梯度下降法推導(dǎo)邏輯回歸

梯度下降法推導(dǎo)邏輯回歸梯度下降法（GradientDescent）是一種常用的優(yōu)化算法，適用于求解邏輯回歸（LogisticRegression）的參數(shù)。

邏輯回歸是一種廣泛應(yīng)用于分類問題的機(jī)器學(xué)習(xí)算法。其基本思想是用一個(gè)非線性的S形函數(shù)（例如sigmoid函數(shù)）將輸入特征映射到一個(gè)概率值，從而完成分類任務(wù)。邏輯回歸模型可以表示為：

hθ(x)=g(θ^T*x)

其中，hθ(x)表示預(yù)測(cè)的概率值，g(·)是一個(gè)S形函數(shù)（如sigmoid函數(shù)），θ是待求的參數(shù)，x是輸入特征向量。在訓(xùn)練階段，我們需要尋找最優(yōu)的參數(shù)θ，使得預(yù)測(cè)值和實(shí)際值之間的差異最小。這就需要定義一個(gè)損失函數(shù)來(lái)衡量預(yù)測(cè)值和實(shí)際值的差異，通常使用的是對(duì)數(shù)似然損失函數(shù)。

損失函數(shù)的定義如下：

J(θ)=-1/m*Σ(y*log(hθ(x))+(1-y)*log(1-hθ(x)))

其中，m是訓(xùn)練樣本的數(shù)量，y是實(shí)際結(jié)果（0或1），hθ(x)是預(yù)測(cè)的概率值。我們的目標(biāo)是最小化損失函數(shù)J(θ)，因此可以使用梯度下降法進(jìn)行參數(shù)的更新。

梯度下降法的思想是通過計(jì)算損失函數(shù)對(duì)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)確定參數(shù)的更新方向和步長(zhǎng)。具體而言，每次迭代中，我們根據(jù)以下公式更新參數(shù)θ：

θ:=θ-α*?J(θ)/?θ

其中α是學(xué)習(xí)率（learningrate），控制參數(shù)更新的步長(zhǎng)。

為了方便計(jì)算，我們可以對(duì)損失函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解：

?J(θ)/?θ=-1/m*Σ(y-hθ(x))*x

將上述公式代入梯度下降法的更新公式中，可以得到參數(shù)的更新規(guī)則：

θ:=θ+α*1/m*Σ(y-hθ(x))*x

最后，我們可以根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的特征向量x和實(shí)際結(jié)果y，使用上述更新規(guī)則迭代更新參數(shù)θ，直至損失函數(shù)收斂或達(dá)到預(yù)定的迭代次數(shù)。

需要注意的是，梯度下降法有兩種常見的變體：批量梯度下降法（BatchGradientDescent）和隨機(jī)梯度下降法（StochasticGradientDescent）。批量梯度下降法在每次迭代中使用所有的訓(xùn)練樣本，因此計(jì)算梯度的開銷較大；而隨機(jī)梯度下降法在每次迭代中只使用一個(gè)訓(xùn)練樣本，因此計(jì)算梯度的開銷較小，但參數(shù)的更新可能較為不穩(wěn)定?？梢愿鶕?jù)具體情況選擇合適的梯度下降法。

總結(jié)來(lái)說，梯度下降法是一種常用的用于優(yōu)化邏輯回歸的參數(shù)的算法。通過迭代地更新參數(shù)，使得邏輯回歸模型的損失函數(shù)逐漸減小，從而得到最優(yōu)