【第7章】有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)解讀課件

第七章

FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第七章

FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)主要內(nèi)容線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和性質(zhì)

窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較主要內(nèi)容線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和性質(zhì)對(duì)于N點(diǎn)長(zhǎng)h(n)，傳輸函數(shù)為：H(z)有(N-1)個(gè)零點(diǎn)，有(N-1)階重極點(diǎn)z=0.因此，系統(tǒng)永遠(yuǎn)穩(wěn)定.穩(wěn)定和線性相位是FIR濾波器的突出優(yōu)點(diǎn).7.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)對(duì)于N點(diǎn)長(zhǎng)h(n)，傳輸函數(shù)為：H(z)有(N-1)個(gè)零點(diǎn)，F(xiàn)IR濾波器h(n)的長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為：1.線性相位條件Hg(w)稱為幅度特性，J(w)稱為相位特性.Hg(w)不同于|H(ejw)|，Hg(w)為w的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ejw)|總是正值.H(ejw)線性相位指J(w)是w的線性函數(shù).即FIR濾波器h(n)的長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為：1.線性相位分別稱為第一類線性相位和第二類線性相位.滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱。即：h(n)=h(N-n-1)

滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱。即：h(n)=-h(N-n-1)分別稱為第一類線性相位和第二類線性相位.滿足第一類線性相位的(1)第一類線性相位條件證明將線性相位條件代入上式，則有：令m=N-n-1,則有：(1)第一類線性相位條件證明將線性相位條件代入上式，則有：可以將H(z)表示為：將z=ejω代入上式得可以將H(z)表示為：將z=ejω代入上式得幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為：幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為：令m=N-n-1，則有：(2)第二類線性相位條件證明可以將H(z)表示為：令m=N-n-1，則有：(2)第二類線性相位條件證明可以將z=ejω代入上式得將z=ejω代入上式得幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為：幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為：FIR濾波器h(n)的長(zhǎng)度N取奇數(shù)還是偶數(shù)，對(duì)Hg(w)的特性有影響，因此，對(duì)于兩類線性相位，有四種情況.2.幅度特性Hg(w)的特點(diǎn)幅度函數(shù)Hg(w)為：(1)h(n)=h(N-n-1)，N=奇數(shù)FIR濾波器h(n)的長(zhǎng)度N取奇數(shù)還是偶數(shù)，對(duì)Hg(w)的特式中h(n)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，余弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2偶對(duì)，以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項(xiàng)n=(N-1)/2.令m=(N-1)/2-n→n

，則有式中h(n)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，余弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2式中式中cosnw項(xiàng)對(duì)w=0,p,2p偶對(duì)稱.幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)w=0,p,2p是偶對(duì)稱.式中式中cosnw項(xiàng)對(duì)w=0,p,2p偶對(duì)稱.推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點(diǎn)是由于N=偶數(shù)，Hg(w)中沒(méi)有單獨(dú)項(xiàng)，相等的項(xiàng)合并成N/2項(xiàng).(2)h(n)=h(N-n-1)，N=偶數(shù)令m=N/2-n→n

，則有推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點(diǎn)是由于N=偶數(shù)，Hg(w)式中余弦項(xiàng)在w=p時(shí)為零，且對(duì)w=p奇對(duì)稱，因此幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)w=p奇對(duì)稱，且在w=p處有一零點(diǎn).高通和帶阻濾波器不適合采用這種情況.式中余弦項(xiàng)在w=p時(shí)為零，且對(duì)w=p奇對(duì)稱，因此幅度特性的特(3)h(n)=-h(N-n-1)，N=奇數(shù)可見(jiàn)h(n)奇對(duì)稱時(shí)，中間項(xiàng)為零.(3)h(n)=-h(N-n-1)，N=奇數(shù)可見(jiàn)h(n)奇在Hg(w)中h(n)對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱，正弦項(xiàng)對(duì)該點(diǎn)也是奇對(duì)稱.在求和式中將相同項(xiàng)合并，共合并成(N-1)/2項(xiàng).令m=(N-1)/2-n→n，則有在Hg(w)中h(n)對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱，正弦項(xiàng)對(duì)該點(diǎn)也式中sinnw項(xiàng)在w=0,p,2p時(shí)為零，因此幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)w=0,p,2p處為零。即在z=±1處是零點(diǎn).Hg(w)對(duì)w=0,p,2p

