高數(shù)下第7講之一二重積分

9.1.1二重積分的概念1.曲頂柱體的體積§9.1多元數(shù)量值積分的概念與性質(zhì)設(shè)有一立體，它的底是xoy

面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于x

軸的柱面，它的頂是曲面z

f

(x,y)，這里f

(x,y)

0

且在D

上連續(xù)．這樣的立體叫做曲頂柱體．定義xzoz

f

(

x,

y)yD2x0zyDS１.曲頂柱體的體積i（1）分割。將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)子域：1，2

，…，n

。并以i

(i

1,2,,n)表示第i個(gè)子域的面積。然后以每個(gè)子域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z

軸的柱面，這些柱面就把原來(lái)的曲頂柱體分成n

個(gè)小的曲頂柱體。3x0zyDn近似：以平代曲Vi

f

(i

,i

)

i求和：V

f

(i

,i

)

ii

1１分割：.i4x0zyDS

:

z

=

f

(x,y)i13

求和V

f

(i

,i

)

i4

取極限令分法無(wú)限變細(xì)Δσi１分割：任意分割區(qū)域D,

化整為零2

近似：以平代曲Vi

f

(i

,i

)

in.ii

ii1nlim

f

(

,

)V

=１.曲頂柱體的體積5yV..z１.曲頂柱體的體積S

:

z

=

f

(x,y)ni14

取極限2

近似：V

f

(i

,i

)

i１分割3

求和設(shè)d

max{i的直徑}，01in當(dāng)d

0

時(shí)上面和式的極限就是曲頂x柱體的體積，nd

0

i1即

V

lim

f

(i

,

i

)i

。2．平面薄片的質(zhì)量x設(shè)有一平面薄片在xoy

平面上占有區(qū)域D，其面密度為

D

上的連續(xù)函數(shù)(

x,

y)

，求該平面薄片的質(zhì)量

m。yoD均勻薄片的質(zhì)量

面密度

薄片面積（1）分割將薄片(即區(qū)域D)任意分成n

個(gè)子域：1

,

2

,,

n

，并以

i

(i

1,

2,

,

n)

表示第

i

個(gè)子域的面積。（2）近似(

i

,

i

)

i

(i

1,

2,

,

n)

，第i

塊薄片的質(zhì)量的近似值為mi

(

i

,i

)

i

。xyoD(

i

,

i

)i（3）求和將這n個(gè)看作質(zhì)量分布均勻的小塊的質(zhì)量相加，得到整個(gè)平面薄片質(zhì)量的近似值，即n

ni1m

mi

(i

,

i

)ii1（4）取極限設(shè)d

max {

i

的直徑}

，當(dāng)d

0

上面和式的極限1

i

n就是所求薄片的質(zhì)量，即nd

0

i1m

lim

(i

,

i

)i

。3．二重積分的定義定義

設(shè)

f

(

x,

y)

是有界閉區(qū)域

D

上的有界函數(shù)。將閉nD區(qū)域

D

任意分成

n

個(gè)小閉區(qū)域:

i

(i

1,

2, 3,

)

，并以i表示第i

個(gè)小閉區(qū)域的面積。(

i

,

i

)

i

，作和式

f

(i

,

i

)i

。若當(dāng)各小閉區(qū)域的最大直徑i1d

0

時(shí)，和式的極限存在，則稱此極限為

f

(

x,

y)

在閉區(qū)域D

上的二重積分，記作

f

(x,y)d

，即nDd

0

i

1

f

(

x

,

y

)d

lim

f

(

i

,

i

)

i若函數(shù)

f

(

x,

y)

在有界閉區(qū)域

D

上連續(xù)，則二重積分

f

(x,y)d

必定存在。D積分和面積元素nDf

(

x,

y)d

lim

f

(i

,i

)i

.d0

i1積分區(qū)域被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量11也常因此面積元素如果

f

(x,

y)

在D上可積,

可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃分區(qū)域D

,這時(shí)記作dxd

y,二重積分記作D

f

(x,

y)

dxd

y.由二重積分的定義，曲頂柱體的體積就是柱體的高

f

(

x,

y)

