2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)從重點(diǎn)到壓軸（人教版）圓與四邊形的綜合（壓軸題專項(xiàng)講練）（原卷版）

專題24.4圓與四邊形的綜合【典例1】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點(diǎn)E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）過(guò)B作AD的平行線，交AC于F，試判斷線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在（2）條件下過(guò)E，F(xiàn)分別作AB，BC的垂線，垂足分別為G，H，連接GH，交BO于M，若AG＝3，S四邊形AGMO：S四邊形CHMO＝8：9，求⊙O的半徑．【思路點(diǎn)撥】（1）由直徑所對(duì)的圓周角為直角及等腰三角形的性質(zhì)和互余關(guān)系可得答案；（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2=EF2．如圖2，設(shè)∠ABE=α，∠CBF=β，先證明α+β=45°，再過(guò)B作BN⊥BE，使BN=BE，連接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，將相關(guān)線段代入即可得出結(jié)論；（3）如圖3，延長(zhǎng)GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，變形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四邊形COMH，S△BMH=S四邊形AGMO，結(jié)合已知條件S四邊形AGMO：S四邊形CHMO=8：9，設(shè)BG=9k，BH=8k，則CH=3+k，求得AE的長(zhǎng)，用含k的式子表示出CF和EF，將它們代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，則可求得答案．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，∵AC為直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如圖2，設(shè)∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，過(guò)B作BN⊥BE，使BN＝BE，連接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如圖3，延長(zhǎng)GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+12CF2＝12∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五邊形BGEFH＝S△EFK+S五邊形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴12S△ABC＝12S∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四邊形COMH，S△BMH＝S四邊形AGMO，∵S四邊形AGMO：S四邊形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，設(shè)BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝32，∴CF＝2（k+3），EF＝2（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴(32整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣17（舍去），k2∴AB＝12，∴AO＝22AB＝62，∴⊙O的半徑為621．（2022·廣東深圳·三模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為8π，MN=2，則ΔAMN周長(zhǎng)的最小值是（

A．6 B．8 C．9 D．102．（2022·浙江·寧波市鄞州藍(lán)青學(xué)校九年級(jí)期末）在△ABC中，若O為BC邊的中點(diǎn)，則必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問(wèn)題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，點(diǎn)M在以半徑為2的⊙D上運(yùn)動(dòng)，則MF2+MG2的最大值為（

