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文檔簡(jiǎn)介
2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)中考解答題專項(xiàng)訓(xùn)練——二次函數(shù)
一、解答題
1.在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫出函數(shù)y=2x2和y=2(x-1)2+1的圖象,并說出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).
2.寫出拋物線y=-x2+4x的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和最大值.
3.若二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(1,-2)兩點(diǎn),求此二次函數(shù)的表達(dá)式.
4.求下列二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo):y=2x2+12x+2l.
5.求拋物線y=;x2-x+l在-2&W2的最大值與最小值.
6.如圖,二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,
求ABCD的面積.
7.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+——=0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
2
(1)求k的值;
(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+—/的圖象向下平移9個(gè)
單位,求平移后的圖象的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,平移后的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),直
線丫=1?+15(k>0)過點(diǎn)B,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線BC上方的拋物線與線段BC組成
新的圖象,當(dāng)此新圖象的最小值大于-5時(shí),求k的取值范圍.
8.若拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),且過點(diǎn)(1,-2),求拋物線的解析式.
9.用配方法把二次函數(shù)y=-2x2+6x+4化為y=a(x+m)?+k的形式,再指出該函數(shù)圖象的開口方
向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).
10.一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具,成本為10元/件,出廠價(jià)為12元/件,年銷售量為2萬件.今年計(jì)
劃通過適當(dāng)增加成本來提高產(chǎn)品檔次,以拓展市場(chǎng).若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加
0.7x倍,今年這種玩具每件的出廠價(jià)比去年出廠價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍,則預(yù)計(jì)今年年銷售量將比去年
年銷售量增加x倍(本題中0<xW).
(1)用含x的代數(shù)式表示,今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為多少元,今年生產(chǎn)的這種玩具每件
的出廠價(jià)為多少元.
(2)求今年這種玩具的每件利潤(rùn)y元與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤(rùn)為w萬元,求當(dāng)x為何值時(shí),今年的年銷售利潤(rùn)最大?最大
年銷售利潤(rùn)是多少萬元?
注:年銷售利潤(rùn)=(每件玩具的出廠價(jià)-每件玩具的成本)x年銷售量.
11.如果二次函數(shù)y=x2-x+c的圖象過點(diǎn)(1,2),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并求出該函數(shù)圖象的
頂點(diǎn)坐標(biāo).
12.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-4),且與y軸交于點(diǎn)(0,-3),求此二次函數(shù)的解析式
13.已知一條拋物線分別過點(diǎn)(3,-2)和(0,1),且它的對(duì)稱軸為直線x=2,試求這條拋物線
的解析式.
14.如圖,直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3)拋物線y=-
x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式,并驗(yàn)證點(diǎn)B是否在拋物線上;
(2)作BDLOC,垂足為D,連接AB,E為y軸左側(cè)拋物線點(diǎn),當(dāng)△EAB與△EBD的面積相等
時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在直線AC上,點(diǎn)Q在拋物線y=-x2+bx+c上,是否存在P、Q,使以A、B、P、Q為
頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
一4
15.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-=x2+12的圖象與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于
B,C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),連接AB,AC.
D
(2)過點(diǎn)C作射線CD〃AB,點(diǎn)M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),且始終滿
足BM=AP(點(diǎn)M不與點(diǎn)A,點(diǎn)B重合),過點(diǎn)M作MN〃BC分別交AC于點(diǎn)Q,交射線CD于點(diǎn)
N(點(diǎn)Q不與點(diǎn)P重合),連接PM,PN,設(shè)線段AP的長(zhǎng)為n.
①如圖2,當(dāng)nV^AC時(shí),求證:ZiPAM絲^NCP;
②直接用含n的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng);
③若PM的長(zhǎng)為歷,當(dāng)二次函數(shù)y=-^-x2+12的圖象經(jīng)過平移同時(shí)過點(diǎn)P和點(diǎn)N時(shí),請(qǐng)直接
寫出此時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式.
答案解析部分
1.【答案】解:如圖,
相同點(diǎn):開口方向和開口大小相同;
不同點(diǎn):函數(shù)y=2(x-1)2+1的圖象是由函數(shù)y=2x2的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,
再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的,位置不同.
2.【答案】解:y=—x2+4x=—(x—2)"+4;
...拋物線的開口向下,對(duì)稱軸是直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),最大值是4.
3.【答案】解:?.?二次函數(shù)y=x?+bx+c的圖象經(jīng)過(0,1)和(1,-2)兩點(diǎn),
1=G
-2=l+b+c.
b=-4,
解得
c=1.
.?.二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-4x+l.
4.【答案】解:y=2f+12x+21
=2(f+6x+9-9)+21
=2(x+3『-18+21
=2(%+3)2+3
???對(duì)稱軸為直線》=一3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,3).
