第三講 趨勢外推預(yù)測法

趨勢外推預(yù)測法時間序列同一現(xiàn)象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的數(shù)列形式上由現(xiàn)象所屬的時間和現(xiàn)象在不同時間上的觀察值兩部分組成排列的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式國內(nèi)生產(chǎn)總值等時間序列年份國內(nèi)生產(chǎn)總值(億元)年末總?cè)丝?萬人)人口自然增長率(‰)居民消費(fèi)水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094時間序列的分類時間序列平均數(shù)序列絕對數(shù)序列相對數(shù)序列時期序列時點序列時間序列的分類例：時間序列分析先把時間序列描繪在坐標(biāo)圖上，坐標(biāo)的橫軸表示時間t，坐標(biāo)的縱軸表示所分析的經(jīng)濟(jì)變量下圖描述了某商店某年前10個月的銷售額某企業(yè)從1990年1月到2002年12月的銷售數(shù)據(jù)（單位：百萬元）

從這個點圖可以看出?？偟内厔菔窃鲩L的，但增長并不是單調(diào)上升的；有漲有落。但這種升降不是雜亂無章的，和季節(jié)或月份的周期有關(guān)系。除了增長的趨勢和季節(jié)影響之外，還有些無規(guī)律的隨機(jī)因素的作用。時間序列變動形態(tài)時間序列是指某種統(tǒng)計指標(biāo)的數(shù)值，按照時間先后順序排列起來的數(shù)列。時間序列的變動形態(tài)一般分為四種：長期趨勢變動，季節(jié)變動，循環(huán)變動，不規(guī)則變動。時間序列長期趨勢季節(jié)變動循環(huán)變動不規(guī)則變動時間序列的基本模式1、長期趨勢：是時間序列的主要構(gòu)成要素，指由于某種根本性因素的影響，時間序列在較長時間內(nèi)朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，以及停留在某一水平上的傾向。它反映了事物的主要變化趨勢。

2、季節(jié)變動：指由于自然條件和社會條件（生產(chǎn)生活條件）的影響，時間序列在一年內(nèi)隨著季節(jié)的轉(zhuǎn)變而引起的周期性變動。

3、循環(huán)變動：是近乎規(guī)律性的周而復(fù)雜始的變動，是以數(shù)年為周期的周期變動。

4、不規(guī)則變動：是指由各種偶然性因素引起的無周期變動。

時間序列的特征含有長期趨勢因素（T）含有季節(jié)變動因素（S）時間序列的走勢按日歷時間周期起伏。如，季節(jié)性商品季度、月份銷售量；火車客運(yùn)量；居民用電、用水量等。含有循環(huán)變動因素（C）其走勢也呈周期性變化，但不是在一個不變的時間間隔中反復(fù)出現(xiàn)，而且每一周期長度一般有若干年。中、長期預(yù)測需考慮。含有不規(guī)則變動因素（I）時間序列的組合形式（1）加法型（2）乘法型

（3）混合型

其中：Yt為時間序列的全變動；Tt為長期趨勢；St為季節(jié)變動；Ct為循環(huán)變動；It為不規(guī)則變動。

ttYYY=T+S+C+IY=T×S×C×I時間序列的基本特征時間序列變化的基本特征是指各種時間序列表現(xiàn)出的具有共性的變化規(guī)律，如趨勢變化、周期性變化等根據(jù)時間序列變化的基本特征，它們可以分為：呈水平形變化的時間序列呈趨勢變化的時間序列呈周期變化的時間序列具有沖動點的時間序列具有轉(zhuǎn)折變化的時間序列呈階梯形變化的時間序列呈水平型變化的時間序列經(jīng)濟(jì)變量的發(fā)展變化比較平穩(wěn)，沒有明顯的上升或下降趨勢，也沒有較大幅度的上下波動如處于市場飽和狀態(tài)的產(chǎn)品銷售量，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的穩(wěn)定的次品率。Ytt呈趨勢變化的時間序列上升或下降的趨勢變化，長期趨勢變化Ytt呈周期型變化的時間序列Ytt具有沖動點（Impulse）變化的時間序列Ytt具有階梯型變化的時間序列Ytt時間序列的轉(zhuǎn)折性變化Ytt趨勢外推法的基本思想 ●某些客觀事物的發(fā)展變化相對于時間推移，常表現(xiàn)出一定的規(guī)律性：

