)算函數(shù)的近似值例1解二、計(jì)算函數(shù)的近似值例1解167高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)168常用近似公式證明常用近似公式證明169例2解例2解170三、誤差估計(jì)由于測(cè)量?jī)x器的精度、測(cè)量的條件和測(cè)量的方法等各種因素的影響，測(cè)得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤差，我們把它叫做間接測(cè)量誤差.定義：?jiǎn)栴}:在實(shí)際工作中,絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差無法求得?三、誤差估計(jì)由于測(cè)量?jī)x器的精度、測(cè)量的條件和測(cè)量的方法等各種171辦法:將誤差確定在某一個(gè)范圍內(nèi).通常把絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限簡(jiǎn)稱為絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.辦法:將誤差確定在某一個(gè)范圍內(nèi).通常把絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限172例3解例3解173四、小結(jié)近似計(jì)算的基本公式四、小結(jié)近似計(jì)算的基本公式174練習(xí)題練習(xí)題175高等數(shù)學(xué)課件詳細(xì)176練習(xí)題答案第二章習(xí)題課練習(xí)題答案第二章習(xí)題課177求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)高階微分一、主要內(nèi)容求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)高階微分一1781、導(dǎo)數(shù)的定義定義1、導(dǎo)數(shù)的定義定義1792.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):1802、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）2、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）1813、求導(dǎo)法則(