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文檔簡介

素能培優(yōu)(一)一元二次方程根的分布第二章解決由一個一元二次方程根的分布情況,確定方程中系數(shù)的取值范圍問題,主要從以下三個方面建立關(guān)于系數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解.(1)判別式Δ的符號;(2)對稱軸

與所給區(qū)間的位置關(guān)系;(3)區(qū)間端點處函數(shù)值的符號.一元二次方程根的分布問題,類型較多,情況較復(fù)雜,但基本可以分為以下三類:一、已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的兩根與實數(shù)k的大小關(guān)系

例1(1)已知方程2x2-(m+1)x+m=0有兩個不相等的正實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是

.

(2)若關(guān)于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一個根比1大,另一個根比1小,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)對點訓(xùn)練1(1)若一元二次方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0有一正根和一負(fù)根,則實數(shù)m的取值范圍為

.

(2)若關(guān)于x的方程x2+x+a=0的兩個不相等的實數(shù)根均小于1,則實數(shù)a的取值范圍為

.

二、已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的兩根所在的區(qū)間

例2已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩個實數(shù)根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍;(2)若方程的兩個不相等的實數(shù)根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.解

(1)依題意知,拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi),畫出示意圖,對點訓(xùn)練2已知方程x2-a2x-a+1=0的兩根x1,x2滿足0<x1<1,x2>1,則實數(shù)a的取值范圍是

.

答案

(-∞,-2)三、可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布的問題

對點訓(xùn)練3已知關(guān)于x的方程m·22x+(2m-1)·2x+m=0在(-∞,1)上有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍為

.

答案

B解析

由題意得f(x)的大致圖象如下圖所示:解析

作出y=f(x)的圖象如圖所示:令f(x)=t,則方程f2(x)-f(x)+m=0等價于t2-t+m=0,若方程f2(x)-f(x

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