第三章-恒定電流的電場和磁場課件

§3.1恒定電流的電場（第一部分）§3.2磁感應(yīng)強度§3.3恒定磁場的基本方程§3.4矢量磁位§3.5磁偶極子§3.6磁介質(zhì)中的場方程（第二部分）§3.7恒定磁場的邊界條件§3.8標量磁位§3.9互感和自感§3.10磁場能量§3.11磁場力第三章恒定電流的電場和磁場§3.1恒定電流的電場（第一部分）第三章恒定電流的電1主要內(nèi)容恒定電流的電場的基本特性（第一部分）磁感應(yīng)強度與磁場強度恒定磁場的基本方程磁介質(zhì)中的場方程（第二部分）恒定磁場的邊界條件自感與互感的計算磁場能量與能量密度主要內(nèi)容恒定電流的電場的基本特性（第一部分）2第一部分

§3.1恒定電流的電場基本概念：電流：電荷在電場作用下定向運動形成電流，習(xí)慣上規(guī)定正電荷運動的方向為電流的方向。恒定電流：電流不隨時間變化而變化恒定電流場：恒定電流的空間存在的電場第一部分

§3.1恒定電流的電場基本概念：3§3.1.1電流密度一、電流強度（標量）（A）單位時間通過某導(dǎo)線截面的電荷量

i為時間的函數(shù)，若電荷流動的速度不變，稱恒定電流即直流電流二、電流密度（矢量）（A/m2）——體電流密度大?。号c正電荷運動方向垂直的單位面積上的電流強度。方向：正電荷運動的方向。如圖，設(shè)通過△S的電流為△I，該點處的電流密度為§3.1.1電流密度一、電流強度（標量）（A）單位時間41、體電流密度》與I的關(guān)系》與ρ的關(guān)系2、面電流密度3、線電流密度若電流僅分布在導(dǎo)體表面的一薄層內(nèi)，引入面電流密度如果電流流過一根非常細的導(dǎo)線時，引入線電流密度》與ρS的關(guān)系》與I的關(guān)系電流密度動態(tài)演示：1、體電流密度》與I的關(guān)系》與ρ的關(guān)系2、面電流密度3、線電5§3.1.2電荷守恒定律電荷守恒的數(shù)學(xué)表達式（電流連續(xù)性方程的積分形式）電流連續(xù)性方程的微分形式恒定電流場的基本方程之一：微分形式：

積分形式：

表明：無散，即電流密度矢量線是無起點無終點閉合曲線電荷定恒定律：任一封閉系統(tǒng)的電荷總量不變。即任意體積V內(nèi)的電荷增量必定等于流入這個體積的電荷增量。§3.1.2電荷守恒定律電荷守恒的數(shù)學(xué)表達式（電流連續(xù)性6§3.1.3歐姆定律的微分形式電流分類：

傳導(dǎo)電流：指導(dǎo)體中的自由電子或半導(dǎo)體中的自由電荷在電場作用下作定向運動所形成的電流。如金屬中、電解液中的電流。

運流電流：指帶電粒子在真空中或氣體中運動時形成的電流。如真空管中的電流。歐姆定律微分形式：其中σ為電導(dǎo)率，單位：西門子/米（S/m）恒定電場中，僅理想導(dǎo)體（σ→∞）內(nèi)才有：靜電場中，導(dǎo)體內(nèi)有：歐姆定律積分形式：注意：只適用于傳導(dǎo)電流，電源外部；不適用于運流電流、電源§3.1.3歐姆定律的微分形式電流分類：歐姆定律微分形7常溫下（20℃）常用材料的電導(dǎo)率材料電導(dǎo)率σ（S/m）

鐵（99.98%）107

黃銅1.46×107

鋁3.54×107

金3.10×107

鉛4.55×107

銅5.80×107

銀6.20×107

硅1.56×10-3常溫下（20℃）常用材料的電導(dǎo)率材料電導(dǎo)率σ（S/m）8電源：一種將其他形式的能量（機械的，化學(xué)的，熱的等）轉(zhuǎn)化為電能的裝置非靜電力：非靜止電荷產(chǎn)生的力，如電池內(nèi)，非靜電力指由化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的使正、負電荷分離的化學(xué)力。非庫侖場：只存在電源內(nèi)部，非靜電力對電荷的影響等效為一個非保守電場庫侖場：同時存在電源內(nèi)部和外部，恒定分布的電荷產(chǎn)生的保守場電動勢：電源內(nèi)部搬運單位正電荷從負極到正極時非靜電力所作的功電動勢電動勢用總電場的回路積分表示：含電源的歐姆定律的微分形式：---電源：一種將其他形式的能量（機械的，化學(xué)的，熱的等）轉(zhuǎn)化為電9§3.1.4焦耳定律(不適用于運流電流)焦耳定律：電流產(chǎn)生的熱量跟電流、電阻和通電時間的關(guān)系。即電流通過導(dǎo)體的熱量跟電流的平方成正比，跟導(dǎo)體的電阻成正比，跟通過時間成正比。焦耳定律的微分形式：

