《數(shù)值分析習(xí)題課》課件

數(shù)值分析復(fù)習(xí)數(shù)值分析復(fù)習(xí)1第一章緒論§1緒論：數(shù)值分析的研究內(nèi)容§2誤差的來源和分類§3誤差的表示§4誤差的傳播§5算法設(shè)計的若干原則第一章緒論§1緒論：數(shù)值分析的研究內(nèi)容2一、誤差的分類（絕對誤差，相對誤差）例1-1設(shè)x*=2.18是由精確值x經(jīng)過四舍五入得到的近似值。問x的絕對誤差限ε和相對誤差限η各是多少？解：因為

x=x*±0.005，所以絕對誤差限為ε=0.005相對誤差限為一、誤差的分類（絕對誤差，相對誤差）例1-1設(shè)x*=23二、有效數(shù)字則稱近似數(shù)x*

具有

n位有效數(shù)字。定義

設(shè)數(shù)

x的近似值可以表示為其中

m

是整數(shù),αi(i=1,2,…,n)是0到9中的一個數(shù)字，而α1

≠0.如果其絕對誤差限為結(jié)論：通過四舍五入原則求得的近似數(shù)，其有效數(shù)字就是從末尾到第一位非零數(shù)字之間的所有數(shù)字。二、有效數(shù)字則稱近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字。定義4

例1-2下列近似數(shù)是通過四舍五入的方法得到的，試判定它們各有幾位有效數(shù)字：

解：我們可以直接根據(jù)近似數(shù)來判斷有效數(shù)字的位數(shù)，也可以通過絕對誤差限來判斷。有5位有效數(shù)字。同理可以寫出可以得出

x2

,x3

,x4

各具有4、3、4位有效數(shù)字。

x1*=87540，x2*=8754×10,x3*=0.00345,x4*=0.3450

×10-2已知例1-2下列近似數(shù)是通過四舍五入的方法得到的，5

例1-3已知

e=2.718281828……,試判斷下面兩個近似數(shù)各有幾位有效數(shù)字？解：由于而所以

e1有7位有效數(shù)字。同理：e2

只有6位有效數(shù)字。例1-3已知e=2.718281828……,6三、算法設(shè)計的若干原則

1：兩個很接近的數(shù)字不做減法:2:不用很小得數(shù)做分母(不用很大的數(shù)做分子)練習(xí)：求方程

x2-56x+1=0的兩個根，使它們至少具有四位有效數(shù)字三、算法設(shè)計的若干原則1：兩個很接近的數(shù)字不做減法:練習(xí)：7第二章插值與擬合1、Lagrange插值多項式,Newton插值多項式的構(gòu)造與插值余項估計，及證明過程。2、Hermite插值多項式的構(gòu)造與插值余項估計，帶導(dǎo)數(shù)條件的插值多項式的構(gòu)造方法，基于承襲性的算法，基函數(shù)法，重節(jié)點差商表的構(gòu)造；3、分段插值及三次樣條插值的構(gòu)造4、最小二乘擬合第二章插值與擬合1、Lagrange插值多項式,Newto8掌握Lagrange插值多項式的構(gòu)造方法及具體結(jié)構(gòu)掌握Lagrange插值多項式誤差分析方法和證明方法掌握Newton插值多項式的形式及誤差掌握差商表的構(gòu)造過程關(guān)于離散數(shù)據(jù)：構(gòu)造了lagrange插值多項式：掌握Lagrange插值多項式的構(gòu)造方法及具體結(jié)構(gòu)關(guān)于離散9Newton插值多項式：例1-3已知f(x)的五組數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求N4(x)。如果再增加一個節(jié)點(6,282),求出N5(x)，并計算N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五組數(shù)據(jù)列差商表10223124425116210307441022240.5628216646810.1得到：如果，再增加一點(6,282),就在上表中增加一行計算差商Newton插值多項式：例1-3已知f(x)的五組數(shù)據(jù)(10由Newton公式的遞推式得到：得到：由Newton公式的遞推式得到：得到：112.分段性插值有何優(yōu)缺點？誤差估計？（插值節(jié)點的選擇）

1.高次插值的Runge現(xiàn)象，應(yīng)如何避免？

3.Hermite插值的構(gòu)造,誤差估計4.三次樣條函數(shù)的定義、構(gòu)造過程5.數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法（可化為直線擬合的非線性擬合的處理方法）2.分段性插值有何優(yōu)缺點？誤差估計？（插值節(jié)點的選擇）12解：二、典型例題分析例1.令x0＝0，x1＝1，寫出y(x)＝e-x的一次插值多項式L1(x),并估計插值誤差．（P55,t14題）記x0＝0，x1＝1