5.【答案】解:?.?拋物線y=yx2-x+l,
b-1,
V=--.............-1
拋物線的對(duì)稱軸方程為:2a
zX—
2
va=->0,則函數(shù)圖象的開口向上,
2
當(dāng)x=i時(shí),y最小值=5-1+1=5,
當(dāng)%=—2時(shí)-,y=gx4—(—2)+1=5,
當(dāng)x=2時(shí),y=gx4—2+1=1,
k1,u
而一<1<5,
2
所以拋物線y=!x2-x+1在-2<x<2的最大值為5,最小值為L(zhǎng)
22
6.【答案】解:延長(zhǎng)DC交x軸于E,
依題意,可得y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
???頂點(diǎn)D(1,4),
令y=0,可得x=3或x=T,
AB(3,0),
令x=0,可得y=3,
:.C(0,3),
???OC=3,
???直線DC的解析式為y=x+3,
令y=0,可得x=-3,
:.E(-3,0),
BE=6,
**?SABCD—SABED-SABCE——x6x4x6x3=12-9=3.
22
???△BCD的面積為3.
k
7.【答案】解:(1)???關(guān)于x的一元二次方程X2+2X+——=0有實(shí)數(shù)根,
2
k_1
/.△=b2-4ac=4-4x------>0,
2
.\k-1<2,
.\k<3,
為正整數(shù),
;.k的值是1,2,3;
(2)?.?方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根,
當(dāng)k=l時(shí),,x2+2x=0,不合題意,舍去,
當(dāng)k=2時(shí),x2+2x+-=0,
2
方程的根不是整數(shù),不合題意,舍去,
當(dāng)k=3時(shí),x2+2x+l=0,
解得:x,=x2=-1,符合題意,
,k=3,
y=x2+2x+1,
.?.平移后的圖象的表達(dá)式y(tǒng)=x2+2x+l-9=x2+2x-8;
(3)令y=0,x2+2x-8=0,
/.xi=-4,X2=2,
??,與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),
AA(-4,0),B(2,0),
,直線1:y=kx+b(k>0)經(jīng)過點(diǎn)B,
.?.函數(shù)新圖象如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),新函數(shù)的最小值有可能大于-5,
令y=-5,即x2+2x-8=-5,
解得:Xl=-3,X2=l,(不合題意,舍去),
拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-3,-5),
當(dāng)直線y=kx+b(k>0)經(jīng)過點(diǎn)(-3,-5),(2,0)時(shí):
可求得k=l,
由圖象可知,當(dāng)0<kVl時(shí)新函數(shù)的最小值大于-5.
8.【答案】解:設(shè)拋物線解析式為y=a(x+l>+2,
(1,一2)代入得ax(l+iy+2=-2,
4tz=T
解得。=—1,
即拋物線解析式為y=-。++2.
9.【答案】解:y=-2x2+6x+4,
(9、9
=-2x2-3x+—+4+-,
I4j2
3
開口向下,對(duì)稱軸為直線x=-,頂點(diǎn)(U15口2]J
10.【答案】解:(1)10+7x;12+6x;
(2)y=(12+6x)-(10+7x),
/.y=2-x(0<x<l);
(3)Vw=2(1+x)?y
=2(1+x)(2-x)
=-2x2+2x+4,
;.w=-2(x-0.5)2+4.5
Y-2<0,0<x<l,
,w有最大值,
,當(dāng)x=0.5時(shí),w品大=4.5(萬元).
答:當(dāng)x為0.5時(shí),今年的年銷售利潤(rùn)最大,最大年銷售利潤(rùn)是4.5萬元.
11.【答案】解:將x=l,y=2代入y=x2-x+c得:2=1-1+c,即c=2,
則二次函數(shù)解析式為y=x2-x+2;
17
Vy=x2-x+2=(x--)2+-,
24
17
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一,一)
24
12.【答案】解:設(shè)二次函數(shù)為y=a(x-l>-4(a/)),
代入(0,-3)得-3=a(0-l)2-4
解得a=l
二次函數(shù)為y=(x-l)2-4.
13.【答案】解:?.?拋物線的對(duì)稱軸為x=2,
.?.可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+b
?(3—2)~+b=-2
把(3,-2),(0,1)代入解析式得
+b-\
解得,b=—3,
.?.所求拋物線的解析式為y=(x-2>-3
14.【答案】解:(1)在y=-x+3中,
令x=0,得y=3;令y=0,得x=3,
/.A(0,3),C(3,0).
?拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn),
>c=3
-9+3b+c-0'
b=2
解得《
c=3
,拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,
當(dāng)x=2時(shí),y=-22+2x2+3=3,
?,?點(diǎn)B(2,3)在拋物線上;
(2)VA(0,3),B(2,3),
AAO=BD=3,
VAO±OC,BD±OC,
,AO〃BD,
???四邊形AODB是平行四邊形,
?.*ZAOD=90°,
J平行四邊形AODB是矩形,
AAB±AO.
設(shè)E(x,-x2+2x+3),
22
則SAEAB二;AB?[3-(-x+2x+3)]=x-2x,
13
SAEBD=—BD?(2-x)=-(2-x),
22
?SAEAB—SAEBD,
3
/.x2-2x=—(2-x),
2
3
解得X尸---,X2=2(舍去),
2
,一39
???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-不,---);
24
(3)存在P、Q,使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.理由如下:
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-x+3),分兩種情況:
①當(dāng)AB為邊時(shí);
I)如果四邊形BAPQ為平行四邊形,那么PQ〃AB〃x軸,且PQ=AB=2,
;.Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x+2,-x+3),
VQ點(diǎn)在拋物線y=-x2+2x+3上,
-x+3=-(x+2)2+2(x+2)+3,
整理得x2+x=0,
解得Xl=-1,X2=0(舍去),
...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,4);
II)如果四邊形BAQP為平行四邊形,那么PQ〃AB〃x軸,且PQ=AB=2,
,Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x-2,-x+3),
VQ點(diǎn)在拋物線y=-x2+2x+3上,
,-x+3=-(x-2)2+2(x-2)+3,
整理得x2-7x+8=0,
的俎7+V177-V17
解得X|=----------,X2=-----------,
22
/.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7+厲,-Z±2叵)或("后,7-而);
2222
②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí),則AB與PQ互相平分,
VA(0,3),B(2,3),
AAB中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),
?.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-x+3),
...點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2-x,x+3),
???Q點(diǎn)在拋物線y=-x2+2x+3上,
x+3=-(2-x)2+2(2-x)+3,
整理得x2-x=0,
解得X|=l,X2=0(舍去),
.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2);
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(-1,4)或(姮,-姮)或(二晅,
222
)或(1,2).
2
15.【答案】(1)答:(-9,0),(9,0).
4
解:B、C為拋物線與x軸的交點(diǎn),故代入y=0,得產(chǎn)-王^2+12=0,
解得x=-9或x=9,
即B(-9,0),C(9,0).
(2)①證明:???AB〃CN,
.?./MAP二NPCN,
VMN/7BC,
???四邊形MBCN為平行四邊形,
ABM=CN,
VAP=BM,
,AP=CN,
VBO=OC,OA±BC,
??.OA垂直平分BC,
,AB=AC,
,AM=AB-BM=AC-AP=CP.
在小PAM和小NCP中,
'AP=CN
<NMAP=NPCN,
AM=CP
/.△PAM^ANCP(SAS).
②解:I.當(dāng)n<;AC時(shí),如圖1,
:四邊形MBCN為平行四邊形,
AZMBC=ZQNC,
VAB=AC,MN〃BC,
NMBC=NQCB=NNQC,
.\ZNQC=ZQNC,
,CN=CQ,
VAMAP^APCN,
,AP=CN=CQ,
AP=n,AC=7A(?2+OC2=V122+92=15>
r.PQ=AC-AP-QC=15-2n.
2.當(dāng)1!=!人(:時(shí),顯然P、Q重合,不符合題意.
2
3.當(dāng)n>,AC時(shí),如圖2,
2
?/四邊形MBCN為平行四邊形,
AZMBC=ZQNC,BM=CN
VAB=AC,MN〃BC,
JZMBC=ZQCB=ZNQC,
.,.ZNQC=ZQNC,
ABM=CN=CQ,
VAP=BM,
???AP=CQ,
VAP=n,AOI5,
???PQ=AP+QC-AC=2n-15.
綜上所述,當(dāng)n<,AC時(shí),PQ=15-2n;當(dāng)n>,AC時(shí),PQ=2n-15.
22
g4^16._p,4232—
③y=-----x2+—x+4或----JT+—x-12.
279279
分析如下:
1.當(dāng)n<」AC時(shí),如圖3,過點(diǎn)P作x軸的垂線,交MN于E,交BC于F.
2
此時(shí)△PEQs^PFCsaAOC,PQ=15-2n.
ME=EN=-MN=-BC=9,
22
PE=yJpM2-ME2=,97-81=4,
OC:OA:AC=3:4:5,△PEQ^APFC^AAOC,
PQ=5,
15-2n=5,
/.AP=n=5,
,PC=10,
AFC=6,PF=8,
VOF=OC-FC=9-6=3,EN=9,EF=PF-PE=8-4=4,
:.P(3,8),N(12,4).
44
設(shè)二次函數(shù)y=-=x
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