證明：當(dāng)導(dǎo)體上電壓為U，電流為I時，功率為P=UI在導(dǎo)體中，沿電流線方向取長度為⊿l、截面為⊿S的體積元，該體積元消耗的功率為當(dāng)⊿V→0時，取⊿P/⊿V的極限，得導(dǎo)體內(nèi)任一點熱功率密度，即或§3.1.4焦耳定律(不適用于運流電流)焦耳定律：電流產(chǎn)10補充：接地電阻(無線電儀器或電氣裝置中常需接地)接地：將金屬導(dǎo)體埋入地內(nèi)，而將設(shè)備中需要接地的部分與該導(dǎo)體連接。接地體或接地電極：埋在地內(nèi)的導(dǎo)體或?qū)w系統(tǒng)。接地電阻：電流由電極流向大地時所遇到的電阻。當(dāng)遠離電極時，電流流過的面積很大，而在接地電極附近，電流流過的面積很小，或者說電極附近的電流密度最大，則電極處電場強度最大，從而電壓差主要產(chǎn)生在電極處，因此，接地電阻主要集中在電極附近。跨步電壓：人跨一步（約0.8m）的兩腳間的電壓。如果短路，大的電流流入大地時，接地電極附近地面兩點間電壓可能達到相當(dāng)大的數(shù)值。補充：接地電阻(無線電儀器或電氣裝置中常需接地)接地：將金屬11設(shè)經(jīng)引線由O點流入半球形電極的電流為I，則距球心為r處的地中任一點的電流密度為：則電場強度為：由于電流沿徑向一直流出去，直至無窮遠處所以電極在大地中的電壓為：故得接地電阻為：同理，全球接地電阻接地電導(dǎo)例：求半球形電極的接地電阻設(shè)經(jīng)引線由O點流入半球形電極的電流為I，則距球心為r處的地中12減小接地電阻方法：增大半徑a》采用大塊接地導(dǎo)體》采用若干個具有一定粗細，一定長度的導(dǎo)體柱組成的接地系統(tǒng)》采用多根細長導(dǎo)體輻射狀散開平鋪于地下。增大電導(dǎo)率σ》在接地電極附近的地質(zhì)中灌入鹽液或其他導(dǎo)電液體。結(jié)論：當(dāng)流入地面電流一定，電阻越小，電壓越小，因此為了使人接近接地電極時更安全，應(yīng)該減小接地電阻。電阻越小，接地儀器設(shè)備的外殼越接近大地的電位減小接地電阻方法：結(jié)論：當(dāng)流入地面電流一定，電阻越小，電壓越13例：如圖一半徑為10cm的半球形接地導(dǎo)體電極，電極平面與地面重合，已知土壤的導(dǎo)電率為σ=10-2S/m。求：1）接地電阻；2）若有短路電流100A流入地中，某人正以0.5m的步距向接地點前進，前腳距半球中心點的距離為2m，求此人的跨步電壓及土壤的損耗功率解：接地電極的接地電阻為已知流入地中電流為I，則在距求心r處的電場強度為跨步電壓損耗功率例：如圖一半徑為10cm的半球形接地導(dǎo)體電極，電極平解：接地14恒定電流場的基本性質(zhì)：無散無旋場§3.1.5恒定電流場的基本方程（適應(yīng)于電源外部）微分形式：積分形式：旋度方程物理意義：恒定電場是保守場。對應(yīng)電路理論中的基爾霍夫電壓定律。微分形式：積分形式：散度方程物理意義：恒定電場無散場，其電流密度矢量線是無起點無終點閉合曲線。對應(yīng)電路理論中基爾霍夫電流定律恒定電流場的基本性質(zhì)：無散無旋場§3.1.5恒定電流場的15§3.1.5恒定電流場的基本方程（適應(yīng)于電源外部）由于恒定電場的旋度為零，可以引入電位在均勻?qū)w內(nèi)部（電導(dǎo)率σ為常數(shù)），有拉普拉斯方程又由于物理意義：在恒定電場中，均勻?qū)w中的電荷體密度為零，電荷分布在媒質(zhì)表面?！?.1.5恒定電流場的基本方程由于恒定電場的旋度為零，16在兩種導(dǎo)體分界面上，導(dǎo)體性質(zhì)有突變，電場也會突變邊界條件：場分量在界面上的變化規(guī)律恒定電流場的邊界條件：不同導(dǎo)體分界面兩邊恒定電流產(chǎn)生的電場突變所遵循的規(guī)律，稱為靜電場的邊界條件推導(dǎo)恒定電流場邊界條件的依據(jù)是恒定電流場方程的積分形式§3.1.6恒定電流場的邊界條件在兩種導(dǎo)體分界面上，導(dǎo)體性質(zhì)有突變，電場也會突變§3.1.617電流密度的法向分量

