無窮級數(shù)-冪級數(shù)（高等數(shù)學課件）

函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)1.

函數(shù)項級數(shù)的概念知識點講解

2.典型例題講解定義1定義2稱

是函數(shù)項級數(shù)的部分和.函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)是定義在上的一個函數(shù)列，稱

是定義在上的函數(shù)項級數(shù).稱為定義在上的函數(shù)列，記作設(shè)是一列定義在同一數(shù)集上的函數(shù)，函數(shù)項級數(shù)的概念定義3設(shè)級數(shù)收斂，即存在，稱級數(shù)在點收斂，稱為級數(shù)的收斂點.若不存在，稱級數(shù)在點發(fā)散.級數(shù)

的全體收斂點的集合稱為級數(shù)的收斂域.定義4

函數(shù)項級數(shù)的概念說明函數(shù)項級數(shù)在某點的收斂問題,實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂

問題.在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是的函數(shù)

,稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).典型例題講解所以當

時，例1討論在(-∞,+∞)上的函數(shù)項級數(shù)的斂散性.解當時，函數(shù)項級數(shù)收斂；當

時，不存在，函數(shù)項級數(shù)發(fā)散；當

時，函數(shù)項級數(shù)發(fā)散；當

時，函數(shù)項級數(shù)發(fā)散.課程小結(jié)1.介紹了函數(shù)項級數(shù)的有關(guān)概念；2.判斷簡單函數(shù)項級數(shù)的斂散性.函數(shù)展開成冪級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù)冪級數(shù)

1.冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)知識點講解

2.冪級數(shù)和函數(shù)的公式3.典型例題講解冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)冪級數(shù)

的收斂半徑是冪級數(shù)

的收斂半徑是則冪級數(shù)

的收斂半徑是冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2

（2）在點可積，且即（1）在點可導(dǎo)，且即若為上的任意一點，則設(shè)冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)為即冪級數(shù)和函數(shù)的公式常用冪級數(shù)的和函數(shù)公式典型例題講解例1求級數(shù)的和函數(shù).記則解因為

因為發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為（-1，1）.所以收斂半徑為典型例題講解解因為

例2求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)的和.所以收斂域為當時，課程小結(jié)介紹了冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)及如何求冪級數(shù)的和函數(shù).冪級數(shù)冪級數(shù)

1.冪級數(shù)的定義和性質(zhì)知識點講解

2.典型例題講解冪級數(shù)的定義和性質(zhì)定義1由冪函數(shù)序列所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù).其中稱為冪級數(shù)的系數(shù).特別地，當時，冪級數(shù)轉(zhuǎn)化為定理1（1）若冪函數(shù)在處收斂，則對滿足的任何冪級數(shù)收斂；（2）若冪級數(shù)在處發(fā)散，從而，冪級數(shù)的收斂域是以原點為中心的區(qū)間.冪級數(shù)的定義和性質(zhì)則對滿足的任何冪級數(shù)發(fā)散.若以表示區(qū)間的長度，則稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的定義和性質(zhì)當時，冪級數(shù)僅在處收斂；當時，冪級數(shù)在上收斂；

當時，冪級數(shù)在上收斂，

在區(qū)間端點冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.定理2對于冪級數(shù)若則（2）當時，冪級數(shù)的收斂半徑（1）當時，冪級數(shù)的收斂半徑（3）當時，冪級數(shù)的收斂半徑冪級數(shù)的定義和性質(zhì)典型例題講解例1

求下列冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域.解

（1）因為收斂區(qū)間為(-1,1).當時，級數(shù)均發(fā)散，故所求級數(shù)的收斂域為(-1,1).所以冪級數(shù)的收斂半徑為，典型例題講解

（2）因為收斂區(qū)間為(-1,1).故所求級數(shù)的收斂域為(-1,1].當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散.所以冪級數(shù)的收斂半徑為，典型例題講解例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.當時，級數(shù)發(fā)散；故所求級數(shù)的收斂域為[-3,1).解

（1）令所求級數(shù)變?yōu)楫敃r，級數(shù)收斂.由得即所以冪級數(shù)即所求冪級數(shù)的收斂半徑為.典型例題講解（2）令所求級數(shù)變?yōu)橛傻眉串敃r，級數(shù)均發(fā)散，故