）A．104 B．116 C．120 D．1003．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D．若⊙O的半徑為5，AB＝4，則BC的長(zhǎng)是（）A．23 B．32 C．42 D．334．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，C,D分別是OA,OB的中點(diǎn)，MC⊥AB,ND⊥AB,M,N在⊙O上．下列結(jié)論：①M(fèi)C=ND；②AM=MN=NB；③四邊形MCDN是正方形；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形外一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E在CD的右側(cè)，∠AED=45°，P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PE6．（2022·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4，點(diǎn)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，∠BDC=90°，以AC、CD為邊作平行四邊形ACDE，則CE的最小值為_____．7．（2022·廣東廣州·九年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，CM為⊙O的直徑，且CM＝1．過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線分別交邊AB，AD于點(diǎn)G，H．BD與CG，CH分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，⊙O繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)（始終保持圓心O在正方形ABCD內(nèi)部）．給出下列四個(gè)結(jié)論：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F(xiàn)，E，G四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；④四邊形CGAH面積的最大值為2?28．（2022·江蘇淮安·一模）如圖，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)D在邊AB上，以O(shè)為圓心、OD為半徑的圓切AB于點(diǎn)D．(1)試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若AB=2，且點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積．9．（2022·浙江·蘭溪市聚仁學(xué)校一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O為AD邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與AD邊交于點(diǎn)E，CD邊所在直線與⊙O相切，切點(diǎn)為H，連接AH，EH，若2∠HAB+∠C=180°：（1）求證：CB為⊙O切線；（2）若DE=1，求⊙O半徑．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB=6，BC=8，∠ABC=90°，弧AD=弧DC．(1)求邊CD的長(zhǎng)；(2)已知△ABE與△ABD關(guān)于直線AB對(duì)稱．①尺規(guī)作圖:作△ABE；（保留作圖痕跡，不寫作法）②連接DE，求線段DE的長(zhǎng)．11．（2022·湖南·長(zhǎng)沙縣湘郡未來(lái)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且對(duì)角線BD為直徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AE，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知DA平分∠BDE．(1)求證：AE⊥DE；(2)若⊙O的半徑為5，CD=6，求AD的長(zhǎng)．12．（2022·江蘇·九年級(jí)）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，CE．（1）求證：AE=DE；（2）若CE=1，求四邊形AECD的面積．13．（2022·河南·淅川縣基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在邊AD的延長(zhǎng)線上，連接AC，BD，已知CD=CE，∠E=∠BAC．(1)求證：DC平分∠BDE．(2)若CE與⊙O相切于點(diǎn)C，求證：AC=BD．14．（2022·福建南平·九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)F，連接DB交⊙O于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E．(1)求證：AF=CE；(2)若BF=2，DH=5，求⊙O15．（2022·江西·崇仁縣第二中學(xué)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A，B，D三個(gè)點(diǎn)都在⊙O上，CD與⊙O交于點(diǎn)F，連接BO并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)E，點(diǎn)E恰好是AD的中點(diǎn)．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若AE＝1，∠BAD＝75°；①求BE的長(zhǎng)；②求陰影部分的面積．16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB為半圓O的直徑，P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），以O(shè)P、OB為一組鄰邊作?POBQ，連接OQ、AP，設(shè)OQ、AP的中點(diǎn)分別為M、N，連接PM、ON．（1）試判斷四邊形OMPN的形狀，并說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒15°的速度，繞點(diǎn)O在半圓上逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts①是否存在這樣的t，使得點(diǎn)Q落在半圓O內(nèi)？若存在，請(qǐng)求出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②試求：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPN的面積取得最大值？并判斷此時(shí)直線PQ與半圓O的位置關(guān)系（需說(shuō)明理由）．17．（2022·陜西渭南·三模）問(wèn)題提出(1)如圖1，點(diǎn)P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，垂足為D，若PD=2，則點(diǎn)P到邊OB的距離是______；問(wèn)題探究(2)如圖2，已知矩形ABCD的一邊AB長(zhǎng)為6，點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP、CP，且滿足∠BPC=60°，求BC的最小值；（結(jié)果保留根號(hào)）問(wèn)題解決(3)如圖3，正方形ABCD是某植物園的花卉展示區(qū)的部分平面示意圖，其中AB=400米，三條觀光小路BM、BN和MN（小路寬度不計(jì)，M在AD邊上，N在CD邊上）擬將這個(gè)展示區(qū)分成四個(gè)區(qū)域，用來(lái)展示不同的花卉，根據(jù)實(shí)際需要，MB平分∠AMN，并且要求△BMN的面積盡可能小，那么是否存在滿足條件的面積最小的△BMN？若存在，請(qǐng)求出△BMN的面積的最小值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果保留根號(hào)）18．（2022·黑龍江哈爾濱·一模）四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AB=CD．(1)如圖1，求證：∠B=∠C；(2)如圖2，AE為⊙O的直徑，連接BE，過(guò)點(diǎn)O作CD的垂線，點(diǎn)F為垂足，求證：BE=2OF；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作AD的垂線，點(diǎn)G為垂足，若BA=BC，BE=2，OG=53，求19．（2022·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)期末）四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)A，B在⊙O上，連接OC、OD．(1)如圖1，求證：OC＝OD；(2)如圖2，點(diǎn)E在⊙O上，DE∥OC，求證：DA平分∠EDO；(3)如圖3，在（2）的條件下，DE與⊙O相切，點(diǎn)G在弧BF上，弧FG＝弧AE，若BG＝32，DF＝2，求AB的長(zhǎng)．20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，那么我們把這稱為四點(diǎn)共圓．(1)下列幾何圖形的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四點(diǎn)共圓的有．（填序號(hào)）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形．(2)已知△ABC中