在分界面上構(gòu)造如圖非常薄的柱形閉合面，由由于h0

又⊿S很小，所以⊿S上電流密度可看成常數(shù)表明：電流密度的法向分量在邊界面兩側(cè)連續(xù)或或電流密度的法向分量在分界面上構(gòu)造如圖非常薄的柱形閉合面，由18電場強度的切向分量

在分界面上構(gòu)造如右圖狹長回路，由表明：電場強度的切向分量在邊界面兩側(cè)是連續(xù)的由于h0

又⊿l很小，所以⊿l上電場強度可看成常數(shù)或或電場強度的切向分量在分界面上構(gòu)造如右圖狹長回路，由表明：電19分界面上電場的方向分析電場強度經(jīng)過兩種電介質(zhì)界面時，其方向改變情況1、法線方向上：2、切線方向上：特殊情況：》垂直分界面入射時：方向不發(fā)生改變，類似光折射》當(dāng)σ1>>σ2

：即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時，只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在不良導(dǎo)體中，電力線近似垂直于界面，可以將良導(dǎo)體的表面看作等位面說明：電場強度和電流密度矢量方向在經(jīng)過分界面兩邊時方向?qū)l(fā)生改變，改變量與媒質(zhì)性質(zhì)有關(guān)分界面上電場的方向分析電場強度經(jīng)過兩種電介質(zhì)界面時，其方向改20恒定電場（電源外）靜電場（ρ=0的區(qū)域）§3.1.7恒定電流場與靜電場的比擬恒定電場（電源外）靜電場（ρ=0的區(qū)域）§3.1.7恒定電21恒定電場：靜電比擬法：當(dāng)某一特定的靜電場問題的解已知時，與其相應(yīng)的恒定電場的解可以通過對偶量的代換直接得出。利用靜電比擬法，直接由電容得到漏電導(dǎo)靜電場：漏電電導(dǎo)定義：兩個導(dǎo)體之間的漏電流I與它們之間的電壓U的比值為該導(dǎo)體系統(tǒng)的漏電導(dǎo)，用G表示。而導(dǎo)體與大地之間的漏電阻一般稱為接地電阻。說明：漏電導(dǎo)與形狀、位置、介質(zhì)有關(guān)，與I和U無關(guān)。孤立導(dǎo)體與無窮遠處的導(dǎo)體之間存在漏電導(dǎo)。恒定電場：靜電比擬法：當(dāng)某一特定的靜電場問題的解已知時，與其22常見導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

平行板：其中S：面積，d：距離。

同軸線：

其中L：長度，a，b：內(nèi)外導(dǎo)體內(nèi)外半徑平行雙導(dǎo)線：

其中L：長度，D：導(dǎo)線間距，d：導(dǎo)線直徑。同心球：其中a，b：內(nèi)外球半徑。孤立導(dǎo)體：其中a：球半徑。常見導(dǎo)體系統(tǒng)的電容23由靜電比擬法可行常見導(dǎo)體系統(tǒng)的漏電導(dǎo)平行板：其中S：面積，d：距離。

同軸線：

其中L：長度，a，b：內(nèi)外導(dǎo)體內(nèi)外半徑平行雙導(dǎo)線：

其中L：長度，D：導(dǎo)線間距，d：導(dǎo)線直徑。同心球：其中a，b：內(nèi)外球半徑。孤立導(dǎo)體：其中a：球半徑。由靜電比擬法可行常見導(dǎo)體系統(tǒng)的漏電導(dǎo)24漏電導(dǎo)的計算方法

從比擬法出發(fā)，利用C-G和的σ-ε比擬關(guān)系，直接由電容值得到對應(yīng)的漏電導(dǎo)值。從定義出發(fā)，設(shè)兩導(dǎo)體之間的漏電流I，求U值，得G假定I漏電導(dǎo)的計算方法假定I25例3-1

設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a

、外導(dǎo)體內(nèi)半徑b，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ，求同軸線單位長度的漏電電導(dǎo)。解：漏電電流的方向是沿半徑方向從內(nèi)導(dǎo)體到外導(dǎo)體，如令沿軸線方向單位長度從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度和電場為兩導(dǎo)體間的電位差為：漏電電導(dǎo)為：例3-1設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體內(nèi)半徑b，其解：26例3-2

一個同心球電容器的內(nèi)、外半徑為a、b，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ，求該電容器的漏電電導(dǎo)。解：媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，設(shè)流過半徑為r的任一同心球面的漏電電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度和電場為內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為：漏電電導(dǎo)為：作業(yè)：教材習(xí)題三26例3-2一個同心球電容器的內(nèi)、外半徑為a、b，其間媒解：媒27第二部分恒定電流的磁場§3.2磁感應(yīng)強度§3.3恒定磁場的基本方程§3.4矢量磁位§3.5磁偶極子§3.6磁介質(zhì)中的場方程§3.7恒定磁場的邊界條件§3.8標量磁位§3.9互感和自感§3.10磁場能量§3.11磁場力第二部分恒定電流的磁場§3.2磁感應(yīng)強度28主要內(nèi)容：磁感應(yīng)強度與磁場強度恒定磁場的基本方程磁介質(zhì)中的場方程恒定磁場的邊界條件自感與互感的計算磁場能量與能量密度主要內(nèi)容：29基本概念（高中范疇）恒定磁場：磁場不隨時間變化而變化（如恒定電流產(chǎn)生的磁場）。磁通量：垂直于某一面積所通過的磁力線的多少。磁感應(yīng)強度：大小為穿過單位面積的磁通量。方向為磁力線的切線方向。

