分析力學第二章課件

第二章：動力學普遍方程和拉格朗日方程達朗伯原理：用靜力學平衡問題的方法解決動力學問題拉格朗日方程：用虛位移描述的動力學普遍方程，不出現(xiàn)約束反力，但虛位移之間不獨立，將動力學普遍方程用廣義坐標來表示，就可推出拉格朗日方程。第二章：動力學普遍方程和拉格朗日方程達朗伯原理：用靜力學平衡12.1動力學普遍方程設一質點系由n各質點組成，第i個質點的質量mi，作用在其上的主動力Fi，約反力合力FNi，慣性力Fgi=-miai,由達朗伯原理：2.1動力學普遍方程設一質點系由n各質點組成，第i個質點的2上式稱之為動力學普遍方程。在理想約束下，作用在質點系上的主動力和慣性力在任意虛位移上所作虛功之和為零例題：離心調速器如圖所示，已知mA=mB=m=15kg,套筒mC=10kg，桿長l=0.25m，e=0.03m,彈簧剛度k=14700N/m，正常角速度時=30°，彈簧不受力。試求=60°時的角速度。上式稱之為動力學普遍方程。在理想約束下，作用在質點系上的主動3分析力學第二章課件4例題：如圖所示，質量m1的勻質圓柱A與質量為m2的物體B相連，物體B與水平面間的摩擦系數(shù)fs，忽略滑輪質量，開始式系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，求A,B兩物體質心的加速度a1,a2該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)：廣義坐標：x,例題：如圖所示，質量m1的勻質圓柱A與質量為m2的物體B相連5分析力學第二章課件6分析力學第二章課件7例題圖所示，水平桿AB兩端各系一根繩索，繩索繞過定滑輪C,D,在自由端分別懸掛重物E（m2)和F(m1),令系統(tǒng)無初速度釋放，試求重物F的初加速度。已知杠桿臂長比：AO:OB=k，杠桿初時水平，桿與滑輪質量忽略不計例題圖所示，水平桿AB兩端各系一根繩索，繩索繞過定滑輪C,8分析力學第二章課件9分析力學第二章課件10設質點系有n個質點，受s個完整非定長約束，系統(tǒng)有N=3n-s個自由度，用N個廣義坐標表示質點系位置，則質點系位置可表示為：下面來推導拉格朗日方程：證明（1）2.2拉格朗日方程設質點系有n個質點，受s個完整非定長約束，系統(tǒng)有N=3n-s11對下式兩邊求導：對下式兩邊求導：12證明（2）證明（2）13分析力學第二章課件14Lagrangri方程Lagrangri方程15它是N個二階常微分方程，初始條件為t=0時刻的廣義坐標和廣義初速度舉例：如圖所示，輪系，已知r2=1.5r1，曲柄OA質量m，齒輪的質量分別為m1和m2，齒輪視為勻質圓盤，在曲柄上作用一力矩M1，求系統(tǒng)的運動方程。該系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，取廣義坐標系統(tǒng)動能：它是N個二階常微分方程，初始條件為t=0時刻的廣義坐標和廣義16速度分析：速度分析：17分析力學第二章課件18兩種不同主動力下的拉格朗日方程（1）主動力為有勢力當主動力為有勢力時，廣義力可由勢能函數(shù)確定：兩種不同主動力下的拉格朗日方程19（2）主動力為有勢力和非有勢力例題：如圖所示，物塊重m彈簧系數(shù)k，定滑輪質量M,均勻分布在輪緣上，摩擦忽略，求重物的振動周期。系統(tǒng)動能：該系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，取滑輪轉角未廣義坐標（2）主動力為有勢力和非有勢力例題：如圖所示，物塊重m彈簧系20分析力學第二章課件21例題：設有一與彈簧相連滑塊A，質量m1，彈簧系數(shù)k，下面掛一擺長度l，質量m2，求系統(tǒng)運動微分方程。