,y0＝e-0＝1，y1＝e-1;則函數(shù)y＝e-x以x0、x1為節(jié)點的一次插值多項式為因為y’(x)＝-e-x，y"(x)＝e-x，所以解：二、典型例題分析例1.令x0＝0，x1＝1，寫13《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件14推廣：等距節(jié)點(h),二次插值的誤差界是推廣：等距節(jié)點(h),二次插值的誤差界是15《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件16例3．設(shè)f(x)＝x4，試利用拉格朗日插值余項定理寫出以-1,0,1,2為插值節(jié)點的三次插值多項式．解:記f(x)以-1，0，1，2為插值節(jié)點的三次插值多項式為L3(x)．由插值余項定理有所以例3．設(shè)f(x)＝x4，試利用拉格朗日插值余項定理寫出以-17例4．證明由下列插值條件所確定的拉格朗日插值多項式是一個二次多項式．該例說明了什么問題?(t8)以x0，x2，x4為插值節(jié)點作f(x)的2次插值多項式p(x)，則解:x0x2x4例4．證明由下列插值條件所確定的拉格朗日插值多項式是一個二18容易驗證因而6個點(xi,yi)，i＝01,…,5均在二次曲線p(x)＝x2-1上．換句話說，滿足所給插值條件的拉格朗日插值多項式為p(x)＝x2-1.容易驗證19

分析:這是一個非標準插值問題,我們可以按各種思路去做．可按兩種方法去做:一種是先求牛頓或拉格朗目型插值,再通過待定系數(shù)法求Pn(x)；另一種是先求埃爾米特插值,再通過待定系數(shù)法確定Pn(x)．下面給出三種做法．例6求一個次數(shù)不高于4的多項式P4(x)，使它滿足P4(0)=P4'(0)=0，P4(1)=P4'(1)=1，P4(2)=1．

解法一先求滿足P4(0)=0，P4(1)=1，P4(2)=1的插值多項式P2(x)，易得顯然P4(x)滿足P2(x)的插植條件，利用兩個導(dǎo)數(shù)條件確定系數(shù)A，B．由P4'(0)=0,P4'(1)=1解得A=1/4,B=-3/4.故設(shè)分析:這是一個非標準插值問題,我們可以按20解法二先作滿足埃爾米特插值多項式H3(x)．解法三構(gòu)造插值基函數(shù)求.記x0=0，x1=1，x2=2，并設(shè)所求多項式為其中l(wèi)i(x)均為次數(shù)不超過4的多項式且滿足如下條件：解法二先作滿足埃爾米特插值多項式H3(x)．解法三21易知易知22《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件23《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件24《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件25《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件26例11已知函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù),試求其在區(qū)間[0,3]上的三次樣條插值函數(shù)S(x)。

解這里邊界條件是設(shè)求得例11已知函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù),試求其在區(qū)間[0,27已知由方程組及得到方程組解得已知由方程組及得到方程組解得28這樣便求得代入表達式便得到所求的三次樣條函數(shù)這樣便求得代入表達式便得到所求的三次樣條函數(shù)29例12對如下數(shù)據(jù)作形如y=aebx的擬合曲線

解:由于函數(shù)集合Φ={aebx|a,b∈R}不成為線性空間，因此直接作擬合曲線是困難的。

在函數(shù)y=aebx兩端分別取對數(shù)得到這時，需要將原函數(shù)表進行轉(zhuǎn)換如下令

z=lny,A=lna,B=b,則

z=A+Bxlny=lna+bxxi12345678yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6例12對如下數(shù)據(jù)作形如y=aebx的擬合曲線30對z=A+Bx作線性擬合曲線，取這時xi12345678yi15.320.527.436.649.165.687.8117.6xi12345678zi2.723.023.313.603.894.184.484.77對z=A+Bx作線性擬合曲線，取這時xi1234531得正則方程組解得