特斯拉（T）單位太大，工程上常用高斯（G）單位。1G=10-4T。通電導(dǎo)線所受的力：在磁場中垂直于磁場方向的通電導(dǎo)線，所受的磁場力（安培力）F=BIL（左手定則）?；靖拍睿ǜ咧蟹懂牐┖愣ù艌觯捍艌霾浑S時間變化而變化（如恒定30基本概念（高中范疇）（續(xù)）左手定則：伸開左手，使大拇指跟其余四個手指垂直，并且都跟手掌在一個平面內(nèi)，把手放入磁場中，讓磁感線垂直穿入手心，并使伸開的四指指向電流的方向。那么，拇指所指的方向，就是通電導(dǎo)線在磁場中的受力方向。

磁場強度：輔助物理量。在線性各向同性磁介質(zhì)中，磁場強度的大小為磁場中某點的磁感應(yīng)強度B與同一點的磁導(dǎo)率的比值。方向為磁力線的切線方向。基本概念（高中范疇）（續(xù)）左手定則：伸開左手，使大拇指跟其余31§3.2磁感應(yīng)強度一、安培定律：描述電流回路間的相互作用力的大小。安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1對另一載有電流I2的回路C2的作用力為：回路上的電流元矢量μ0為真空中的磁導(dǎo)率§3.2磁感應(yīng)強度一、安培定律：描述電流回路間的相互作用32二、畢奧—薩伐爾定律：描述回路C1在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度將安培定律改寫為：則回路C1在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：單位特斯拉，簡稱特（T）或（Wb/m2）可理解為C1產(chǎn)生磁場，C2在磁場受力二、畢奧—薩伐爾定律：描述回路C1在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度將安33按習(xí)慣“帶撇號”表示源點，“不帶撇號”表示場點源點：場點：則線電流中：面電流中：體電流中：此三個公式作用：已知回路的電流分布可求磁感應(yīng)強度按習(xí)慣“帶撇號”表示源點，“不帶撇號”表示場點源點：場點：34例判斷下列各點磁感應(yīng)強度的方向和大小+++例判斷下列各點磁感應(yīng)強度的方向和大小+++35由可得電流元Idl在外磁場B中所受的力為：而已知外磁場B，回路C受到的力為：以速度v運動的點電荷q在外磁場B中受到的力為：以速度v運動的點電荷q在外電磁場(E,B)中受到的力為：洛侖茲力公式由可得電流元Idl在外磁場B中所受的力為：而已知外磁場B，回36例：一根沿z軸放置長度為2l的直導(dǎo)線通過z方向的電流為I。求其在周圍產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。解：選擇柱坐標系，源點坐標為(0,0,z’)，場點坐標為(ρ,φ,z)其中：根據(jù)畢奧-薩伐爾定律：由若導(dǎo)線無限長，則例：一根沿z軸放置長度為2l的直導(dǎo)線通過z方向的電流為I。求37§3.3

恒定磁場的基本方程§3.3.1磁通連續(xù)性原理

有向曲面S的磁通量：閉合曲面S的磁通量：磁通連續(xù)性原理（積分形式）：表明：磁感應(yīng)強度穿過任意閉合曲面的通量恒為零。即磁力線是連續(xù)的。磁通連續(xù)性原理（微分形式）：表明：磁感應(yīng)強度是一個無散場，磁力線是連續(xù)的閉合曲線?！?.3恒定磁場的基本方程§3.3.1磁通連續(xù)性原理38證明磁通連續(xù)性原理以載流回路C產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為例由于由于=0證明磁通連續(xù)性原理由于由于=039單根導(dǎo)線電流§3.3.2安培環(huán)路定律

積分形式：微分形式：

注意：用安培環(huán)路定律求解磁場分布只適用于某些呈軸對稱分布的磁場的求解表明：恒定磁場是有旋場，旋渦源為電流物理意義：磁感應(yīng)強度沿任意回路的環(huán)量等于真空磁導(dǎo)率乘以該回路包圍的電流的代數(shù)和。推導(dǎo)用斯托克斯定理多根導(dǎo)線電流分布電流動畫演示單根導(dǎo)線電流§3.3.2安培環(huán)路定律積分形式：微分形40§3.3.2安培環(huán)路定律