0

在底面區(qū)域

D

上的二重積分，即V

f

(x,y)d

。D非均勻分布的平面薄片的質(zhì)量，就是它的面密度(x,

y)在薄片所占有的區(qū)域D上的二重積分，即m

(x,y)d

。D（1）當(dāng)

f

(

x,

y)

0

時(shí)，曲頂柱體的體積V

f

(

x,

y)d

。oDzz

f

(

x,

y)yDx4.二重積分的幾何意義（2）當(dāng)

f

(

x,

y)

0

時(shí)，曲頂柱體在

xoy

平面的下方，曲柱體的體積V

f

(x,y)d

，或V

f

(x,y)d

。D

D（3）當(dāng)

f

(

x,

y)

在

D上

有正有負(fù)時(shí)，若規(guī)定在

xoy

平面上方的柱體體積取正號(hào)，在xoy

平面下方的柱體體積取負(fù)號(hào)，則

f

(x,y)d

的值就是這些上下方柱體體積的代數(shù)和。D15性質(zhì)１ 當(dāng)k為常數(shù)時(shí)，

kf

(

x,

y)d

k

f

(

x,

y)d

.D

D性質(zhì)２[

f

(

x,

y)

g(

x,

y)]dD

f

(

x,

y)d

g(

x,

y)d

.D

Dab

baf

(x)dxkf

(x)dx

k定積分的性質(zhì)性質(zhì)１bag(

x)]dx[

f

(

x)

baf

(

x)dxbag(

x)dx.性質(zhì)２9.1.2二重積分的性質(zhì)16性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性(

D

D1

D2

)

f

(x,

y)dDD2f

(x,

y)d

性質(zhì)３baf

(

x)dxf

(x,

y)d

.

bccaf

(

x)dxf

(

x)dx

.

1

d

d

.D

DD1性質(zhì)4若 為D的面積，baba1

dx

dx

b

a.性質(zhì)417性質(zhì)５若在D上f

(

x,

y)

g(

x,

y),

f

(

x,

y)d

f

(

x,

y)

d

.D

D則有

f

(

x,

y)d

g(

x,

y)d

.D

D特殊地性質(zhì)５如果在[a,b]上f

(

x)

g(

x)ba則baf

(x)dx

g(

x)dx特殊地babaf

(

x)dx

f

(

x)dx.18性質(zhì)６設(shè)M

、m

分別是f

(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，

為D

的面積，則m

f

(

x,

y)d

MD（二重積分估值不等式）證明：顯然σ

≠

0

，由性質(zhì)6中不等式mσ

≤

f

(x,y)dσ

≤

Mσ

，1

D得

m

≤

σ

f

(

x

,

y

)dσ

≤

M ，D根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在D

上至少存在一點(diǎn)(,

)

，使得

1

f

(

x,

y)d

f

(,)

，

D從而

f

(

x,

y)d

f

(,)

。D

D性質(zhì)7（二重積分中值定理）設(shè)

f

(

x,

y)

在閉區(qū)域

D

上連續(xù)，記

為

D

的面積，則在D

上至少存在一點(diǎn)(,

)

，使得

f

(

x,

y)d

f

(,)

。D通常稱

1

f

(

x,

y)d

為

f

(

x

,

y)

在區(qū)域

D

上的平均值。20D例1

不作計(jì)算，估計(jì)I

e(x2

y2

)d

的值，

1b2其中D是橢圓閉區(qū)域：a2x

2

y2(0

b

a)在D上

0

x

2

y

2

a

2,2

2

21

e0

ex

y

ea

,解由性質(zhì)

6

知

e(

x

2

y2

)d

ea2

,Dab

e(

x

2

y2

)d

abea2

.D區(qū)域

D

的面積

ab

,21D例

2

估計(jì)I

x2d的值，其中D：0

x

1,

y2

2

xy

160

y

2.區(qū)域面積

2,,1(

x

y)2

16

f

(

x,

y)

