2023年中考數(shù)學(xué)圓習(xí)題

中考數(shù)學(xué)圓習(xí)題

1、如圖，AB是。0的弦，BC切。。于點B,AD±BC,垂足為D,0A是。0的半徑，且0A=3.

(1)求證：AB平分NOAD；(2)假設(shè)點E是優(yōu)弧加上一點，且/AEB=60。，求扇形OAB

的面積.(計算結(jié)果保存捫

2、如圖，在Rt/XABC中，NACB=90。，以BC為直徑的。0交AB于點D,E是AC的中點，0E

交CD于點F.(1)假設(shè)NBCD=36。，BC=10,求BD的長；(2)判斷直線DE與。0的位置關(guān)

系，并說明理由；(3)求證：ZCENAB-EF.

3、在等腰AABC中，AC=BC,以BC為直徑的00分別與AB,AC相交于點D,E,過點D作DFLAC,垂足為

點F.(l)求證：DF是。。的切線；(2)分別延長CB,FD,相交于點G,ZA=60°,。。的半徑為6,求陰影局部

的面積.

4、如圖，。。是△ABC的外接圓，AD是。0的直徑，且BD=BC,延長AD到E,且有NEBD=NCAB.

(1)求證：BE是。。的切線；(2)假設(shè)BC=?,AC=5,求圓的直徑AD及切線BE的長.

5、如下圖，在RsABC與RtA0CD中，NACB=NDCO=90。，O為AB的中點.(1)求證：

NB=NACD.(2)點E在AB上，5.BC2=AB?BE.(i)假設(shè)tan/ACD=3,BC=10,求CE

4

的長；(ii)試判定CD與以A為圓心、AE為半徑的。A的位置關(guān)系，并請說明理由.

6、如圖，CD為。。的直徑，弦AB交CD于點E,連接BD、OB.(1)求證：AAECSADEB；

(2)假設(shè)CDLAB,AB=8,DE=2,求。。的半徑.

7、如圖，△ABC是的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過點B的切線與AC的延長線交于點D,E

是BD中點，連接CE.[1)求證：CE是的切線；(2)假設(shè)AC=4,BC=2,求BD和CE

的長.

8、如圖，AB是OO的直徑，C是。0上的一點，直線MN經(jīng)過點C,過點A作直線MN的垂線，垂足為點D,

且NBAC=NCAD.(1)求證：直線MN是0O的切線；(2)假設(shè)CD=3,ZCAD=30°,求OO的半徑.

9、如圖，OA,0D是。0半徑，過A作。。的切線，交NAOD的平分線于點C,連接CD,延長AO交。0于點E,交

CD的延長線于點B〔1〕求證：直線CD是。0的切線；〔2〕如果D點是BC的中點，的半徑為3cm,求血

的長度〔結(jié)果保存n〕

10、在平面直角坐標(biāo)中，△ABC三個頂點坐標(biāo)為A[-加，0)、B(V3-0)、C(0,3).

(1)求^ABC內(nèi)切圓0D的半徑.(2)過點E(0,-1)的直線與OD相切于點F(點F

在第一象限)，求直線EF的解析式.(3)以(2)為條件，P為直線EF上一點，以P為圓

心，以2聽為半徑作OP.假設(shè)0P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，求此時圓心

P的坐標(biāo).

11、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,對角線AC為。。的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E,

點F為CE的中點，連接DB,DC,DF.(1)求NCDE的度數(shù)；(2)求證：DF是00的切線；(3)假

設(shè)AC=2而)E,求tanzABD的值.

12、如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點(P與B、C不重合)，連接AP,過點B作BQJ_AP交CD于

點Q,將ABQC沿BQ所在的直線對折得到ABQC,延長QC交BA的延長線于點M.(1)試探究AP與BQ

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；⑵當(dāng)AB=3,BP=2PC,求QM的長；⑶當(dāng)BP=m,PC=n時，求AM的長.

13、如圖，以RSABC的AC邊為直徑作。O交斜邊AB于點E,連接EO并延長交BC的延長線于點D,點F

為BC的中點，連接EF.⑴求證：EF是00的切線；⑵假設(shè)的半徑為3,NEAC=60。，求AD的長.