表明：無散場，磁力線連續(xù)，無頭無尾且不相交，磁力線構(gòu)成閉合回路；有旋場，電流是磁場的旋渦源?？偨Y(jié)：真空中恒定磁場的基本方程積分形式：微分形式：§3.3.2安培環(huán)路定律表明：總結(jié)：真空中恒定磁場的基41例：一根沿z軸放置無限長直導(dǎo)線通過z方向的電流為I。用安培環(huán)路定律求其在周圍產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。解：取圓柱坐標系，由對稱性可知，磁感應(yīng)線是圓心在軸線上的圓。沿磁感應(yīng)線取半徑為ρ的積分路徑C，依安掊環(huán)路定律與前面解法相比：用安培環(huán)路定律求解對稱分布的電流產(chǎn)生的磁場要簡單得多例：一根沿z軸放置無限長直導(dǎo)線通過z方向的電流為I。用安培環(huán)42例3-9

半徑為a的無限長直導(dǎo)線，載有電流I，計算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強度。解：取圓柱坐標系，z軸與導(dǎo)體中軸線重合。由對稱性可知，磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)體中軸線上的圓。沿磁感應(yīng)線取半徑為r的積分路徑C，依安掊環(huán)路定律得而當(dāng)r≤a時當(dāng)r>a時例3-9半徑為a的無限長直導(dǎo)線，載有電流I，計算導(dǎo)體內(nèi)、外43例：內(nèi)、外半徑分別為a、b的無限長中空導(dǎo)體圓柱，導(dǎo)體內(nèi)沿軸向有恒定的均勻傳導(dǎo)電流，體電流密度為導(dǎo)體磁導(dǎo)率為μ。求空間各點的磁感應(yīng)強度。解：電流均勻分布在導(dǎo)體截面上，呈軸對稱分布，取圓柱坐標系，依安掊環(huán)路定律得在r<a區(qū)域：在a≤r≤b

區(qū)域：在r>b

區(qū)域：作業(yè)：教材習(xí)題三11例：內(nèi)、外半徑分別為a、b的無限長中空導(dǎo)體圓柱，導(dǎo)解：電流均44§3.4

矢量磁位（磁矢位）一、矢量磁位的引入二、庫侖規(guī)范引入矢量磁位的意義：引入輔助函數(shù)，某些場合可簡化電磁問題求解，如通過間接方法求解空間磁場分布。要求：磁感應(yīng)強度與矢量磁位滿足一一對應(yīng)關(guān)系矢量磁位的任意性：矢量磁位不是唯一確定的，它加上任意一個標量Ф的梯度后，仍然表示同一個磁場恒定磁場的矢量磁位單位：特斯拉·米(T·m或Wb/m)若則對于有：0§3.4矢量磁位（磁矢位）一、矢量磁位的引入二、庫侖規(guī)范45而上式表明：是性質(zhì)不同的兩種矢量場，這意味著滿足庫侖規(guī)范條件：必須引入新的限定條件，對矢量磁位進行限定，這種新引入的限定條件稱為庫侖規(guī)范。由亥姆霍茲定理可知：矢量場的性質(zhì)由其散度和旋度確定，對于矢量磁位，其旋度已確定(等于磁感應(yīng)強度)，只須對其散度進行限定即可唯一確定。在恒定磁場中一般采用庫侖規(guī)范條件，即令注意：規(guī)范條件是人為引入的限定條件而上式表明：是性質(zhì)不同的兩種矢量場，這46三、矢量磁位的求解矢量磁位滿足的方程由矢量恒等式：應(yīng)用庫侖規(guī)范磁矢位的拉普拉斯方程：泊松方程在直角坐標系中，可以寫成對各個分量的運算，即▽2為矢量拉普拉斯算符三、矢量磁位的求解矢量磁位滿足的方程由矢量恒等式：應(yīng)用庫侖規(guī)47寫成矢量形式：體電流：面電流：線電流：磁通計算公式：寫成分量形式：對矢量磁位的說明：》矢量磁位的方向與電流密度矢量的方向相同》引入矢量磁位可以大大簡化磁場的計算寫成矢量形式：體電流：面電流：線電流：磁通計算公式：寫成分量48例3-10

求長度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位解：取圓柱坐標系，磁矢位只有z分量。當(dāng)l>>z時當(dāng)l>>r時例3-10求長度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位解：取圓柱坐標系，49當(dāng)l→∞時，上式為無窮大。這是因為當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時，不能把無窮遠處作為磁矢位的參考點，而以上的計算均基于磁矢位的參考點在無窮遠處。實際上，當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時，一般指定一個磁矢位的參考點，就可以使磁矢位不為無窮大。當(dāng)指定r=r0

處為磁矢位的零點時，可得出利用上式，用圓柱坐標旋度公式，可求出當(dāng)l→∞時，上式為無窮大。這是因為當(dāng)電流分布在利用上式，用圓50補充：建立非齊次方程直接求解法若已知空間電流密度矢量分布，則可建立方程：

