行列式的定義和性質(zhì)解讀課件

§1.1

n階行列式第一章行列式§1.2

行列式的性質(zhì)§1.3

克拉默法則§1.4

克萊姆法則解線性方程組§1.1n階行列式第一章行列式§1.2行列式的性質(zhì)用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.

由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式2212aa2111aaD=主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方則二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.則二元線性方程組的解為注意分母都為原方程組的系數(shù)行例1解例1解二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式(1)沙路法三階行列式的計算.列標行標(1)沙路法三階行列式的計算.列標行標(2)對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．(2)對角線法則注意紅線上三元素的乘積冠以正號，藍

如果三元線性方程組的系數(shù)行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組

2.

三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.如果三元線性方程組的系數(shù)行列式利用三階行列式求解三元線性則三元線性方程組的解為:則三元線性方程組的解為:例２

解按對角線法則，有例２解按對角線法則，有例3解方程左端例3解方程左端例4

解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式例4解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式同理可得故方程組的解為:同理可得故方程組的解為:

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對角線法則二階與三階行列式的計算小結(jié)二階和三階行列式是由解二元和三元線性方對角線對于數(shù)碼is和it：逆序數(shù)：一個排列中逆序的個數(shù)，例

求132、436512的逆序數(shù)解逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，n階（級）排列：由n個不同的數(shù)碼1,2,…n組成的有序數(shù)組132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。三、排列與逆序數(shù)大前小后叫逆序(反序)記為：為奇數(shù)的稱為奇排列?？梢姡航粨Q任何兩個元素（對換）改變了排列的奇偶性！對于數(shù)碼is和it：逆序數(shù)：一個排列中逆序的個數(shù)，例再分析P.5的表1-1排列123132213231312321逆序無322121，3131，3232，31，21逆序數(shù)011223奇偶性偶偶偶奇奇奇?一個對換改變排列的奇偶性；?3!個排列中，奇、偶排列各占一半。再分析P.5的表1-1排列1231定義一個排列的兩個元素交換位置,其余元素

不動,稱為對換.相鄰兩個元素的對換稱為相鄰對換.定義一個排列的兩個元素交換位置,其余元素定理1

對換改變排列的奇偶性。證（1）設(shè)元素i,j相鄰：?若i<j,則新排列增加一個逆序;?若i>j,則新排列減少一個逆序?！淖兞似媾夹裕?）設(shè)元素i,j不相鄰：共作了2s+1次相鄰對換，由（1）知，排列改變了奇偶性。定理1對換改變排列的奇偶性。證（1）設(shè)元素i,j相鄰定理2

n

個數(shù)碼構(gòu)成n!

個n級排列，

奇偶排列各占一半（n!/2

個）。證設(shè)有p

個奇排列，q

個偶排列，p

個奇排列p

個偶排列q

個偶排列q個奇排列定理2n個數(shù)碼構(gòu)成n!個n級排列，證設(shè)有p個四、n

階行列式的定義定義其中稱為的第行第列的元素．橫排稱行,豎排稱列.四、n階行列式的定義定義其中稱為的第行第列的元素的一般項還可記為列標按自然順序排列n階行列式的另外兩種表示(證明略）：的一般項還可記為列標按自然順序排列n階行列式的另外兩種表示(說明：1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、階行列式是項的代數(shù)和;3、階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積，每一項符號確定;4、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;說明：1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程2、幾種特殊行列式：例

解

由定義，只有左下三角形行列式幾種特殊行列式：例解由定義，只有左下三角形行列式右上三角形行列式等于對角線上元素之乘積(P.9)特別：

對角形行列式等于對角線上元素之乘積(P.10)OO右上三角形行列式等于對角線上元素之乘積(P.9)特別：對角例例定義中的行與列按原來的順序互換，得到的新行列式稱為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式,記為DT.把n階行列式五、行列式的性質(zhì)定義中的行與列按原來的順序互換，得到的新行列式稱為原行列式的顯然也是的轉(zhuǎn)置行列式.例如．性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即．說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.顯然也是的轉(zhuǎn)置行列式.例如．性質(zhì)1行列式與它性質(zhì)2如果將行列式的任意兩行(或列)互換，那么行列式的值改變符號，即例如．性質(zhì)2如果將行列式的任意兩行(或列)互換，例如．性質(zhì)3如果行列式中兩行(或列)對應(yīng)元素全部相同，那么行列式的值為零，即．行行例性質(zhì)3如果行列式中兩行(或列)對應(yīng)元素全．行行例性質(zhì)4行列式一行(或列)的公因子可以提到行列式記號的外面，即例如性質(zhì)4行列式一行(或列)的公因子可以提例如

推論2如果行列式中有一行(或列)的全部元素都是零，那么這個行列式的值是零.

推論1一個數(shù)乘行列式等于該數(shù)乘行列式中某一行(或列)的全部元素.

性質(zhì)5行列式中如果兩行(或列)對應(yīng)元素成比例，那么行列式的值為零.，那么此行列式等于兩個行列式之和.

性質(zhì)6

行列式中一行(或列)的每一個元素如果可以寫成兩數(shù)之和，推論2如果行列式中有一行(或列)的全部元素都是零，那么即即例如二階行列式．例如二階行列式．性質(zhì)7

在行列式中，把某一行(或列)的k倍加到另一行(或列)對應(yīng)的元素上去,那么行列式的值不變，即用性質(zhì)6和性質(zhì)5可證之.性質(zhì)7在行列式中，把某一行(或列)的k倍加到另用性質(zhì)6和性例例在計算行列式時,可以使用如下記號以便檢查:符號規(guī)定

（2）第i行(或列)乘以數(shù)k

記作kri

(或kci)

（1）交換i

j兩行記作rirj

交換i

j兩列記作cicj

（3）以數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)上

記作krj+ri(kcj+ci)

切記：krj+ri不同于ri+krj在計算行列式時,可以使用如下記號以便檢查:符號規(guī)定（2）例1計算下面行列式的值．

(1)；

(2)．應(yīng)用舉例例1計算下面行列式的值．(1)；(2)．應(yīng)用舉例解

(1)把的第二行的元素分別看成：