4(

x

y

0)在D上f

(x,y)的最大值M

1132

42f

(x,y)的最小值m

1

(

x

1,

y

2)52

2故5

I

4

0.4

I

0.5.解22例

3

比較積分ln(

x

y)d

與[ln(

x

y)]2

d的大小,D

D其中D

是三角形閉區(qū)域,(1,1),

(2,0).解三角形斜邊方程x

y

2在

D

內(nèi)有

1

x

y

2

e

,故ln(

x

y)

1,于是ln(

x

y)

ln(

x

y)2

,因此

ln(

x

y)d

[ln(

x

y)]2

d

.D

Dox三頂點(diǎn)各為(1,0)y121Do2Dxzy例題．試用二重積分表示由橢圓拋物面z2

x2

y2

，拋物柱面y

x2

及平面y42

，z0

所圍成的曲頂柱體的

體積V

，并用不等式組表示曲頂柱體在xoy

面上的底。y

x2DDo2xzyx解：V

(2

x

2

y

2

)d

，yDoy

22

22D

:2

x

2x

y

20

y

2D

:

y

x

y例題．試用二重積分表示由橢圓拋物面z2

x2

y2

，拋物柱面y

x2

及平面y42，z0

所圍成的曲頂柱體的

體積V

，并用不等式組表示曲頂柱體在xoy

面上的底。9.2．1直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算當(dāng)f

(x,y)0

時(shí)，

f

(x,y)d

的值等于以D

為底，D以曲面z

f

(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。而平行截面面積為已知的立體的體積又可以用定積分來(lái)計(jì)算。這就啟示我們可以用二重積分的幾何意義來(lái)尋求二

重積分的計(jì)算方法。26已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),的體積元素為bab

xxA(x)上連續(xù),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間dV

A(x)

d

x因此所求立體體積為V

a

A(x)

d

x如圖所示的積分區(qū)域稱為X

型區(qū)域。oxyaby2

(

x)y1(

x)Doxyaby1(

x)y2

(

x)D1．積分區(qū)域D

為X

型區(qū)域設(shè)D：2

1a

xb

(

x)

y

(

x)①其中1(x)C[a,b]，2

(x)C[a,b]。§9.2

二重積分的計(jì)算下面用切片法來(lái)計(jì)算二重積分

f

(x,y)dσ

所表示的柱體D的體積。)

?

2

(x

)

。A(

x

?

(

x

)

f

(

x

,

y

)dy1A(

x

)xx

xoxyDzy2

(

x)y1(

x)z

f

(

x,

y)ab1(

x

)A(

x

)z

f

(

x

,

y)x2

(

x

)

yz

(

x)A(

x)

21(

x)f

(

x,

y)dy

.一般地，過(guò)[a,b]上任一點(diǎn)x

且平行于yoz平面的平面，與曲頂柱體相交所得截面的面積為從而得曲頂柱體的體積a

b

b

(

x)A(

x)dx

V

2a

1(

x)[f

(

x,

y)dy]dx

，于是，二重積分f

(

x,

y)dy]dx

Db

(

x

)2a

1

(

x

)f

(

x,

y)d

[②公式②常記作

Ddxf

(

x,

y)d2b

(

x)a

1(

x)f

(x,y)dy

。③這是把二重積分化為先對(duì)y

后對(duì)x

的二次積分的公式。記憶口訣：“先積一條線，再掃一個(gè)面”。用公式③時(shí)，必須是X型區(qū)域。X型區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過(guò)D

內(nèi)部且平行于y

軸的直線與D

的邊界相交不多于兩點(diǎn)。oxya2y

(

x)y1(

x)bDxDdxf

(

x,

y)d2b

(

x)a

1(

x)f

(x,y)dy

。③1x

(

y)oxD

x2

(

y)cx1(

y)x2

(

y)oxyDcd

d如圖所示的積分區(qū)域稱為Y

型區(qū)域。2

1設(shè)

D：

(

y)

x

(

y)c

yd④其中1(y)C[c,d

]、2

(y)C[c,d

]。y2．積分區(qū)域D

為Y

型區(qū)域且平行于x

軸的直線與D

的邊界相交不多于兩點(diǎn)。類似可得，二重積分

21d

(

y)c

(

y)f

(

x,

y)dxdyf

(

x,

y)d⑤D上式右端的積分稱為先對(duì)x

后對(duì)y

的二次積分公式。x2

(

y)oxyDx1(

y)c用公式⑤時(shí)，必須是Y型區(qū)域。dY型區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過(guò)D