14、如圖，AB是。。的直徑，點C、D為半圓0的三等分點，過點C作CE_LAD,交AD的延長線于點E.

(1)求證：CE是00的切線；(2)判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由.

15、如圖，在直角坐標(biāo)系中，。乂經(jīng)過原點0(0,0),點A(加，0)與點B(0,-&),點D在劣弧須上,

連接BD交x軸于點C,且NCOD=NCBO.(1)求。M的半徑；(2)求證：BD平分NABO；(3)在線段

BD的延長線上找一點E,使得直線AE恰好為0M的切線，求此時點E的坐標(biāo).

16、如圖，AABC內(nèi)接于。0,且AB=AC,直徑AD交BC于點E,F是0E上的一點，使CF〃BD.

(1)求證：BE=CE；(2)試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；(3)假設(shè)BC=8,AD=10,求CD的長.

17、如圖，。。的直徑為AB,AC_LAB于點A,BC與相交于點D,在AC上取一點E,使得ED=EA.

(I)求證：ED是的切線.(2〕當(dāng)OA=3,AE=4時，求BC的長度.

18、如圖，E是長方形ABCD的邊AB上的點，EF_LDE交BC于點F；11)求證：△ADE-△BEF；12)設(shè)H

是ED上一點，以EH為直徑作OO,DF與。O相切于點G,假設(shè)DH=OH=3,求圖中陰影局部的面積(結(jié)果

保存到小數(shù)點后面第一位，75=1.73,兀=3.14).

19、如圖，點A是。O上一點，OA1.AB,且OA=1,AB=?,0B交。O于點D,作AC_LOB,垂足為M,并

交。O于點C,連接BC.(1)求證：BC是。。的切線；(2)過點B作BP_LOB,交OA的延長線于點P,

連接PD,求sin/BPD的值.

中考數(shù)學(xué)圓習(xí)題答案

1、(1)證明：連接OB,如下圖：.??BC切。O于點B,

AOBIBC,VAD±BC,，AD〃OB,AZDAB=ZOBA,

VOA=OB,；.NOAB=NOBA,/.ZDAB=ZOAB,

AAB平分NOAD；

(2)解：???點E是優(yōu)弧而上一點，且NAEB=60。，

ZAOB=2ZAEB=120°,，扇形OAB的面積口型兀工交=3兀.

360

2、解：⑴TBC是直徑,AZBDC=90°,

在Rt^BCD中，VBC=10,NBCD=36。，/.BD=BC?sin36°=10?sin36°^5.9.

⑵連接OD.VAE=EC,OB=OC,，OE〃AB,VCD1AB,

AOEICD,VOD=OC,AZDOE=ZCOE,在AEOD和△EOC中,

.?.△EOD四△EOC,AZEDO=ZECO=90°,，OD_LDE,

...DE是的切線.

(3)VOE1CD,Z.DF=CF,VAE=EC,，AD=2EF,

VZCAD=ZCAB,ZADC=ZACB=90°,.,.△ACD^AABC,

.*.AC2=AD?AB,VAC=2CE,.MCEZMZEF-AB,A2CE2=EF?AB.

