數(shù)列-北京市十區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題分類匯編（Word含答案）

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數(shù)列

一、選擇題

1、（東城區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比相等，那么數(shù)列中與一定相等的項(xiàng)是（）

A.B.C.D.

2、（海淀區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知為等比數(shù)列，公比，則（）

A.81B.27C.32D.16

3、（海淀區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，公差為，則“有最大值”是“”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4、（石景山區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是

A.若，則B.若，則

C.若，則D.若，則

5、（西城區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）在等差數(shù)列中，若，，則當(dāng)?shù)那绊?xiàng)和最大時(shí)，的值為（）

A.5B.6C.7D.8

6、（西城區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）某鋼廠的年產(chǎn)量由2023年的40萬噸增加到2023年的60萬噸，假設(shè)該鋼廠的年產(chǎn)量從2023年起年平均增長率相同，那么該鋼廠2030年的年產(chǎn)量將達(dá)（）

A.80萬噸B.90萬噸C.100萬噸D.120萬噸

7、（西城區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）在等比數(shù)列中，，公比，記其前項(xiàng)的和為，則對于，使得都成立的最小整數(shù)等于（）

A.6B.3C.4D.2

8、（懷柔區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）若、、成等差數(shù)列，則（）

A.B.C.D.

9、（懷柔區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）

A.B.

C.D.

10、（懷柔區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

11、（順義區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）

A.B.5C.9D.15

12、（順義區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）

A.若，則B.若，則

CD.

二、填空題

1、（東城區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，那么_______；數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________.

2、（海淀區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知各項(xiàng)均不為零數(shù)列，其前項(xiàng)和是，且．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①；

②為遞增數(shù)列；

③若，則的取值范圍是；

④，使得當(dāng)時(shí)，總有．

其中所有正確結(jié)論的序號是________．

3、（石景山區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①的第2項(xiàng)小于3；②為等比數(shù)列；

③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng)．

其中所有正確結(jié)論的序號是__________．

4、（西城區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）在等比數(shù)列中，若，，則________．

5、（西城區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，對任意的，和中有且僅有一個(gè)成立，且，．記．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①可能為等差數(shù)列；

②中最大的項(xiàng)為；

③不存最大值；

④的最小值為36．

其中所有正確結(jié)論的序號是________．

6、（懷柔區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若，則__________.

三、解答題

1、（朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末）若有窮整數(shù)數(shù)列滿足（），且各項(xiàng)均不相同，則稱為數(shù)列．對數(shù)列，設(shè)，，則稱數(shù)列為數(shù)列的導(dǎo)出數(shù)列．

（1）分別寫出數(shù)列與的導(dǎo)出數(shù)列；

（2）是否存在數(shù)列使得其導(dǎo)出數(shù)列的各項(xiàng)之和為0？若存在，求出所有符合要求的數(shù)列；若不存在，說明理由；

（3）設(shè)數(shù)列與的導(dǎo)出數(shù)列分別為與，求證：的充分必要條件是．

2、（東城區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末）已知數(shù)列滿足，.

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若數(shù)列滿足，.對任意的正整數(shù)，是否都存在正整數(shù)，使得？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由.

3、（海淀區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若等比數(shù)列前項(xiàng)和為，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

條件①：；

條件②：；

條件③：．

4、（海淀區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）給定整數(shù)，對于數(shù)列定義數(shù)列如下：，，其中表示，這個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．記．

（1）若數(shù)列為①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分別寫出相應(yīng)的數(shù)列；

（2）求證：若，則有；

（3）若，常數(shù)使得恒成立，求的最大值．

5、（密云區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知數(shù)列A：，，，，，滿足，，數(shù)列A的前項(xiàng)和記為.

（1）寫出的值；

（2）若，求的值；

（3）是否存在數(shù)列A，使得如果存在，寫出此時(shí)的值；如果不存在，說明理由.

6、（石景山區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

7、（西城區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知等比數(shù)列的公比，，且，的等差中項(xiàng)等于．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列．

8、（西城區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）設(shè)為無窮數(shù)列，給定正整數(shù)，如果對于任意，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．

（1）判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否具有性質(zhì)；（結(jié)論不需要證明）

①等差數(shù)列：5，3，1，…；②等比數(shù)列：1，2，4，…．

（2）已知數(shù)列具有性質(zhì)，，，且由該數(shù)列所有項(xiàng)組成的集合，求的通項(xiàng)公式；

（3）若既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)的數(shù)列一定是等差數(shù)列，求的最小值．

9、（懷柔區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知等差數(shù)列的的前項(xiàng)和為，從條件①條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答：

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若是等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

①；②；③

10、（順義區(qū)2022-2023高二下學(xué)期期末）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若，設(shè)．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