內(nèi)部當(dāng)平行于坐標(biāo)軸的直線與D

的邊界曲線的交點(diǎn)多于兩點(diǎn)時(shí)，一般可把D

分成幾個(gè)子區(qū)域，分別按X

型或Y

型區(qū)域計(jì)算，然后再根據(jù)區(qū)域可加性得到在整個(gè)區(qū)域D

上的二重積分。例如在圖中，把D分成三部分，它們都是X

型區(qū)域。D1D2D3oxy3．積分區(qū)域D既不是X型區(qū)域也不是Y型區(qū)域。D

：

2

1a

xb

(

x)

y

(

x)；D又是Y型的，可表示為2

1c

ydD

：

(y)

x

(y)，則有4．積分區(qū)域D

既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域。D是X型的，可表示為d

(

y)c

(

y

)b

(

x)a

(

x

)Df

(

x,

y)dx.dyf

(

x,

y)dy

dxf

(

x,

y)d2121oxabcydD二重積分化為二次積分，確定積分限是關(guān)鍵。其定限方法如下：在xoy

平面上畫(huà)出積分區(qū)域D

的圖形；若區(qū)域D為X型的，則把D投影到x軸上，得投影區(qū)間[a,b]，a和b

就是對(duì)x

積分的下限和上限。x[a,b]，過(guò)點(diǎn)x畫(huà)一條與y

軸平行的直線，假如它與邊界曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1(x)和y2

(x)，且2

(x)1(x)，則1(x)和2

(x)就是對(duì)y

積分的下限和上限。

(

x)D定限原則：上限一定要大于下限，最外層的限不允許有積分變量。f

(

x,

y)dyf

(

x,

y)d2bdxa

1(

x)oxyy2

(

x)Dy1(

x)a

x

b解法1：D

是X型的。D例1．計(jì)算

xyd

，其中D是由直線y1

，x2

及y

x所圍成的閉區(qū)域。2oxy(2,

2)(2,1)y

x(1,1)

y11

x211

12y2

xyd

dx

xydy

[

x

]1

dxx2

xD898

422131[

x4

x2]dx[

]

.x

x2

2解法2：D

是Y型的。21212x2

xyd

dyxydx

[

y

]

y

dy2

2yD898222211]

.y4]dy[

y

y3

[2

y

oxy2

x

y

x2注：①化二重積分為二次積分時(shí)，積分限的確定順序與積分順序相反。②在計(jì)算內(nèi)積分時(shí)，外積分變量是常數(shù)。y1解法1：先積x

后積y，D

：

21

y2,y

x

y

2，D例2．計(jì)算

xyd

，其中D

由y2

x

和y

x2

所圍成。oyx

y

2x(1,1)(4,

2)x

y2

21

yxyd

2

dy

y2

xydx212

[

y(

y

2)2

y5

]dy

1dyy22yx

]1[2

y21D85]62

4

32245

.21y6

[

2

y

1

y

4

y312yxyy

x2(4,

2)y

xyD1

：

x

y0

x121

x4x

，D

：

x2

y

x

。84x

(1,1)121

1

x2x0

xDDDx

xydy55.dxxydydxxydxydxyd4D1D2o

1解法2：先積y

后積x，D

D1

D2且D1

D2

，oxy

xy1因?yàn)閑

y

2

的原函數(shù)不是初等函數(shù)，y1則無(wú)法計(jì)算積分的值，故只能用y先積x

后積y

的次序進(jìn)行計(jì)算。01

1xDdxe

y

2

dy

，D2解：若先積

y

后積

x，得e

y

d2例

3．

e

y

d

，其中

D

是由直線

y

x

，

y1

和

y

軸所圍成。

100

02ye

dye

dxdye

d

y

21

y

y

2

D

y2201

1(1e1

).