直接求解法在理論上可以求出空間磁場分布，但計算十分復(fù)雜，很難得出解析解，因此解析法一般不采用此法。小結(jié)：求解磁場的方法》場源積分法（畢奧-薩伐爾定律）》非齊次方程直接求解法》安培環(huán)路定律》通過矢量磁位間接求解0補充：建立非齊次方程直接求解法若已知空間電流密度矢量分布，51§3.5

磁偶極子磁偶極子定義：一個載流的小閉和圓環(huán)稱為磁偶極子。解釋：永久磁針的兩端分別存在正磁荷和負磁荷。定義式為：磁矩：大小為電流環(huán)的面積與電流的乘積方向與環(huán)路的法線方向一致。證實：在磁場的實驗研究中已證實，一微小的永久磁針周圍的磁場分布與微小電流環(huán)周圍的磁場分布相同。對偶：磁偶極子及其磁場與電偶極子及其電場是對偶的§3.5磁偶極子磁偶極子定義：一個載流的小閉和圓環(huán)稱為磁52載流圓環(huán)磁矢位本問題的電流分布具有對稱性，所以磁矢位在球面坐標系中只有Ф分量，并只是r和θ的函數(shù)。故將場點選取在xoz平面，在此平面里，AФ與直角坐標分量Ay一致，它是電流元矢量Idl’的y分量IadФcosФ所產(chǎn)生的磁矢位分量總和式中：載流圓環(huán)磁矢位本問題的電流分布具有對稱性，所以磁矢位在球面坐53又：如果r>>a，則所以：積分后得出0由冪級數(shù)：得：又：如果r>>a，則所以：積分后得出0由冪級數(shù)：得：54球面坐標系中求旋度得球面坐標系中求旋度得55電偶極子磁偶極子2、存在對偶關(guān)系。比較：1、在遠離偶極子處，磁偶極子和電偶極子的場分布是相同的，但在偶極子附近，二者場分布不同。引申：磁力線是閉合的，電力線是間斷的。電偶極子磁偶極子2、存在對偶關(guān)系。比較：1、在遠離偶極子處，56§3.6磁介質(zhì)中的場方程磁介質(zhì)的分類：順磁質(zhì)：磁介質(zhì)中磁場增強μr>1

如：錳，鋁，氧氣，氮氣…抗磁質(zhì)：磁介質(zhì)中磁場減弱μr<1

如：銅，銀，氯氣，氫氣…鐵磁質(zhì)：磁介質(zhì)中磁場顯著增強μr>>1

如：鐵，鎳，鈷…現(xiàn)在將一個長螺線管通電流I0，造成一個均勻磁場B0，將磁介質(zhì)充滿磁場（保持電流不變）。實驗發(fā)現(xiàn)：各種磁介質(zhì)中的磁場有的減弱，有的加強。均勻各向同性介質(zhì)充滿磁場所在空間時，有：磁介質(zhì)定義：磁場作用下磁化，并影響磁場分布的物質(zhì)§3.6磁介質(zhì)中的場方程磁介質(zhì)的分類：現(xiàn)在將一個長螺線管57§3.6.1磁化強度磁介質(zhì)磁化的有關(guān)概念：分子電流及磁矩》電子繞核運動，形成分子電流(磁偶極子)》分子電流將產(chǎn)生微觀磁場》分子電流的磁特性可用分子磁矩表示磁介質(zhì)的磁化》磁化前，分子磁矩取向雜亂無章，磁介質(zhì)宏觀上無任何磁特性》外加磁場時：大量分子的分子磁矩取向與外加磁場趨于一致（同向或反向），宏觀上表現(xiàn)出磁特性。磁化現(xiàn)象：磁介質(zhì)在外磁場作用下，產(chǎn)生感應(yīng)磁矩，產(chǎn)生二次磁場，疊加于原場之上，使磁場發(fā)生變化。磁化結(jié)果使介質(zhì)中合成磁場可能減弱，也可能增強。磁化動態(tài)演示§3.6.1磁化強度磁介質(zhì)磁化的有關(guān)概念：磁化動態(tài)演示58磁化強度描述介質(zhì)磁化的程度，等于單位體積內(nèi)的分子磁矩，即若△V內(nèi)每個分子的磁矩相同，單位體積內(nèi)分子數(shù)為N§3.6.2磁化電流磁介質(zhì)被磁化后，內(nèi)部和表面會出附加電流，稱這種電流為磁化電流（束縛電流）磁化電流動態(tài)顯示磁化強度若△V內(nèi)每個分子§3.6.2磁化電流磁介質(zhì)被磁化59§3.6.2磁化電流體磁化電流密度：內(nèi)部出現(xiàn)的附加電流媒質(zhì)表面外法向面磁化電流密度：表面出現(xiàn)的附加電流§3.6.2磁化電流體磁化電流密度：內(nèi)部出現(xiàn)的附加電流媒60證明：體積元為△V的磁介質(zhì)產(chǎn)生的磁矢位為全部磁介質(zhì)產(chǎn)生的磁矢位為利用恒等式利用恒等式證明：體積元為△V的磁介質(zhì)產(chǎn)生的磁矢位為全部磁介質(zhì)產(chǎn)生的磁矢61例3-12

