復(fù)變函數(shù)第一章復(fù)數(shù)的乘冪與方根

復(fù)變函數(shù)第一章復(fù)數(shù)的乘冪與方根第1頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:解:第2頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.2.3復(fù)數(shù)的方根(乘冪的逆運(yùn)算)第3頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第4頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注:解:因?yàn)樗缘?頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn),半徑為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).第6頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.3平面點(diǎn)集平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓:|z-z0|<d內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱(chēng)為z0的鄰域,而稱(chēng)由不等式0<|z-z0|<d所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域.1.3.1區(qū)域設(shè)G為一平面點(diǎn)集,z0為G中任意一點(diǎn).如果存在z0的一個(gè)鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱(chēng)z0為G的內(nèi)點(diǎn).

如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱(chēng)G為開(kāi)集平面點(diǎn)集D稱(chēng)為一個(gè)區(qū)域,如果它滿足下列兩個(gè)條件:

1)D是一個(gè)開(kāi)集;

2)D是連通的。就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D

的一條折線連接起來(lái).第7頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4:區(qū)域不是區(qū)域(不是開(kāi)集)不是區(qū)域(不連通)第8頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足|z|<M,則稱(chēng)D為有界的,否則稱(chēng)為無(wú)界的.0M|z|>M第9頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.3.2曲線在數(shù)學(xué)上,經(jīng)常用參數(shù)方程來(lái)表示各種平面曲線.如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(atb)

代表一條平面曲線,稱(chēng)為連續(xù)曲線.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線可用一個(gè)方程

z=z(t) (atb)

來(lái)代表.這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.1.簡(jiǎn)單曲線,簡(jiǎn)單閉曲線第10頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)C:z=z(t)(atb)為一條連續(xù)曲線,z(a)與z(b)分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn).對(duì)于滿足a<t1<b,at2b的t1與t2,當(dāng)t1t2而有z(t1)=z(t2)時(shí),點(diǎn)z(t1)稱(chēng)為曲線C的重點(diǎn).沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C,稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線.如果簡(jiǎn)單曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱(chēng)為簡(jiǎn)單閉曲線.簡(jiǎn)單,閉簡(jiǎn)單,不閉非簡(jiǎn)單,不閉非簡(jiǎn)單,閉第11頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.光滑曲線,逐段光滑曲線

由幾段光滑曲線銜接而成的曲線稱(chēng)為分段光滑曲線.第12頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.3.3單連通區(qū)域,多連通區(qū)域單連通域多連通域(一個(gè)整體)(帶有裂痕,漏洞)第13頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.4復(fù)變函數(shù)1.4.1復(fù)變函數(shù)的概念(實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的推廣)單值函數(shù),多值函數(shù)定義在整個(gè)復(fù)平面上的多值函數(shù)定義在除原點(diǎn)外整個(gè)復(fù)平面上的單值函數(shù)第14頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則兩類(lèi)常見(jiàn)的復(fù)變函數(shù)第15頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.4.2復(fù)變函數(shù)的幾何解釋—映照幾何意義:DG第16頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)函數(shù)w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1第17頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5初等函數(shù)介紹幾種常見(jiàn)的復(fù)變函數(shù)—指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)1.5.1指數(shù)函數(shù)第18頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則第19頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求得(歐拉公式)復(fù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì):第20頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第21頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月電源第22頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月此電路系統(tǒng)滿足疊加原則.電源電流當(dāng)電路系統(tǒng)穩(wěn)定后,電路中的電壓,電流變化的頻率最終與電源頻率相一致.第23頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月電容:對(duì)應(yīng)的等效電阻為電感:對(duì)應(yīng)的等效電阻為整個(gè)電路的總電阻為:第24頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5.2對(duì)數(shù)函數(shù)定義：記：

多值性-------主值例如：第25頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì):證明:第26頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5.3冪函數(shù)定義:為z的冪函數(shù).…單值函數(shù)….n值函數(shù)….n值函數(shù)….無(wú)窮值函數(shù)第27頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5.4三角函數(shù)定義:(1)各種三角恒等式仍然成立

性質(zhì):例如:(3)類(lèi)似地,