1

e

y

2積分次序的選擇原則：第一原則—函數(shù)原則：必須保證各層積分的原函數(shù)能夠求出。第二原則—區(qū)域原則：若積分區(qū)域是X

型（或Y

型）則先對(duì)

y

(或

x)

積分。第三原則—分塊原則：若積分區(qū)域既是X型又是Y型且滿足第一原則時(shí)，要使積分分塊最少。例4．交換二次積分的積分次序。（1）f(x,y)dxdy4

2

y0

y改變二次積分次序的關(guān)鍵是正確畫(huà)出積分區(qū)域的圖形，要經(jīng)歷“由限畫(huà)圖”和“由圖定限”兩個(gè)過(guò)程。程。先積y

后積x，則D

D1

D2

，D1

：x

y2

x22，

D

：0

y2

x2

x0

0

x2，f(x,y)dx4

2

ydy0

y20

22

x02

xx

2f(x,y)dy.f(x,y)dy

dx0dx解：先積x

后積y，則D：0

y4y

x2

y，oxy4(2,

4)y

x2-2D1y2

xD22D1

：

1

2

x2

y

1

y12，

D

：y

x21

y2，解：先積x

后積y，則D

D1

D2

，2D2

212y21yf(x,y)dxf(x,y)dx

dy1（2）

1

dy2

1

x2先積y

后積x，D：

1

y

x

，

x∴

1

2

2

2

2

x1

dy

1

f(x,y)dx

dy

f(x,y)dx

dx

1

f(x,y)dyy

1y

xoxy112D12y

x11yx例

5．設(shè)

D

是

xoy

平面上以(1,

1)

，

(1,

1)

和(1,

1)

為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D1

是D

在第一象限的部分，若I

(xycos

xsin

y)dxdy

，試問(wèn)下列等式是否成立？DI

2

xydxdy

；D1I

2

cos

xsin

ydxdy

；D1I

4

(xycos

xsin

y)dxdy

。D1(1,1)(1,1)(1,1)oxyD1DD1

與D2

關(guān)于y

軸對(duì)稱，D3

與D4

關(guān)于x軸對(duì)稱，將I

分為兩個(gè)二重積分，記I1

xydxdy

，I2

cos

xsin

ydxdy

。D

D∵xy

關(guān)于x

和關(guān)于y

都是奇函數(shù)，∴

xydxdy0

,D1D2

xydxdy0

，∴I1

xydxdy0

。D3

D4

D解：將區(qū)域D

分為四個(gè)子區(qū)域：D1

、D2

、D3

、D4

。(1,1)(1,1)(1,1)oxyD2

D1D3D4∵cos

xsin

y

是關(guān)于y

的奇函數(shù)，關(guān)于x

的偶函數(shù)，∴

cos

xsin

ydxdy

2

cos

xsin

ydxdy

，D1

D2

D1cos

xsin

ydxdy

0

，D3

D4∴

I

2

cos

xsin

ydxdy

2

cos

xsin

ydxdy

，D

D1從而I

I1

I2

2

cos

xsin

ydxdy

，D1故等式（1）、（3）不成立；等式（2）成立。oxyD2

D1D34D5．利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算設(shè)f

(x,y)在有界閉區(qū)域D

上的可積，D

D1

D2

，（1）若D1與D2

關(guān)于y

軸對(duì)稱，則0,當(dāng)f

(

x,y)

f

(x,y)時(shí).(即f

(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù))(即f

(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù))當(dāng)f

(

x,y)

f

(x,y)時(shí).

2

f

(

x,

y)dxdy,

f

(

x,

y)dxdyD1D（2）若D1與D2

關(guān)于x

軸對(duì)稱，則0,當(dāng)f

(x,

y)

f

(x,y)時(shí).(即f

(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù))(即f

(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù))當(dāng)f

(x,

y)

f

(x,y)時(shí).

2

f

(

x,

y)dxdy,

f

(

x,

y)dxdyD1D（3）若D1與D2

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則0,當(dāng)f

(

x,

y)

f

(x,y)時(shí).(即f

(x,y)關(guān)于(x,y)為奇函數(shù))(即f

(x,y)關(guān)于(x,y)為偶函數(shù))當(dāng)f

(

x,

y)

f

(x,y)時(shí).