如：經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（指標(biāo)）隨著時間的推移呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢，這時，若作為預(yù)測對象的該經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（指標(biāo)）變化又沒有明顯的季節(jié)性波動跡象，理論上就可以找到一條合適的函數(shù)曲線反映其變化趨勢?？山ㄆ渥兓厔菽Ｐ停ㄇ€方程）：

●當(dāng)有理由相信這種趨勢可能會延伸到未來時，對于未來時點的某個Ｙ值（經(jīng)濟(jì)指標(biāo)未來值）就可由上述變化趨勢模型（直線方程）給出。這就是趨勢外推的基本思想。

●趨勢外推的條件有２：變化趨勢的時間穩(wěn)定性、曲線方程存在。常見的趨勢線直線指數(shù)曲線二次曲線三次曲線修正指數(shù)曲線龔柏茲曲線某家用電器廠1998～2008年利潤額數(shù)據(jù)年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤額yt2003003504005006307007508509501020某商場某種商品過去9個月的銷量數(shù)據(jù)某商場過去9年市場需求量統(tǒng)計數(shù)據(jù)●基于２大條件（趨勢的時間穩(wěn)定性、曲線方程存在）趨勢曲線：慣性原理：一切物體在沒有受到外力作用時，總保持勻速直線運(yùn)動狀態(tài)或者靜止?fàn)顟B(tài)。但勻速直線運(yùn)動狀態(tài)或者靜止?fàn)顟B(tài)是相對的:慣性原理的兩個前提：周圍沒有引力場吸引；前方?jīng)]有障礙物阻擋。

假設(shè)條件：技術(shù)（或經(jīng)濟(jì)）發(fā)展的因素，不但決定了過去技術(shù)的發(fā)展，而且在很大程度上決定了其未來的發(fā)展。即某項技術(shù)在其過去、現(xiàn)在、未來的發(fā)展過程中，內(nèi)、外因相對保持不變。其變化屬漸進(jìn)式變化，而不屬于跳躍式變化。二、趨勢外推法：原理與假設(shè)三個例子：預(yù)測未來兩期的指標(biāo)水平某家用電器廠1998～2008年利潤額序列數(shù)據(jù)y2004預(yù)測y2005預(yù)測某商場某種商品過去9個月的銷量序列數(shù)據(jù)y11預(yù)測Y10預(yù)測y2004預(yù)測y2005預(yù)測某商場過去9年市場需求量序列數(shù)據(jù)直線趨勢外推法適用條件：時間序列數(shù)據(jù)（觀察值）呈直線上升或下降的情形。該預(yù)測變量的長期趨勢可以用關(guān)于時間的直線描述，通過該直線趨勢的向外延伸（外推），估計其預(yù)測值。兩種處理方式：擬合直線方程與加權(quán)擬合直線方程例1