半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱，磁化強度為M0,求磁化體電流密度和磁化面電流密度。解：取圓柱坐標系的z軸與磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。在界面z=0上（下底面）在界面z=L上（上底面）在界面r=a上作業(yè)：教材習(xí)題三19例3-12半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱，磁化強度為M0,62§3.6.3磁場強度在磁介質(zhì)中，將真空中的安培環(huán)路定律修正為：由于將上式改寫為：令：真空中與磁介質(zhì)中統(tǒng)一形式的安培環(huán)路定律積分形式：微分形式：磁場強度（輔助物理量）單位為A/m§3.6.3磁場強度在磁介質(zhì)中，將真空中的安培環(huán)路定律修63§3.6.4磁導(dǎo)率各向同性/各向異性；線性/非線性；均勻/非均勻?qū)τ诰€性各向同性的磁介質(zhì)：μr：介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率根據(jù)與的關(guān)系可將磁介質(zhì)分為：本構(gòu)關(guān)系：和的關(guān)系，表示磁介質(zhì)的磁化特性χm為磁化率，為無量綱量，順磁質(zhì)為正，抗磁質(zhì)為負μ：介質(zhì)的磁導(dǎo)率鐵磁材料：的關(guān)系是非線性的，并且的單值函數(shù)，會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象§3.6.4磁導(dǎo)率各向同性/各向異性；線性/非線性；均勻64磁滯現(xiàn)象：指鐵磁物質(zhì)磁化狀態(tài)的變化總是落后于外加磁場的變化，在外磁場撤消后，鐵磁質(zhì)仍能保持原有的部分磁性O(shè)BHACDB...EF.HCBs.BrHs.初始磁化曲線Br剩磁.HsBs.

飽和磁感應(yīng)強度矯頑力HC磁滯回線磁滯現(xiàn)象：指鐵磁物質(zhì)磁化狀態(tài)的變化總是落后于外加磁場的變化，65§3.6.5磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程微分形式：積分形式：磁矢位的微分方程：在介質(zhì)中同樣定義磁矢位在線性均勻各向同性介質(zhì)中，采用庫侖規(guī)范基本性質(zhì)：無散場。磁力線連續(xù)，無頭無尾且不相交有旋場。電流是磁場的旋渦源，磁力構(gòu)成閉合回路§3.6.5磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程微分形式：積分形66例3-13

同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，外半徑為c，設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體分別流過反向的電流I，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，求各區(qū)域解：如無特別聲明，對良導(dǎo)體（不包括鐵等磁性物質(zhì)）一般取磁導(dǎo)率μ0

，因同軸線無限長，則其磁場沿軸線無變化，該磁場只有Φ分量，且其大小只是r的函數(shù)。利用安培環(huán)路定律，可得當(dāng)r≤a時當(dāng)a<r≤b時當(dāng)b<r≤c時當(dāng)r>c時，全為零例3-13同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，外半徑67總結(jié)：靜態(tài)場性質(zhì)靜電場的基本方程（真空中和介質(zhì)中）積分形式：微分形式：靜電場基本性質(zhì)：有散無旋場恒定電流產(chǎn)生的電場的基本方程（真空中和介質(zhì)中）積分形式：微分形式：恒定電流場基本性質(zhì)：無散無旋場總結(jié)：靜態(tài)場性質(zhì)靜電場的基本方程（真空中和介質(zhì)中）積分形式68恒定磁場的基本方程（真空中和介質(zhì)中）恒定磁場基本性質(zhì)：無散有旋場微分形式：積分形式：例：判斷矢量場的性質(zhì)恒定磁場的基本方程（真空中和介質(zhì)中）恒定磁場基本性質(zhì)：無散69§3.7恒定磁場的邊界條件在兩種介質(zhì)分界面上，介質(zhì)性質(zhì)有突變，磁場將發(fā)生突變磁場的邊界條件：分界面兩邊磁場突變所遵循的規(guī)律，稱為磁場的邊界條件推導(dǎo)磁場邊界條件的依據(jù)是磁場方程的積分形式§3.7恒定磁場的邊界條件在兩種介質(zhì)分界面上，介質(zhì)性質(zhì)有70磁感應(yīng)強度的法向分量

在分界面上構(gòu)造如圖非常薄的柱形閉合面，由由于h0

又⊿S很小，所以⊿S上磁感應(yīng)強度可看成常數(shù)表明：磁感應(yīng)強度的法向分量在邊界面兩側(cè)連續(xù)或磁感應(yīng)強度的法向分量在分界面上構(gòu)造如圖非常薄的柱形閉合面，71磁場強度的切向分量