2

f

(

x,

y)dxdy,

f

(

x,

y)dxdyD1D積分區(qū)域?qū)ΨQ于原點(diǎn)積分區(qū)域?qū)ΨQ于y

x積分區(qū)域?qū)ΨQ于y

x51D1D

f

(

x,

y)dxdy

2

f

(

x,

y)dxdy,

若

f

(

x,

y)

f

(

y,

x)0,

若f

(x,y)

f

(y,x)52x(4)

輪換對(duì)稱性yyxD

:

x2

y2

a2

D

:

x2

y2

a2將坐標(biāo)軸重新命名，區(qū)域的函數(shù)表達(dá)不變，稱區(qū)域D具有輪換對(duì)稱性。將坐標(biāo)軸重新命名區(qū)域的函數(shù)表達(dá)不變53x(

x,

y)yxD

:

x2

y2

a2

D

:

x2

y2

a2

f

(

x,

y)dxdy

f

(

y,

x)dxdyD

D坐標(biāo)的輪換對(duì)稱性，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是將坐標(biāo)軸重新命名，如果積分區(qū)域的函數(shù)表達(dá)不變，則被積函數(shù)中的

x,y也同樣作變化后，積分值保持不變。(

y,

x)y面密度f(wàn)

(x,y)面密度f(wàn)

(y,x)例7．設(shè)f

(x)連續(xù)且恒不為零，證明af

(

x)bf

(

y)dxdy

abR2

.f

(

x)

f

(

y)

2I

x

2

y

2R2證：積分區(qū)域x

2

y2

R2

關(guān)于直線y

x

對(duì)稱，所以交換被積函數(shù)中的x、y

的位置，結(jié)果不變，故有f

(

y)

f

(

x)I

af

(

y)bf

(

x)dxdy

，x

2

y

2R22x

2

y

2R22I

(ab)dxdy(ab)R2

，I

ab

R2

。55下面內(nèi)容自習(xí)（4）若積分區(qū)域D關(guān)于直線y

x

對(duì)稱（

(

x,

y)D(

y,x)D

），則

f

(x,y)dxdy

f

(y,x)dxdy

。D

D又若D

D1

D2

，且D1與D2

關(guān)于直線y

x

對(duì)稱，則

f

(x,y)dxdy

f

(y,x)dxdy

。D1

D2積分區(qū)域?qū)ΨQ于y

x解：拋物線y

x2

把D

分為兩個(gè)子區(qū)域：D1

{(

x,

y)

x

1,

x2

y2}

，D2

{(x,y)

x

1, 0

y

x2

}。y

x2D1D2oxy-112D例6．求y

x2

dxdy

，其中

D{(

x,

y)

x

1, 0

y2}

。22y

x

2

, (

x

,

y

)

D1y

x

x

y

, (

x

,

y

)

D

2103102433423x

dx(2

x

)

dx3

25

.被積函數(shù)

y

x2

在

D

上是關(guān)于

x

的偶函數(shù)，積分區(qū)域D

關(guān)于y

軸對(duì)稱，D1

、D2

也關(guān)于y

軸對(duì)稱，故DD1y

x2dxdy

y

x2

dxdy

x2

ydxdydx

x

ydyD222221

2

1

x0

xy

x

dy

2

dx0

0213316404cos

tdt

x

2sint例8．求兩個(gè)底圓半徑都等于R

的直交圓柱面所圍成的立體的體積。解：設(shè)這兩個(gè)直交圓柱面的方程為x2

y2

R2

及x2

z2

R2

。并畫(huà)出它們?cè)诘谝回韵迌?nèi)的圖形。yxzox2

y2

R2x

2

z2

R2RRyoxy

R2

x2DRRx3故所求體積為V

8V1

16

R3

。所求立體在第一卦限的部分可看作是以圓柱面z

R2

x2

為頂，以xoy

面上四分之一的圓域D為底的曲頂柱體，其體積為V

DR2

x2

d1

00R2

x

2R2

x2

dyRdx32302

2R

.R(

R

x

)dx

yoxy

R2

x2DRRxyxzox2

y2

R2x2

z2

R2RR作

業(yè)習(xí)題一（P169）1（2）（4）；2（3）（5）（6）；3（1）（4）（6）（7）（9）；4

（1）（2）（4）。9.2.2極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算當(dāng)積分區(qū)域用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，被積函數(shù)在極坐標(biāo)下比較簡(jiǎn)單時(shí)，在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分。,1