某家用電器廠1993～2003年利潤額數(shù)據(jù)資料如表3.1所示。試預(yù)測2004、2005年該企業(yè)的利潤。年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤額yt2003003504005006307007508509501020？？?A擬合直線方程法使用最小二乘法擬合直線概念：離差與離差平方ee最小擬合程度最好★最小二乘法原理★★最小二乘法原理★本質(zhì):使歷史數(shù)據(jù)到擬合直線上的離差平方和最小，從而求得模型參數(shù)的方法。演進(jìn)：法國數(shù)學(xué)家勒讓德于1806年首次發(fā)表最小二乘理論。事實上，德國的高斯于1794年已經(jīng)應(yīng)用這一理論推算了谷神星的軌道，但直至1809年才正式發(fā)表。應(yīng)用：最小二乘法也是數(shù)理統(tǒng)計中一種常用的方法，在工業(yè)技術(shù)和其他科學(xué)研究中有廣泛應(yīng)用。運(yùn)算過程：最小二乘法1801年，意大利天文學(xué)家朱賽普·皮亞齊發(fā)現(xiàn)了第一顆小行星谷神星。經(jīng)過40天的跟蹤觀測后，由于谷神星運(yùn)行至太陽背后，使得皮亞齊失去了谷神星的位置。隨后全世界的科學(xué)家利用皮亞齊的觀測數(shù)據(jù)開始尋找谷神星，但是根據(jù)大多數(shù)人計算的結(jié)果來尋找谷神星都沒有結(jié)果。時年24歲的高斯也計算了谷神星的軌道。奧地利天文學(xué)家海因里?！W爾伯斯根據(jù)高斯計算出來的軌道重新發(fā)現(xiàn)了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法發(fā)表于1809年他的著作《天體運(yùn)動論》中。法國科學(xué)家勒讓德于1806年獨立發(fā)現(xiàn)“最小二乘法”。但因不為時人所知而默默無聞。勒讓德曾與高斯為誰最早創(chuàng)立最小二乘法原理發(fā)生爭執(zhí)。

1829年，高斯提供了最小二乘法的優(yōu)化效果強(qiáng)于其他方法的證明，因此被稱為高斯-莫卡夫定理。最小二乘法公式∑(X—X平)(Y—Y平)

=∑(XY—X平Y(jié)—XY平+X平Y(jié)平)

=∑XY—X平∑Y—Y平∑X+nX平Y(jié)平=∑XY—nX平Y(jié)平—nX平Y(jié)平+nX平Y(jié)平=∑XY—nX平Y(jié)平∑(X—X平)^2

=∑(X^2—2XX平+X平^2)

=∑X^2—2nX平^2+nX平^2

=∑X^2—nX平^2x=12345678910111213………………代入相應(yīng)的x，得出預(yù)測值y………………解例1

某家用電器廠1993~2003年利潤額數(shù)據(jù)資料如表3.1所示。試預(yù)測2004、2005年該企業(yè)的利潤。年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤額2003003504005006307007508509501020年份利潤額yt199320019943001995350199640019975001998630199970020007502001850200295020031020xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780490060007650950011220預(yù)測值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.31018∑66506650649000對于時間序列，xt

的取值為1到n,即自變量xt

的取值等于其下標(biāo)t。采用正負(fù)對稱編號法可簡化計算。特別，當(dāng)n為奇數(shù)時，取其中位數(shù)的編號為0，可使

擬合直線方程法的特點擬合直線方程的一階差分為常數(shù)（一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)）只適用于時間序列呈直線上升（或下降）趨勢變化。對時間序列數(shù)據(jù)，不論其遠(yuǎn)近都一律同等看待。用最小二乘原理擬合的直線方程消除了不規(guī)則因素的影響，使趨勢值都落在擬合的直線上?；具^程如下圖:擬合直線方程法預(yù)測步驟圖開始習(xí)題：某市1978—1986年化纖零售量如表所示，試預(yù)測1987年化纖零售量。