參考答案

一、選擇題

1、D2、A3、B4、C5、A6、B

7、A8、A9、B10、D11、B12、D

二、填空題

1、4；2、①③④3、①③④4、5、③④

6、2

三、解答題

1、（1）的導(dǎo)出數(shù)列為，

導(dǎo)出數(shù)列為．

（2）不存在，理由如下：

設(shè)，

則，，，

，

，

．

因?yàn)椋?/p>

所以是奇數(shù)，

是偶數(shù)，

是奇數(shù)，

是偶數(shù)，

是奇數(shù)．

因?yàn)楣踩齻€(gè)奇數(shù)，

所以是奇數(shù)．

所以不可能為0．

（3）必要性：

若，

則，

．

充分性：下面用反證法證明．

假設(shè)存，使得．

若，令．

若，令．

因?yàn)椋?/p>

所以．

設(shè)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，

所以．

設(shè)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，

所以．

因?yàn)榍?，所以?/p>

所以，矛盾．

所以．

2、（1）解：由數(shù)列滿足，，

當(dāng)時(shí)，可得；

當(dāng)時(shí)，可得，

當(dāng)時(shí)，可得.

（2）解：由數(shù)列滿足，可得，

又由，可得，

所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）解：存在正整數(shù)，使得.

由（2）可知，

又由，可得，

則，，，

歸納得，即，

證明：①當(dāng)時(shí)，，符合題意，

②設(shè)當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，即，

這說明假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想正確，那么當(dāng)時(shí)猜想也正確.

上述可知猜想正確，即.

又因?yàn)椋?/p>

所以對任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得.

3、（1）設(shè)等差首項(xiàng)和公差分別為，

由得，

所以；

（2）設(shè)等比首項(xiàng)和公差分別為，

若選①②，由得；

由得，

所以公比為，故，

故，

故；

若選②③，

由可知公比不為1，所以，

由得，

所以，

故，

故；

若選①③，由可知公比不為1，所以，

由得；

所以，

故，

故.

4、（1）解：根據(jù)題意，若數(shù)列為，

可得，即數(shù)列為：；

若數(shù)列為，

可得，即數(shù)列為：.

（2）證明：由題設(shè)條件知，若時(shí)，可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，

所以，

所以當(dāng)，則成立.

（3）解：不妨設(shè)，

若，因?yàn)?，所以，此時(shí)顯然取任意實(shí)數(shù)都滿足條件；

下面設(shè)，則的充分必要條件時(shí)，

假設(shè)，

因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)時(shí)，由，

所以，

當(dāng)時(shí)，有，

仍然有成立，所以，

因?yàn)?，所以?/p>

所以，取，所以，

所以的最大值為.

5、（1）因?yàn)椋?/p>

所以，解得或，

當(dāng)時(shí)，由，解得或，

當(dāng)時(shí)，由，解得，

所以或或，

（2）當(dāng)時(shí)，，則或，此時(shí)由知，不滿足，舍去；

當(dāng)時(shí)，，則或，滿足，不滿足，舍去；

當(dāng)時(shí)，由，得或，由知滿足題意，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，

綜上，或，或，

所以或或，

故.

（3）由，可得為整數(shù)，，

所以，

則，

所以，

若存在數(shù)列A，使得，則，

又為整數(shù)，所以方程無解，

故不存在數(shù)列A，使得.

6、（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，由，，成等比數(shù)列，得，即，又得，所以，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

（2）由，得，所以，

．

7、（1）由，的等差中項(xiàng)等于，得，

所以，即．

解得或（舍）．

由，得．

所以．

（2）因?yàn)椋?/p>

所以，．

所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為的等差數(shù)列．

8、（1）由題意知，數(shù)列通項(xiàng)公式為，滿足，所以數(shù)列具有性質(zhì)；

數(shù)列中，代入，，所以不滿足，所以數(shù)列不具有性質(zhì).

（2）由數(shù)列具有性質(zhì)，得，

所以，即，

所以數(shù)列：，，，，，是等差數(shù)列．

又因?yàn)?，?/p>

所以數(shù)列的公差，

同理，得數(shù)列：，，，，，是等差數(shù)列，公差．

①若且，則數(shù)列的最小項(xiàng)是，數(shù)列的最小項(xiàng)是，

所以數(shù)列的最小項(xiàng)為1，這與矛盾；

②若且，同理，得的最大項(xiàng)為2，這與矛盾；

③若且，則為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列．

由，得3為數(shù)列中的項(xiàng)，

所以只能是，且；

同理，可得0為數(shù)列中的項(xiàng)，

所以只能，．

此時(shí)，的通項(xiàng)公式為．

④若，，類似③的討論可得，．

此時(shí)，的通項(xiàng)公式為．

綜上，的通項(xiàng)公式為或

（3）由數(shù)列1，1，2，2，3，3，，，，，，，，不是等差數(shù)列，且其同時(shí)具有性質(zhì)，，，得且．

類似的，由數(shù)列1，1，1，2，2，2，3，3，3，，，，，不是等差數(shù)列，且其既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)，得．

所以的最小值大于或等于5．

以下證明的最小值等于5，即證“既具有性質(zhì)又具有性質(zhì)的數(shù)列一定是等差數(shù)列”．

因?yàn)榫哂行再|(zhì)，即，

所以對于，是等差數(shù)列；

同理，由具有性質(zhì)，得對于，是等差數(shù)列．

由，，，，，，為等差數(shù)列（記公差為），且，，，，，，為