2

(

)

r

(

)D

:oD

r

2

(

)r

1

(

)1r

(

)or

2

(

)or

(

)DD

f

(x,

y)

d

D

f

(r

cos

,

r

sin

)

r

d

r

ddrd

rrdd64Dor

1

(

)2r

(

)r

1

(

)or

2

(

)12

(

)

(

)f

(r

cos

,

r

sin

)r

d

r設(shè)1

2

(

)

r

(

)D

:,則D

f

(r

cos

,

r

sin

)r

d

r

dd

0

2特別,對(duì)D

:0

r

(

)Df

(r

cos

,

r

sin

)

r

d

r

df

(r

cos

,

r

sin

)

r

d

r2

(

)

0

d

0or

(

)D在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D

的面積

d

ddD

D若D

如圖，則221221.

()[

()

()]ddd

d

2

()d

1DoxD2

()1()若D

如圖，則12

2

()

0

()d.d

ddd

D()oxD67答:

(1) 0

;oy r

(

)Dxr

(

)Doyx思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試問(wèn)

的變化范圍是什么?(1)(2)(2)

2

2例1．計(jì)算下列二重積分（1）

R2

x2

y2

d

，D

為圓x2

y2

Rx

所圍成的區(qū)域。D解：把區(qū)域D

的邊界曲線的直角坐標(biāo)方程x2

y2

Rx化為極坐標(biāo)方程，得

Rcos

，于是有D：

2

20

Rcosd∴

D22Rcos0R2

2

d2R2

x

2

y

dxo

RcosD2232

231d[

(

R

)

2

]Rcos0223331(1

sin

)d

R203332(1sin

)d

R32220303sin

d]d

R

[2

3

23

2

3

9R3R

[

]

(34)。

1

20

解：D：

4

，xD（2）

arctan

yd

，D：

1

x2

y2

4

，

y0

，

y

x所圍成的區(qū)域。21402140sin

cosarctanddddarctan

dxyD32

2

6422110

.2

3

32

2

4

2

2

1xoy

421解：D

：

sincos120

.≤1例

2．將二次積分

dx

01

x

21

x1f

(x,y)dy

化為極坐標(biāo)下的二次積分。xyo1sincos1∴

dx1sincos

2

d

1

f(cos,sin)df

(

x,

y)dy01

x

21

x10

2cos402443

8

4cos

3

d

ddI

解：例

3．計(jì)算二重積分

I

x2

y2

dxdy

，其中DD{(x,y)0

y

x,

x

2

y2

2

x}。2.9203160

4

(1sin2

)d

(sin)oxy4

42cos解：由對(duì)稱性，得V

4

4a

2

x

2

y

2

dxdyDD：

20

。例4．球體x2

y2

z2

4a2

被圓柱面x

2

y2

2ax(a0)所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。o02acosxyzx2

y2

z2

4a2x2

y2

2axD

002acosD4a2

2

d4

2

dV

4

4a2

x2

y2

dxdy3

2

333203

332

3

2a

(

)

a

2

(1sin

)doxy2acosD例5．求三葉玫瑰線asin3

所圍成的面積。060asin3dd

d6D解：S

6ox6d2

asin300

2

16

6

d660022(1cos6)d23a2sin

33a.46203a2

1a2[

sin6]6

x例6．計(jì)算無(wú)窮積分I

02e dx

。解：因?yàn)閑

x

2

的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，所以無(wú)法直接計(jì)算這個(gè)廣義積分，在這里利用二重積分進(jìn)行計(jì)算。

I

2

.

0

e

dx

0

e

dy