第7章-點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)課件

第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)引言

運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)的科學(xué)。也就是從幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)容包括：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。

學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。將觀察者所在的物體稱為參考體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考坐標(biāo)系。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。時(shí)間概念要明確：瞬時(shí)和時(shí)間間隔。運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點(diǎn)和剛體。第七章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)引言運(yùn)動(dòng)第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)引言

運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)的科學(xué)。也就是從幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)容包括：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。

學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。將觀察者所在的物體稱為參考體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考坐標(biāo)系。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。時(shí)間概念要明確：瞬時(shí)和時(shí)間間隔。運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點(diǎn)和剛體。第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)引言運(yùn)動(dòng)第七章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

本章將介紹研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種方法，即：矢徑法、直角坐標(biāo)法和自然法。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱為圓周運(yùn)動(dòng)。表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。第七章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)本章將介紹研究點(diǎn)的運(yùn)8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

如圖，動(dòng)點(diǎn)M沿其軌跡運(yùn)動(dòng)，在瞬時(shí)t，M點(diǎn)在圖示位置。參考體

由參考點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)M作一矢量，則稱為動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)原點(diǎn)O的位置矢量，簡(jiǎn)稱矢徑。8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程如圖，8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

如圖，動(dòng)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，由矢端描繪出的連續(xù)曲線，稱為矢端曲線。在瞬時(shí)t，M點(diǎn)在圖示位置。參考體

于是動(dòng)點(diǎn)矢徑形式的運(yùn)動(dòng)方程為顯然，矢徑的矢端曲線就是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。

用矢徑法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有簡(jiǎn)潔、直觀的優(yōu)點(diǎn)。8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程如圖，8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法二、點(diǎn)的速度則表示動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均快慢和方向，稱為點(diǎn)的平均速度。

當(dāng)時(shí)，平均速度的極限矢量稱為動(dòng)點(diǎn)在t瞬時(shí)的速度。即即：點(diǎn)的速度等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。方向沿矢端曲線（軌跡）的切線方向。

如圖，動(dòng)點(diǎn)M在時(shí)間間隔內(nèi)的位移為8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法二、點(diǎn)的速度則表示動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法二、點(diǎn)的速度稱為速度矢端曲線（也稱速度端圖），它描述了運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)速度矢大小和方向的變化圖像。

若在空間任取參考點(diǎn)O，將動(dòng)點(diǎn)M在不同瞬時(shí)的速度矢都平行畫在O點(diǎn)，得矢量等，連接矢量端點(diǎn)

等，得到的連續(xù)曲線8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法二、點(diǎn)的速度稱為速度矢端曲線（也稱速度8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法三、點(diǎn)的加速度

如圖，動(dòng)點(diǎn)M在時(shí)間間隔內(nèi)速度矢量的改變量為則表示動(dòng)點(diǎn)的速度在時(shí)

內(nèi)的平均變化率，稱為間間隔平均加速度。

當(dāng)時(shí)，平均加速度的極限矢量稱為動(dòng)點(diǎn)在t瞬時(shí)的加速度。即即：點(diǎn)的加速度等于它的速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。8.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法三、點(diǎn)的加速度如圖，動(dòng)8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

如圖，在參考體上建立直角坐標(biāo)系。則這就是直角坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t可得兩個(gè)柱面方程：這兩個(gè)柱面方程的交線就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，上式稱為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程如8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法二、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影

由圖可知，動(dòng)點(diǎn)的矢徑為

將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得將動(dòng)點(diǎn)的速度表示為解析形式，則有

比較上述兩式，可得速度在各坐標(biāo)軸上的投影這就是用直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的速度。即：點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影，等于點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法二、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法二、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影

若已知速度的投影，則速度的大小為其方向余弦為8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法二、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法三、點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影

由于加速度是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，則將動(dòng)點(diǎn)的加速度表示為解析形式，則有

比較上述兩式，可得加速度在各坐標(biāo)軸上的投影這就是用直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的加速度。即：點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于該點(diǎn)速度在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法三、點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法

若已知加速度的投影，則加速度的大小為三、點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影其方向余弦為8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法若已知加速度的投影，則8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例1

桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動(dòng)，已知（為常數(shù)）。求小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。

解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)。則即為小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程。即8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例1桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例1故M點(diǎn)的速度大小為其方向余弦為如圖。故M點(diǎn)的加速度大小為且有加速度的方向如圖。8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例1故M點(diǎn)的速度大小為其方向余弦為8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例2半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(dòng)(無滑動(dòng)地滾動(dòng))。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且輪心的速度為已知值u，試分析輪子邊緣一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)。MMjRoj8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例2半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(dòng)8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法取坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖所示，并設(shè)M點(diǎn)所在的一個(gè)最低位置為原點(diǎn)A，則當(dāng)輪子轉(zhuǎn)過一個(gè)角度后，M點(diǎn)坐標(biāo)為這是旋輪線的參數(shù)方程。oRCAxy例28.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法取坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖所示，并設(shè)M點(diǎn)所8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例2M點(diǎn)的速度為：其中可由輪心速度求出：當(dāng)M點(diǎn)與地面接觸，即時(shí)，M點(diǎn)速度等于零。oRCAxy此時(shí)M點(diǎn)的加速度是否為零？為什么？8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例2M點(diǎn)的速度為：其中可由輪8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法一、運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖。S——弧坐標(biāo)