于是有擬合曲線為：得正則方程組解得32第三章數(shù)值積分插值型積分公式Newton-Cotes型求積公式復(fù)化求積公式Romberg算法Gauss積分數(shù)值微分第三章數(shù)值積分插值型積分公式33Simpson公式n=2梯形公式n=1Simpson公式n=2梯形公式n=134(§1,2)需要掌握：1.等距節(jié)點(Newton-Cotes)的積分公式是如何構(gòu)造的？(§1,2)需要掌握：1.等距節(jié)點(Newton-Co352.N點等距節(jié)點的積分公式及其誤差式怎么表示？3.如何由上式給出梯形公式、Simpson公式及其誤差？2.N點等距節(jié)點的積分公式及其誤差式怎么表示？3.如36復(fù)化梯形公式及其誤差例3-0用四點復(fù)化梯形公式計算01復(fù)化梯形公式及其誤差例3-0用四點復(fù)化梯形公式計算0137例3-1用復(fù)化梯形公式計算積分，應(yīng)將區(qū)間[0,1]多少等分，才可以使其截斷誤差不超過解：復(fù)化梯形公式的誤差為而從而令于是，只要將區(qū)間至少68等分,就可以達到需要的精度要求。例3-1用復(fù)化梯形公式計算積分，應(yīng)38復(fù)化Simpson公式及其誤差為：復(fù)化Simpson公式及其誤差為：39要求：了解各種積分公式的原理，構(gòu)造方法,會利用公式計算積分，（復(fù)化）梯形公式，(復(fù)化)Simpson公式及余項表達式，求解代數(shù)精度會利用代數(shù)精度構(gòu)造積分公式，并用構(gòu)造的積分公式計算相應(yīng)積分值Romberg算法的實現(xiàn)原理，計算，外推加速技術(shù)；數(shù)值微分公式的構(gòu)造方法要求：Romberg算法的實現(xiàn)原理，計算，外推加速技術(shù)；40一、確定數(shù)值積分公式或數(shù)值微分公式，并推出余項根據(jù)代數(shù)精度的概念對Guass型求積公式，可借助Guass點與求積系數(shù)的關(guān)系確定參數(shù)推導(dǎo)余項時，可設(shè)對于數(shù)值微分公式，可構(gòu)造適當?shù)牟逯刀囗検交驊?yīng)用Taylor展開式推導(dǎo)一、確定數(shù)值積分公式或數(shù)值微分公式，并推出余項根據(jù)代數(shù)精度的41《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件42《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件43《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件44《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件45《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件46《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件47p72方法二、p87例2利用變量替換,將[a,b]轉(zhuǎn)化為[-1,1]區(qū)間p72方法二、p87例2利用變量替換,將[a,b]轉(zhuǎn)化為[-48《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件49余項表達式余項表達式50二、計算定積分和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的近似值對于給定的被積函數(shù)與求導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)用指定的數(shù)值積分公式或數(shù)值微分公式計算，t9,t12,t13,t18,t19，t25，t26等明確積分公式與微分公式三、確定復(fù)化求積公式和數(shù)值微分公式的步長或節(jié)點數(shù)，使計算結(jié)果滿足所給精度要求根據(jù)復(fù)化求積公式和數(shù)值微分公式的余項或截斷誤差表達式，對滿足精度要求解一個相應(yīng)的不等式，即可確定所需的步長或節(jié)點數(shù)二、計算定積分和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的近似值對于給定的被積函數(shù)與求導(dǎo)函51n=213n=21352n=4N>169.2n=170n=4N>169.2n=17053n=4n=454常微分方程數(shù)值解復(fù)習(xí)常微分方程初值問題Euler法（顯式Euler公式，隱式Euler公式，梯形公式，改進Euler公式，變形Euler公式）基本公式Runge-Kutta方法（四階和二階）線性多步法Adams預(yù)報校正系統(tǒng)收斂性和穩(wěn)定性的定義局部截斷誤差的定義，計算及確定公式的階數(shù)值方法的穩(wěn)定性區(qū)域常微分方程組，高階常微分方程初值問題的計算常微分方程數(shù)值解復(fù)習(xí)常微分方程初值問題55一、對于給定數(shù)值方法求解常微分方程初值問題對于顯式單步方法，直接代入相應(yīng)計算公式計算對于隱式方法，若f(x,y)關(guān)于y是線性的，可從隱式公式中解出yn+1,使公式顯式化，不需要迭代，否則，需要用迭代法計算對于多步方法，需要用同階的單步法提供多步法所需要的值對于高階或方程組的初值問題，需要進行轉(zhuǎn)化一、對于給定數(shù)值方法求解常微分方程初值問題56xn數(shù)值解精確解誤差xn數(shù)值解精確解誤差57《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件58《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件59《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件60《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件61二、對于給定的常微分方程初值問題的某種數(shù)值方法，證明其階次二、對于給定的常微分方程初值問題的某種數(shù)值方法，證明其階次62《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件63《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT課件64三、確定某些方法中的參數(shù)主要用Taylor展開將方法的局部截斷誤差的各項在xn處進行Taylor展開并比較h同冪項的系數(shù)，得到待定參數(shù)滿足的方程組，求解方程組即可三、確定某些方法中的參數(shù)65《數(shù)值分析習(xí)題課》PPT