3、⑴連接OD,CD,3BC是(DO的直徑.,.NBDC=90°即CDJ_AB

；AC=BC，CD平分AB,即點D是AB的中點又；點O是BC的中點

；.OD〃AC又：DFJ_AC，DF_LOD又：0D是。O的半徑，DF是。0的切線

(2)ZA=60°,AC=BCAZOBD=ZA=60°

VOD=OB.-.ABOD為等邊三角形；.ZBOD=60°V?0的半徑為6/.OD=6

DG

VDF是。O的切線；.ZODG=90°.,.tan60()=——

OD

即：DG=tan60°,OD=6V3S叩SI=SAODG-SSKBOD=—,OD-DG--------7t-OD~=—x6x6^/3-----x乃x6~

236026

=1873-6^

4、解：如圖，連接OB,BD=BC,NCAB=NBAD,NEBD=NCAB,

ZBAD=ZEBD,JAD是。O的直徑，..NABD=90°,OA=BO,

ZBAD=ZABO,ZEBD=ZABO,

ZOBE=NEBD+ZOBD=ZABD+ZOBD=ZABD=90",1,點B在。O上,

BE是。。的切線，

(2)如圖2,設(shè)圓的半徑為R,連接CD,?；AD為。0的直徑，，NACCD=90。,

,/BC=BD,OB±CD,.-.OBIIAC,OA=OD,OF=—AC=—,

22

,?,四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，NBDE=NACB,,JNDBE=NACB,

ADBE-ACAB,DB=DE,...3=DE,...DE=S,

AC-BC5-V35

5

uFQD

???ZOBE=ZOFD=90°,DFIIBE,-11?R>0,R=3,

OB0E

AB=JAR2_Bn2=V^v必現(xiàn)BE=2?S.

YADDUvABBE5

5、解：(1)ZACB=ZDCO=90°,/.ZACB-ZACO=ZDCO-ZACO,

即NACD=NOCB,又?點O是AB的中點，J.OC=OB,/.ZOCB=ZB,

ZACD=ZB,

(2)(i)BC2=AB?BE,.?.區(qū)=理，VzB=ZB,J.△ABC-△CBE,

ABBC

NACB=NCEB=90。，,.NACD=NB,

3

tanZACD=tanZB=—,

4

設(shè)BE=4x,CE=3x,由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2,

(4x)2+(3x)2=]00,.?.解得x=2遍,CE=6近；

(ii)過點A作AF_LCD于點F,/ZCEB=90°,

ZB+ZECB=90",；NACE+NECB=90°,NB=NACE,

ZACD=ZB,ZACD=ZACE,CA平分NDCE,

???AF±CE,AE±CE,r.AF=AE,直線CD與。A相切.

6、(1)證明：VZAEC=ZDEB,ZACE=ZDBE,/.AAEC^ADEB.

⑵解：設(shè)。O的半徑為r,那么CE=2r-2.VCD±AB,AB=8,

.,.AE=BE=1AB=4.VAAEC^ADEB,AE即g=2r二2,解得：r=5

2DE-BE24

7、(1)證明：連接OC,如下圖：???BD是。0的切線,

n

ZCBE=ZA,NABD=90。，=AB是。0的直徑，

ZACB=90",AZACO+ZBCO=90",NBCD=90°,

?；E是BD中點，CE=LBD=BE,NBCE=NCBE=NA,

2

「OA=OC,ZACO=ZA,/.ZACO=ZBCE,

/.ZBCE+ZBCO=90°,即NOCE=90。，CEJLOC,

二CE是。。的切線；

12)解：VZACB=90",.-.AB=VAC2+BC2=V42+22=2^)

?;tanA=或RG2J,BD」AB=J^，=CE」BD=Y^.

ABAC42222

8、(1)證明：連接OC,因為OA=OC,所以ZBAC=NACO.

因為AC平分NBAD,所以NBAC=ZCAD,故NACO=ZCAD.

所以O(shè)CIIAD,又AD_1MN,所以O(shè)C_LMN,

所以，直線MN是。0的切線；

(2)解：AB是0O的直徑，那么ZACB=9O。，又AD，MN,

那么NADC=90°.因為CD=3,ZCAD=30",

所以AD=3?,AB=6在RIAABC和RtAACD中，ZBAC=NCAD,

所以RtAABC-RtAACD,那么郎，C,那么AB=4、行，所以。O的半徑為2M.

ACAD

9、〔1〕證明：；AC是。0切線，.-.OA±AC,Z0AC=90°,?.<0平分NAOD,

ZAOC=ZCOD,iSAAOC和aDOC中，

roc=oc

-ZCOA=ZCOD,?,.△AOC^ADOC,Z0DC=Z0AC=90°,;.ODJLCD,，直線CD是。。的切線?

OA=OD

〔2〕???OD±BC,DC=DB,.,.OC=OB,NOCD=NB=NACO,：NB+NACB=90°,/.ZB=30°,ZD0E=60",

.v上_60兀*3_?