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧坐標(biāo)隨時(shí)間t連續(xù)變化，且為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法一、運(yùn)動(dòng)方程設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法二、曲率和曲率半徑

圖示空間曲線，表明曲線在弧長(zhǎng)內(nèi)彎曲的程度。稱為的平均曲率。

當(dāng)點(diǎn)趨近于M點(diǎn)時(shí)，平均曲率的極限值就是曲線在M點(diǎn)的曲率，即

M點(diǎn)曲率的倒數(shù)稱為曲線在M點(diǎn)的曲率半徑，即8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法二、曲率和曲率半徑圖示8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法三、自然軸系

如圖。由三個(gè)方向的單位矢量構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為自然軸系。且三個(gè)單位矢量滿足右手法則，即自然軸系不是固定的坐標(biāo)系。8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法三、自然軸系如圖。由三8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法四、用自然法表示點(diǎn)的速度

由點(diǎn)的速度的矢徑法由于所以即：動(dòng)點(diǎn)沿已知軌跡的速度的代數(shù)值等于弧坐標(biāo)s對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，速度的方向沿著軌跡的切線方向，當(dāng)為正時(shí)指向與相同，反之，與相反。8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法四、用自然法表示點(diǎn)的速度8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法

五、用自然法表示點(diǎn)的加速度8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法五、用自然法表示點(diǎn)的加速度8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法

五、用自然法表示點(diǎn)的加速度8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法五、用自然法表示點(diǎn)的加速度8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法

五、用自然法表示點(diǎn)的加速度

由點(diǎn)的加速度的矢徑法由于所以上式表明加速度矢量是由兩個(gè)分矢量組成：分矢量的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數(shù)值隨時(shí)間的變化率；分矢量的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時(shí)間的變化率。8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法五、用自然法表示點(diǎn)的加速度8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法五、用自然法表示點(diǎn)的加速度

加速度在三個(gè)自然軸上的投影為

全加速度位于密切面內(nèi)，其大小為方向余弦為8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法五、用自然法表示點(diǎn)的加速度8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法

桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動(dòng)，已知（為常數(shù)）。求小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。

解：建立如圖所示的自然坐標(biāo)。則點(diǎn)的自然坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程為例3速度為加速度為8.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶例4

一點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，其速度在x軸上的投影始終為一常數(shù)C。試證明在此情形下，點(diǎn)的加速度的大小為。其中v為點(diǎn)的速度的大小，為軌跡的曲率半徑。

證明：設(shè)點(diǎn)沿圖示曲線運(yùn)動(dòng)，速度和加速度如圖。由已知條件得（1）

由于速度在x軸上的投影始終為一常數(shù)，所以由于所以例4一點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，其速度在x軸上的投影例4于是可得因?yàn)樗?/p>

將（1）式代入上式得證畢。例4于是可得因?yàn)樗詫ⅲ?）式代入上式得證畢。8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用例5

鉛直導(dǎo)桿以勻速v0向右運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)銷釘M沿著拋物線x=y

2/3的槽運(yùn)動(dòng)，如圖（4a）所示，其中x,y以m計(jì)。試求y=2m處軌跡的曲率半徑ρ和銷釘M在該位置的切向加速度。

解：根據(jù)題意，銷釘沿x軸的運(yùn)動(dòng)方程為x=v0t；軌跡方程為OxyMx=y2/3Oxyvτααaanaty

2=3x8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用例5鉛直導(dǎo)桿以勻速v0向右8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用例5Oxyvτααaanaty

2=3x兩式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)代入y

=2m，得銷釘在該處的速度為8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用例5Oxyvτααaanaty2=8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用例5Oxyvτααaanat將兩式再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得銷釘在該處的加速度為因y值恒正，故加速度與y軸負(fù)向一致。8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用例5Oxyvτααaanat將兩式8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例5Oxyvτααaanat設(shè)τ與x軸正向間的夾角為α，則由圖（b）得銷釘在該處的切向與法向加速度大小為方向如圖8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例5Oxyvτααaanat設(shè)τ與8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例5因此軌跡在y=2m處的曲率半徑為：8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例5因此軌跡在y=2m處的曲率半徑8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法例6如圖所示，點(diǎn)P沿螺旋線的運(yùn)動(dòng)方程為：其中r,ω,c均為常數(shù)。試求：1.點(diǎn)的速度、速度端圖、切向加速度、法向加速度。2.軌跡的密切面和曲率半徑。ωtxyvrαzOPa8.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