某市化纖零售量及其一階差分

單位：萬米年份197819791980198119821983198419851986零售量265297333370405443474508541加權(quán)擬合直線方程法擬合直線方程法簡析：擬合直線方程法的基本思想是要使預(yù)測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)的誤差的平方和達(dá)到最小。離差平方和是每期的實際值與該期的預(yù)測值的偏差值的平方和，意味著：中的每一項都有同樣的重要性，即無論這個誤差是近期的或是遠(yuǎn)期的，都賦予同等的權(quán)重。但實際情況是，對于預(yù)測精度來說，近期誤差比遠(yuǎn)期的誤差更為重要。在擬合直線方程時，按照時間先后，本著重今輕遠(yuǎn)的原則，對離差平方和進(jìn)行賦權(quán)，然后再按最小二乘原理，使離差平方和達(dá)到最小，求出加權(quán)擬合直線方程。由近及遠(yuǎn)的離差平方和的權(quán)重分別為其中，說明對最近期數(shù)據(jù)賦予最大權(quán)重為1，而后有近及遠(yuǎn)，按比例遞減。各期權(quán)重衰減的速度取決于的取值。B：加權(quán)擬合直線方程法基本思想衰減速度越慢衰減速度越快？加權(quán)擬合直線方程法的過程與模型？？加權(quán)擬合直線方程法的過程與模型使用加權(quán)擬合直線方程法解前例1

某家用電器廠1993~2003年利潤額數(shù)據(jù)資料如下表所示。試預(yù)測2004、2005年該企業(yè)的利潤。年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤額2003003504005006307007508509501020年份xt利潤額ytn-ta(n-t)a(n-1)yta(n-1)xtyta(n-1)xta(n-1)xt219931200100.107421.474836521.474836480.1073740.1073741821994230090.134240.265318480.53063680.2684350.5368709121995335080.167858.720256176.1607680.5033161.509949441996440070.209783.88608335.544320.8388613.35544321997550060.2621131.072655.361.310726.55361998663050.3277206.43841238.63041.9660811.796481999770040.4096286.722007.042.867220.07042000875030.512038430724.09632.7682001985020.640054448965.7651.8420021095010.80007607600880200311102001.000010201122011121∑4.57053536.576931302.741036.7180329.5381預(yù)測模型為：使用加權(quán)擬合直線方程法解題

結(jié)論分析由于時間序列線性趨勢比較明顯，又由于加權(quán)系數(shù)較大(0.8)，使得，加權(quán)與不加權(quán)擬合結(jié)果相近。加權(quán)的重近輕遠(yuǎn)原則，使其預(yù)測結(jié)果更接近于實際觀察值。擬合直線方程法的特殊運(yùn)用在現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到比線性（直線）發(fā)展趨勢更為復(fù)雜的問題。例子：某商品過去九年的市場總需求量時間（年）123456789總需求量（件）16527045074012202010312054609000作圖觀察其變化趨勢（圖中公式為趨勢線函數(shù)方程）：某商品過去九年的市場總需求量又例2:某公司1991～2003年銷售額（單位：萬元）擬合直線方程的特殊運(yùn)用

------非線性問題的線性化上述特別的變化趨勢在實際生活中，常常會遇到比線性發(fā)展趨勢更為復(fù)雜的描述問題。但在某些情況下，我們可以通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將變量間的關(guān)系式化為線性的形式。如：在滿足的變量關(guān)系中，a、b，均為與t無關(guān)的未知參數(shù)，只要令，即可將其化為線性形式關(guān)系：變換變換常用轉(zhuǎn)換模型（3-1）常用轉(zhuǎn)換模型（3-2）對于上式兩邊取對數(shù)：令：則有：常用轉(zhuǎn)換模型（3-3）運(yùn)用擬合直線方程法，可求得：進(jìn)一步用正負(fù)編號法 例子：某公司1993～2005年產(chǎn)品的銷售額如下表，試預(yù)測2006年的產(chǎn)品銷售額。（非線性變化趨勢）觀察期銷售額199318199472199590199621019972701998390199957020009002001150020022310200340502004480020055400

觀察期銷售額xtxt2lnytxt

lnyt199318-6362.890-17.342199472-5254.277-21.383199590-4164.500-17.9991996210-395.347-16.0411997270-245.598-11.1971998390-115.966-5.9661999570006.3460.0002000900116.80