?。的1l長-』--"-

10、解：(1)連接BD,???B(如,0),C[0,3),OB=?,OC=3,

tanzCBO=-^J3，/.ZCBO=60。1?點D是△ABC的內(nèi)心，

OBv

BD平分NCBO,ZDBO=30°,/.tanZDBO=—,

OB

,OD=1,4八8€：內(nèi)切圓。。的半徑為1；

(2)連接DF,過點F作FG_Ly軸于點G,E(0,-1)

二OE=1,DE=2,,直線EF與。D相切，..NDFE=90。，DF=1,

sinzDEF=—,NDEF=30。，Z.ZGDF=60°,.?.在RtADGF中，

DE

NDFG=30。，DG=—,由勾股定理可求得：GF=1.1F(返，—),

2222

設(shè)直線EF的解析式為：y=kx+b,

V-1

.?.,1加，，直線EF的解析式為：y=?x-l；

qR+b

(3)???0P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，

.?.該點必為△ABC外接圓的圓心，由（1）可知：AABC是等邊三角形,

△ABC外接圓的圓心為點D；.DP=2J7，

設(shè)直線EF與x軸交于點H,.?.令y=0代入y=?x-1,

/.x=2sS,H（返，0）,FH=?

333

當(dāng)P在x軸上方時，過點P]作P]M_Lx軸于M,

由勾股定理可求得：PiF=3近，PiH=P]F+FH="返，

3

???ZDEF=ZHP|M=30",HM=—PiH=-^S,

P|M=5,

23

OM=2無，P,（2晶，5）,

當(dāng)P在x軸下方時，過點P2作P2N_Lx軸于點N,

由勾股定理可求得：P2F=3V3-P2H=P2F-

P2N

ZDEF=30°/.ZOHE=60°.\sinZOHE="AT，

P2H

P?N=4,令y=-4代入y=V3x_1>x=-5/3,

P2(--4),

綜上所述，假設(shè)。P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，此時圓心P的坐標(biāo)為12M,5)

或〔-M，-4).

11、（1）解：???對角線AC為OO的直徑，.?.NADC=90。，.1NEDC=90。；

(2)證明：連接DO,ZEDC=90",F是EC的中點，,DF=FC,

ZFDC=NFCD,OD=OC,二ZOCD=ZODC,；ZOCF=90°,

ZODF=ZODC+ZFDC=ZOCD+ZDCF=90",DF是OO的切線；

(3)解：如下圖：可得NABD=NACD；NE+NDCE=90。，ZDCA+ZDCE=90°,

ZDCA=NE,又;ZADC=ZCDE=90°,△CDE-&ADC,

DC2=ADDE/AC=2/DE,二設(shè)DE=x,那么AC=2j^x,

ADDCv

那么AC?-AD2=ADDE,(2-S/5X)2-AD2=ADX,

整理得：AD2+ADX-20X2=0,解得：AD=4x或-4.5x(負(fù)數(shù)舍去)，

那么DC={(2^x)2__(4x)~、2x,故tanNABD=tanZACD=—=-^=2.

12、解：（1）AP=BQ.理由：?.,四邊形ABCD是正方形，；.AB=BC,NABC=NC=90。,

.-.ZABQ+ZCBQ=9O°.-.BQXAP,"PAB+NQBA=90°,二.NPAB=NCBQ.

在APBA和AQCB中，

，ZPAB=ZCBQ

?AB=BC,.”PBA￥QCB,，AP=BQ；

ZABP=ZBCQ

（2）過點Q作QH_LAB于H,如圖.1?四邊形ABCD是正方形,

/.QH=BC=AB=3./BP=2PC,/.BP=2,PC=1,

.■.BQ=AP^AB2+pB2-^32+22-V13-

1',BH=7BQ2-QH^A/IS-9=2":四邊形ABCD是正方形’.?.DCIIAB,.NCQB=NQBA.

由折疊可得NCQB=NCQB,：.NQBA=NCQB,設(shè)QM=X,那么有MB=X,MH=X-2.

在RSMHQ中，根據(jù)勾股定理可得x2=(x-2)2+32,解得x=—..'.QM的長為V：

(3)過點Q作QH_LAB于H,如圖.1,四邊形ABCD是正方形，BP=m,PC=n,

.?.QH=BC=AB=m+n..-.BQ2=AP2=AB2+PB2,.-.BH2=BQ2-QH2=AB2+PB2-AB2=PB2,，BH=PB=m.

