重慶錢塘中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

重慶錢塘中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知不等式對一切正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．(0,3) B．(1,3) C．(2,4) D．(－∞,3)參考答案：B2.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，點(diǎn)P為三角形ABC所在平面上一動點(diǎn)，且滿足=1，則的取值范圍是A.

B.

C.[-2,2]

D.參考答案：D根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示則A（0，2），B（2，0），C（0，0），由||=1知，點(diǎn)P在以B為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；則=（cosθ，sinθ），又+=（2，2）；∴?（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），當(dāng)θ+=，即θ=時，?（+）取得最大值2，當(dāng)θ+=，即θ=時，?（+）取得最小值﹣2，∴?（+）的取值范圍是[﹣2，2]．故選：D．

3.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的實(shí)部是()．

A.

B．－

C．－i

D．－參考答案：D略4.若復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i+z）i=2+i，則z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．參考答案：D【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：（3﹣4i+z）i=2+i，則3﹣4i+z===﹣2i+1．∴z=﹣2+2i．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知O為正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，若△OAB的面積與△OBC的面積的比值為3，則λ的值為（）A． B． C．2 D．3參考答案：C【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】如圖D，E分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)，對所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的條件得到=﹣λ，由于正三角形ABC，結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到S△COB=S△ABC，S△COA=S△ABC，由面積之比，O分DE所成的比，從而得出λ的值．【解答】解：由于，變?yōu)?+λ（+）=0．如圖，D，E分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知+=2，λ（+）=2λ，故=﹣λ，在正三角形ABC中，∵S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC，S△COA=S△ACB﹣S△ABC﹣S△ABC=S△ABC，且三角形AOC與三角形COB的底邊相等，面積之比為2得λ=2．故選：C．6.已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)且有，則對任意的，當(dāng)時，有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（x）=，則關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和為（）A．1﹣（）a B．（）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由題意，關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5個根，從左向右分別為x1，x2，x3，x4，x5，則x1+x2=﹣6，﹣log2（1﹣x3）=﹣a，x4+x5=6，即可得出關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和．【解答】解：由題意，關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5個根，從左向右分別為x1，x2，x3，x4，x5，則x≥1，f（x）=，對稱軸為x=3，根據(jù)對稱性，x≤﹣1時，函數(shù)的對稱軸為x=﹣3，∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），∴﹣1＜x＜0時，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a，∴x3=1﹣2a，∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2a+6=1﹣2a，故選：C．8.設(shè)復(fù)數(shù)z=，則z=（）A．1+i B．1﹣i C．1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由求解．【解答】解：∵z==，∴z=|z|2=1．故選：C．9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是

(

)

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略10.已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識點(diǎn)】拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程H7B解析：由題意可知，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以不妨設(shè)軸，從而，，故選B.【思路點(diǎn)撥】解本題若是注意到點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，就可以利用特殊情況（軸）求解；此題還可以設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線，利用進(jìn)行求解.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向，∥，則x=

。參考答案：【知識點(diǎn)】平行向量與共線向量因?yàn)?，∥，所以，解得，故答案為。【思路點(diǎn)撥】用兩向量共線坐標(biāo)形式的充要條件公式即可．

12.已知A是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線FA交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B（點(diǎn)B在x軸上方），若|AB|=2|AF|，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________．參考答案：或(，)13.已知α為第二象限角，，則cos2α=．參考答案：【考點(diǎn)】二倍角的正弦；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【專題】計算題；壓軸題；三角函數(shù)的求值．【分析】由α為第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，從而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，兩邊平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α為第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，突出二倍角的正弦與余弦的應(yīng)用，求得sinα﹣cosα的值是關(guān)鍵，屬于中檔題．14.若關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則的取值范圍是_______________參考答案：答案：15.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則▲。參考答案：略16.已知中，點(diǎn)、、的坐標(biāo)依次是、、，邊上的高為，則的坐標(biāo)是

．參考答案：（-1,2）設(shè)D（x，y），因=(-6，-3),ADBC,又(x-2，y+1)，∴-6（x-2）-3（y+1）=0.還有與共線，∴（x-3）-2（y-2）=0.求得x=1，y=1所以=（-1,2）17.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和

，則在中，有

個有理數(shù)．參考答案：43依題意，，故，因?yàn)?，故，故?3個有理數(shù).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，求時，函數(shù)的值域.參考答案：解：（1），①，②，所以，不等式的解集為；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，得，∴，故當(dāng)時，，所以在時的值域?yàn)?19.已知z1=5+10i，z2=3-4i，，求z.參考答案：略20.已知函數(shù)（1）求證：函數(shù)在點(diǎn)處的切線橫過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，求證：在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)有無窮多個。參考答案：(1)因?yàn)?/p>

，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為

，……2分

整理得，所以切線恒過定點(diǎn)

．

………4分(2)令<0，對恒成立，

因?yàn)?/p>

（*）

……………………6分

令，得極值點(diǎn)，，

①當(dāng)時，有，即時，在（，+∞）上有，

此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有∈，不合題意；

②當(dāng)時，有，同理可知，在區(qū)間上，有∈，也不合題意；

……8分

③當(dāng)時，有，此時在區(qū)間上恒有，

從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，所以．

綜上可知的范圍是．

……………12分

(3)當(dāng)時，

記．

因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，

所以，

…………14分

設(shè),則,所以在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)有無窮多個．

………16分略21.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上任一點(diǎn)．（1）求證：直線A1B1∥平面ABD；（2）求證：平面ABD⊥平面BCC1B1．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)判定線線平行，再由線線平行證線面平行即可；（2）先由線線垂直證線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直即可．【解答】證明：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得A1B1∥AB，又A1B1?平面ABD，AB?平面ABD，∴A1B1∥平面ABD．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AB⊥BB1，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCC1B1，又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCC1B1．22.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=x3－ax2，a∈R.（1）當(dāng)a=2時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x－a)cosx－sinx，討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.參考答案：解：（Ⅰ）由題意，所以，當(dāng)時，，，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（Ⅱ）因?yàn)?/p>

g（x）=f（x）+（x-a）cosx-sinx，所以

=x（x-a）-（x-a）sinx

=（x-a）（x-sinx），令

h（x）=x-sinx，則

，所以

h（x）在R上單調(diào)遞增.因?yàn)?/p>

h（0）=0.所以

當(dāng)x＞0時，h（x）＞0；

當(dāng)x＜0時，h（x）＜0.（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時，取到極大值，極大值