例題：設有一與彈簧相連滑塊A，質量m1，彈簧系數(shù)k，下面掛一222.3動能的廣義速度表達式2.3動能的廣義速度表達式23分析力學第二章課件24例題：質量為M的質點沿光滑斜面運動，而斜面又沿水平面以速度v勻速運動，求質點的動能表達式例題：質量為M的質點沿光滑斜面運動，而斜面又沿水平面以速度v252.4拉格朗日方程的初積分廣義能量積分2.4拉格朗日方程的初積分廣義能量積分26分析力學第二章課件27分析力學第二章課件28例題：如圖所示，勻質桿質量m長度l，與質量m1勻質圓盤在中心鉸接，圓盤在水平導軌上無摩擦滾動，其中心通過彈性系數(shù)k的彈簧固定在墻上，用拉格朗日推導運動微分方程，寫出能量積分。該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)，圓盤中心水平位移x和擺角為廣義坐標例題：如圖所示，勻質桿質量m長度l，與質量m1勻質圓盤在中心29分析力學第二章課件30循環(huán)積分：循環(huán)積分：31例題1，質量m的質點在重力場中運動，取直角坐標x,y,z為廣義坐標,質點動能：例題1，質量m的質點在重力場中運動，取直角坐標x,y,z為廣32例題2，質量m的質點在有心力作用下運動，運動軌跡是一平面曲線，取平面極坐標，為廣義坐標,質點動能：例題2，質量m的質點在有心力作用下運動，運動軌跡是一平面曲線33例3：如圖所示，置于水平面上的薄球殼只滾不滑，質量M，半徑a，內放一質量m的勻質桿，該系統(tǒng)由靜止開始運動，開始瞬間棒與水平成角，試證明棒與水平線夾角滿足下列關系：例3：如圖所示，置于水平面上的薄球殼34分析力學第二章課件35分析力學第二章課件36分析力學第二章課件372.5碰撞問題的拉格朗日方程2.5碰撞問題的拉格朗日方程38例題：如圖所示結構。兩勻質桿OA和AB質量均為m，長均為l，鉸接于A處。開始時兩鉛垂桿靜止，今在AB桿中點D作用與桿垂直的水平沖量，求沖擊后兩桿的角速度。取例題：如圖所示結構。兩勻質桿OA和AB質量均為m，長均為l，39分析力學第二章課件40分析力學第二章課件41分析力學第二章課件422.6拉格朗日方程的應用舉例2.6拉格朗日方程的應用舉例43分析力學第二章課件44分析力學第二章課件45例題：如圖所示，質量m1半徑R的勻質圓柱沿水平面純滾動，上面作用以力矩M=Mocost的力偶，軸上裝一物理擺，擺對軸的轉動慣量JO，擺的質心在點A，OA=h，點O通過水平彈簧連接在固定的支座上，彈簧系數(shù)k，初始時系統(tǒng)靜止，彈簧無變形，=0，試推出系統(tǒng)運動微分方程，并求出初始時刻鉸鏈O的反力，設m1=40kg,擺的質量m2=0.25m1；MO=m1gR，JO=0.1m1R2，h=0.6R例題：如圖所示，質量m1半徑R的勻質圓柱沿水平面純滾動，上面46分析力學第二章課件47分析力學第二章課件48例題：如圖所示，在光滑的水平桌面上有一小孔，長度為l的質量不計的細繩穿過，一端系質量m的小球A，另一端系相同質量的小球B，OA長度用計，當OA=a時，給小球A大小為v0，垂直于OA的初速度，OA與x軸夾角計，試（1）列出以表示小球A的運動微分方程；（2）求小球A在任意位置的速率。例題：如圖所示，在光滑的水平桌面上有一小孔，長度為l的質量不49分析力學第二章課件50分析力學第二章課件51例題如圖所示兩個半徑為R的勻質圓柱共重P1，剛性地固連在無重的細軸上，組成車輪，重量為P2的重物A連在長度l的細桿上，另外一端裝在輪軸上，質量不計，假定擺離鉛垂線的夾角很小，節(jié)點C處無摩擦，圓柱純滾動，試求該系統(tǒng)運動例題如圖所示兩個半徑為R的勻質圓柱共重P1，剛性地固連在無52分析力學第二章課件53分析力學第二章課件54分析力學第二章課件55如圖所示，質量為m的小球在質量不計的光滑桿上自由滑動，桿OA鉸接在勻角速度轉動的圓盤上，并以勻角速度=k向下傾斜，試推導系統(tǒng)運