設(shè)QM=x,那么有MB=QM=x,MH=x-m.在RtAMHQ中，根據(jù)勾股定理可得x2=(x-m)2+(m+n)2

2222

解得x=m+n+二.-.AM=MB-AB=m+n+工--m-n=H-./.AM的長為二

2m2m2m2m

13、證明：⑴如圖1,連接FO,??,F為BC的中點，AO=CO,A

,OFIIAB,AC是00的直徑，,CE_LAE,rOFIIAB,

，OF_LCE,J.OF所在直線垂直平分CE,FC=FE,OE=OC,

二NFEC=NFCE,ZOEC=ZOCE,/ZACB=90°,5]

即：NOCE+NFCE=90°,...NOEC+NFEC=90°,即：NFEO=90°,F圖10

FE為。。的切線；

(2〕如圖2,丫00的半徑為3,二A0=C0=E0=3,?.■NEAC=60。,OA=OE,

ZEOA=60",ZCOD=ZEOA=60%.,在RtAOCD中，ZCOD=60°,0C=3,

CD=373>在RtAACD中，ZACD=90。，CD=AC=6,，AD=W?

14、解：(1)連接AC,?.?點CD是半圓O的三等分點，二冬=而=癌，=NDAC=NCAB,

1,OA=OC,1-,ZCAB=ZOCA,ZDAC=ZOCA,/.AEIIOC

ZOCE=ZE,CE_LAD,二NOCE=90。，,OSCE,二CE是OO的切線；

(2)四邊形AOCD為菱形.理由是：I?俞=癌，=NDCA=NCAB,(/'/

CDII0A,又?；AEHOC,.,.四邊形AOCD是平行四邊形，???OA=OC,

二平行四邊形AOCD是菱形.___

15、解：（1）,點A（V6-0）與點B（0,-&）,J.OA=&，0B=V2-

=22=2

AB70A+0B^,AOB=90。，AB是直徑，0M的半徑為：V2；

⑵?；ZCOD=ZCBO,ZCOD=ZCBA,ZCBO=ZCBA,即BD平分NABO;

(3)如圖，過點A作AELAB,垂足為A,交BD的延長線于點E,過點E作EF_LO/

,在R3A0B中，tanN0AB=叟=2ZL近，r.NOAB=30。，

OAV63

ZABO=90°-ZOAB=60。，ZABC=ZOBC=lzABO=30°,0C=0B?tan3(F=&x

_2

AC=OA-OC=-^,ZACE=ZABC+ZOAB=60°,ZEAC=60°,

AACE是等邊三角形，J.AE=AC=Z返,，AF=￡E=2/^,EF=^AE=V2-OF=OA-AF=.2^,

_32323

???點E的坐標(biāo)為:(2V6,圾).

3

16、1)證明：：AD是直徑，...NABD=NACD=90°,

在RtzMBD和RtZ\ACD中，

1AB=AC,.".RtAABD^RtAACD,AZBAD=ZCAD,VAB=AC,，BE=CE；

IAD二AD

(2)四邊形BFCD是菱形.

證明：；AD是直徑，AB=AC,AADIBC,BE=CE,VCF^BD,AZFCE=ZDBE,

在ABED和ACEF中

ZCE=/DBE

BE=CE，/.△BED^ACEF,，CF=BD,...四邊形BFCD是平行四邊形,

NBED=NCEF=90°

VZBAD=ZCAD,.\BD=CD,四邊形BFCD是菱形；

(3)解:：AD是直徑,AD1BC,BE=CE,.,.CE=DE?AE,設(shè)DE=x,VBC=8,AD=10,

A42=X(10-X),解得：x=2或x=8(舍去)在RtZXCED中，CD={>岳2+pE2=在2+[±2.芯.

17、(1)證明：如圖，連接OD.ACJLAB,,NBAC=90°,即NOAE=90°.

在4AOE-^iADOE中，

"OA=OD

<AE=DE，二△AOE空△DOE(SSS),

OE=OE