理論力學課件上

第七章剛體的簡單運動第七章剛體的簡單運動第七章剛體的簡單運動第七章剛體的簡單運動1第七章剛體的簡單運動剛體的簡單運動：一、平移運動二、定軸轉動三、定軸轉動剛體上點的速度?加速度四、定軸輪系的傳動比五、角運動量的矢量表示第七章剛體的簡單運動剛體的簡單運動：一、平移運動2平移運動——實例平移運動——實例3平移運動一、平移運動定義：剛體運動時，剛體上任一直線始終保持與其初始位置平行的運動。特點：在同一瞬時，剛體上各點的軌跡相同、速度相同、加速度相同。簡化：剛體平移運動時，可簡化為點的運動來研究（通常取作質心），歸結為點的運動學問題。分類：按軌跡可將剛體平移運動分為直線平移和曲線平移兩類。平移運動一、平移運動定義：剛體運動時，剛體上任一直線始終保持4平移運動剛體平移運動點的運動學問題平移運動剛體平移運動點的運動學問題5

二、定軸轉動定義：剛體運動時，剛體上有兩點的位置始終保持不動。定軸轉動——實例二、定軸轉動定義：剛體運動時，剛體上有兩點的位置始終保持不6定軸轉動——實例定軸轉動——實例7定軸轉動——實例定軸轉動——實例8轉速

n(rpm)定軸轉動——整體分析定義：剛體定軸轉動時，剛體上保持不動的兩點的連線稱為轉軸或軸線。用轉角表示的轉動方程（一個自由度）

：角速度：角加速度：換算關系：轉動剛體整體的運動：轉速n(rpm)定軸轉動——整體分析定義：剛體定軸轉動時9加速度：速度：運動方程：全加速度：定軸轉動——速度?加速度（轉動剛體上點的運動）

三、定軸轉動剛體上各點的速度?加速度各點的速度?加速度是定軸轉動剛體的局部性質的描述！加速度：速度：運動方程：全加速度：定軸轉動——速度?加速10定軸轉動剛體上的速度分布定軸轉動——速度分布定軸轉動剛體上的速度分布定軸轉動——速度分布11定軸轉動剛體上的速度分布定軸轉動——速度分布定軸轉動剛體上的速度分布定軸轉動——速度分布12定軸轉動剛體上的加速度分布定軸轉動——加速度分布定軸轉動剛體上的加速度分布定軸轉動——加速度分布13定軸轉動剛體上的加速度分布定軸轉動——加速度分布定軸轉動剛體上的加速度分布定軸轉動——加速度分布14思考：定軸轉動圓盤上M點的加速度如圖所示，則該瞬時圓盤的角速度和角加速度分別為定軸轉動——思考題≠0=0≠

0>

0=

0>

0思考：定軸轉動圓盤上M點的加速度如圖所示，則該瞬時圓盤的角速15

四、定軸輪系的傳動比定軸輪系的傳動比四、定軸輪系的傳動比定軸輪系的傳動比16定軸輪系的傳動比定軸輪系的傳動比17規(guī)定：外嚙合取負（反向轉動）內嚙合取正（同向轉動）傳動比公式也適用于皮帶輪傳動v1v2a2ta1t定軸輪系的傳動比M1ⅠⅡO1O2M2ω1ω2α1α2r2r1規(guī)定：外嚙合取負（反向轉動）傳動比公式也適用于皮帶輪傳動v118解：

OA桿作定軸轉動：AB桿作平移:vM當t=1s時：vA已知OA=O’B=r=10cm，OA轉角

=sint/4，求t=1s時，AB桿中點M的速度和加速度。例1：平行四邊形機構O’ABMO解：OA桿作定軸轉動：AB桿作平移:vM當t=1s時：19平行四邊形機構——速度分布平行四邊形機構的速度分布平行四邊形機構——速度分布平行四邊形機構的速度分布20例2：減速運動的飛輪飛輪轉速n=240r/min，斷電后作勻減速運動，經4min10s停止，求飛輪的角加速度和停止前所轉過的轉角。解:例2：減速運動的飛輪飛輪轉速n=240r/min，斷電后21例3：膠帶輪——絞車機構r1r2r3ADCBPIIIn1膠帶輪——絞車機構如圖，已知r1=0.3m，r2=0.75m，r3=0.4m，輪I作勻速轉動，轉速n1=100rpm，膠帶與帶輪之間無滑動，求重物P的上升速度和膠帶各段的加速度。解:輪I的轉速（rad/s）輪II的轉速：（rad/s）重物P上升的速度：（m/s）例3：膠帶輪——絞車機構r1r2r3ADCBPIIIn1膠22例3：膠帶輪——絞車機構r1r2r3ADCBPIIIn1膠帶AB、CD段上各點作直線運動，各點的加速度與兩輪輪緣的切向加速度相同，因此思考：在A、B、C、D四點，輪緣上的加速度與膠帶上的加速度是否相同？為什么？膠帶AD、BC段上各點作圓周運動，各點加速度與兩輪輪緣的法向加速度相同，因此（m/s2）（m/s2）例3：膠帶輪——絞車機構r1r2r3ADCBPIIIn1膠23搖桿機構的滑桿AB以勻速u向上運動，初瞬時=0，求=/4時搖桿OC的角速度和角加速度。例4：搖桿機構OBACuyxLb解：求導：再求導：當=/4時，t=L/u，所以：負號說明此刻角加速度的方向與轉角的方向相反！搖桿機構的滑桿AB以勻速u向上運動，初瞬時=0，求24例5：平動物塊與轉動桿物塊B以勻速v0沿水平直線運動，桿OA與物塊棱邊（C點）保持接觸，物塊高度為h，求桿OA轉動的方程、角速度和角加速度。解:取坐標如圖，取