在分界面上構(gòu)造如右圖狹長回路，由表明：磁場強度的切向分量在通過邊界面時不連續(xù)由于h0

又⊿l很小，所以⊿l上磁場強度可看成常數(shù)或由由磁場強度的切向分量在分界面上構(gòu)造如右圖狹長回路，由表明：磁72分界面上磁場的方向（）分析磁場強度經(jīng)過兩種電介質(zhì)界面時，其方向改變情況1、法線方向上：2、切線方向上：特殊情況：》垂直分界面入射時：方向不發(fā)生改變，類似光的折射》若媒質(zhì)1為鐵磁質(zhì)，媒質(zhì)2為空氣，即μ1>>μ2

，即只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在鐵磁質(zhì)表面，磁場方向與表面垂直說明：磁感應(yīng)強度和磁場強度方向在經(jīng)過分界面兩邊時方向?qū)l(fā)生改變，改變量與媒質(zhì)性質(zhì)有關(guān)若分界面上磁場的方向（）分析磁場強73§3.8標量磁位磁標位的定義：：磁場的標量位函數(shù)（簡稱標量磁位或磁標位）單位為A（安培）。磁標位的拉普拉斯方程：磁標位表示磁場邊界條件：當(dāng)時當(dāng)時§3.8標量磁位磁標位的定義：：磁場的標量位函數(shù)（簡稱標74§3.9互感和自感電感§3.9互感和自感電感75§3.9互感和自感一、磁鏈（magneticfluxlinkage）的定義：磁鏈即為總磁通也叫做磁通鏈，用Ψ表示說明1：如果回路由N匝線圈繞成，則磁鏈為各匝磁通之和。對于密繞線圈，可近似認為各匝的磁通相等，有Ψ=NΦ，Φ為單匝線圈磁通說明2：在線性各向同性媒質(zhì)中，穿過任意電流回路的磁通量與回路電流強度成正比，那么磁鏈也與回路電流成正比。二、自感（self-inductance）的定義：回路的磁鏈和回路電流之比，用L表示§3.9互感和自感一、磁鏈（magneticflux76說明1：回路自感僅與回路自身的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)磁導(dǎo)率有關(guān)，與回路中載流無關(guān)。說明2：若回路導(dǎo)線直徑較粗，則Li回路內(nèi)自感，導(dǎo)體內(nèi)部磁場與部分電流交鏈形成，一般回路導(dǎo)線內(nèi)自感較小，可忽略Le回路外自感，導(dǎo)體外部磁場與全部回路電流交鏈形成內(nèi)磁鏈：穿過回路軸線與內(nèi)周所圍面積（即導(dǎo)體內(nèi)部），與部分回路電流（即陰影部分包含電流）相交鏈的磁鏈。外磁鏈：穿過導(dǎo)體外部（即內(nèi)周所圍面積）與全部回路電流相交鏈的磁鏈。內(nèi)磁鏈外磁鏈說明1：回路自感僅與回路自身的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)磁導(dǎo)77三、互感（mutualinductance）的定義：兩個彼此靠近的回路C1和C2，回路C1的磁場在回路C2上產(chǎn)生的磁鏈為Ψ12，則回路C1對C2的互感為：說明：回路互感僅與兩回路的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)、相對位置和媒質(zhì)磁導(dǎo)率有關(guān)，與回路中載流無關(guān)。同理回路C2對C1的互感為：Ψ11：I1在C1中磁鏈；Ψ21：I2在C1中磁鏈Ψ12：I1在C2中磁鏈；Ψ22：I2在C2中磁鏈動態(tài)演示三、互感（mutualinductance）的定義：兩個彼78互感為正互感為負互感的正負：在同一個線圈中自身電流和另一線圈電流產(chǎn)生的磁鏈方向相同，為正，反之，為負。若Ψ11和Ψ21有相同的方向；或Ψ12和Ψ22有相同的方向，互感為正，反之為負?；ジ袨檎ジ袨樨摶ジ械恼摚涸谕粋€線圈中自身電流和另一線圈79諾伊曼公式：給出兩個簡單回路間互感計算方法諾伊曼公式：提供了求互感的一般方法，但實際應(yīng)用起來常導(dǎo)致復(fù)雜的積分，一般不用此公式。表明：》互感僅與兩回路的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)、相對位置和媒質(zhì)磁導(dǎo)率有關(guān)，與回路中載流無關(guān)。

》兩回路間互感相等M12=M21，即互感具有互易性諾伊曼公式：給出兩個簡單回路間互感計算方法諾伊曼公式：提供了80對于自感，諾伊曼公式變?yōu)椋嚎汕笸庾愿械闹Z伊曼公式若兩個線元重合，R=0，積分趨于無窮大，由于忽略了回路導(dǎo)線的截面所致因此用諾伊曼公式計算自感必須考慮導(dǎo)線的橫截面積其中：表明：回路自感僅與回路自身的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)磁導(dǎo)率有關(guān)，與回路中載流無關(guān)。一般不