=0為計算的起點，按題意有x=v0t，則所以桿OA的轉動方程為：桿OA的角速度為：桿OA的角加速度為：v0CxyOBhxA例5：平動物塊與轉動桿物塊B以勻速v0沿水平直線運動，25用矢量表示角速度與角加速度考察三維定軸轉動剛體：三維定軸轉動剛體角速度矢量、角加速度矢量xyz

五、角運動量的矢量表示角運動量的矢量表示用矢量表示角速度與角加速度考察三維定軸轉動剛體：三維定軸26角運動量的矢量表示用矢量表示角速度與角加速度角運動量的矢量表示用矢量表示角速度與角加速度27用矢積表示剛體上點的速度與加速度如圖（考察三維定軸轉動剛體）：角運動量的矢量表示證明（1）速度的大?。海?）速度的方向（矢積的方向）用矢積表示剛體上點的速度與加速度如圖（考察三維定軸轉動剛體）28用矢積表示剛體上點的速度與加速度角運動量的矢量表示用矢積表示剛體上點的速度與加速度角運動量的矢量表示29例6：計算點的速度與加速度剛體繞定軸轉動，已知轉軸通過坐標原點O，角速度矢為解:求：t=1s時，剛體上點M(0，2，3)的速度矢及加速度矢。例6：計算點的速度與加速度剛體繞定軸轉動，已知轉軸通過坐標30例7：剛體上點的速度某定軸轉動剛體的轉軸通過點M0(2,1,3)，其角速度矢的方向余弦為l

=(0.6,0.48,0.64)，角速度的大小

=25rad/s。解:求：剛體上點M(10,7,11)的速度。其中l(wèi)

=(0.6,0.48,0.64)點M相對于點M0的矢徑=(10,7,11)－(2,1,3)=(8,6,8)例7：剛體上點的速度某定軸轉動剛體的轉軸通過點M0(2,131泊松公式考察三維定軸轉動剛體：動參考系O1xyz

繞z

軸轉動，角速度為，基矢量為(i,j,k)角運動量的矢量表示泊松公式考察三維定軸轉動剛體：角運動量的矢量表示32

如果將基矢量(i,j,k)視為動參考系O1xyz中的矢徑，根據速度矢量的定義，基矢量對時間的一階導數(shù)就是基矢量端點軌跡上各點（例如P1、

P2、P3點）的速度矢量。角運動量的矢量表示泊松公式（續(xù)）P1P3P2如果將基矢量(i,j,k)視為動參考33自然軸系?加速度的推導（1）——泊松公式的應用——在任一瞬時，可將點M的運動看作繞密切面內曲率中心O的瞬時轉動，因此：v=·，a

=·所以：利用泊松公式以及v=·

：由加速度的定義：自然軸系?加速度的推導（1）——泊松公式的應用——在任一瞬時34自然軸系?加速度的推導（2）——瞬時定軸轉動的類比——利用定軸轉動（點）公式，有：在任一瞬時，可將點M的運動看作繞密切面內曲率中心O的瞬時轉動，因此：v=·，a

=·其中：自然軸系?加速度的推導（2）——瞬時定軸轉動的類比——利用定35例8：定軸轉動剛體

一定軸轉動的剛體，在初瞬時角速度為0=20rad/s，剛體上某點的運動規(guī)律為s=t+t3（m/s）。求t=1s

時剛體的角速度和角加速度以及該點到轉軸的距離。

解:點的速度和切向加速度分別為：當t=1s時：利用初始時刻（t=0）速度與角速度的關系，有：例8：定軸轉動剛體一定軸轉動的剛體，在初瞬時角速度為36例8：定軸轉動剛體在

t=1s時的角速度和角加速度分別為：驗證：利用（t=1s）時刻速度與角速度的關系，有：例8：定軸轉動剛體在t=1s時的角速度和角加速度分別37例9：飛輪的轉動規(guī)律

某飛輪繞固定軸O轉動的過程中，輪緣上任一點的全加速度與其轉動半徑的夾角恒為

=60o。在運動開始時刻，飛輪轉角=0

=0，角速度為0

。求飛輪的轉動方程以及角速度和轉角間的關系。解:由切向和法向加速度關系可知分離變量積分得到aana例9：飛輪的轉動規(guī)律某飛輪繞固定軸O轉動的過程中，輪38例9：飛輪的轉動規(guī)律另外：再次分離變量積分得到飛輪的轉動方程aana例9：飛輪的轉動規(guī)律另外：再次分離變量積分得到飛輪的轉動方39例10：紙（磁帶）盤的轉動規(guī)律紙盤由厚度為a的紙條卷成，若以不變的速度v拉出紙條，求紙盤的角加速度與其半徑r的函數(shù)關系。解:設紙盤初始半徑為r0，面積為r0