呈奇對(duì)稱.式中sinnw項(xiàng)在w=0,p,2p時(shí)為零，因此幅度特性的令m=N/2-n，則有(4)h(n)=-h(N-n-1)，N=偶數(shù)類似(3)情況：令m=N/2-n，則有(4)h(n)=-h(N-n-1)，式中正弦項(xiàng)在為w=0，2p時(shí)為零→幅度特性Hg(w)在w=0，2p處為零。即在z=1處是零點(diǎn).Hg(w)對(duì)w=0，2p呈奇對(duì)稱，對(duì)w=p呈偶對(duì)稱.式中正弦項(xiàng)在為w=0，2p時(shí)為零→幅度特性Hg(w)在w=03.線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布若zi是H(z)的零點(diǎn)，則zi-1必然也是其零點(diǎn).因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，H(z)的零點(diǎn)必然共軛成對(duì)，所以zi*和(zi-1)*也是其零點(diǎn).確定其中一個(gè)，另外三個(gè)也就確定了.第一、二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)表示：3.線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布若zi是H(z)的零點(diǎn)，則線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布令m=N-n-1，則有4.線性相位FIR濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)N為偶數(shù)，則有令m=N-n-1，則有4.線性相位FIR濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)若N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)h[(N-1)/2]單列.FIR的直接型結(jié)構(gòu)需要N個(gè)乘法器.FIR的線性相位結(jié)構(gòu)：當(dāng)N=偶數(shù)時(shí)，需要N/2個(gè)乘法器，當(dāng)N=奇數(shù)時(shí)，需要(N+1)/2個(gè)乘法器.FIR的線性相位結(jié)構(gòu)節(jié)約了近一半的乘法器.總結(jié)：若N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)h[(N-1)/2]單列.FIR的直接第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)7.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ejw)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)是hd(n).如果能夠由已知的Hd(ejw)求出hd(n)，經(jīng)過(guò)ZT可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z).7.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)顯然，hd(n)是無(wú)限長(zhǎng)非因果序列.例如:理想低通濾波器一般情況下，Hd(ejw)逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)，所以hd(n)是無(wú)限時(shí)寬，且非因果.顯然，hd(n)是無(wú)限長(zhǎng)非因果序列.例如:理想低通濾波器一為構(gòu)造長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2對(duì)稱.設(shè)截取的一段用h(n)=hd(n)RN(n)表示.實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器的h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z).用有限長(zhǎng)h(n)去代替無(wú)限長(zhǎng)hd(n)，必然會(huì)帶來(lái)誤差，表現(xiàn)在頻域上就是吉布斯(Gibbs)效應(yīng)(引起通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng)).為構(gòu)造長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗Hd(ejw)是一個(gè)以2p為周期的函數(shù)，可以展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)，系數(shù)就是Hd(ejw)對(duì)應(yīng)的hd(n).即截?cái)嘈?yīng)的討論FIR設(shè)計(jì)就是尋找有限項(xiàng)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)去近似代替無(wú)限項(xiàng)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù).這種近似會(huì)在一些頻率不連續(xù)點(diǎn)附近引起較大誤差.即所謂的截?cái)嘈?yīng).Hd(ejw)是一個(gè)以2p為周期的函數(shù)，可以展開(kāi)為Fouri矩形窗截?cái)嘈?yīng)對(duì)上式進(jìn)行FT，根據(jù)復(fù)卷積定理：式中：矩形窗截?cái)嘈?yīng)對(duì)上式進(jìn)行FT，根據(jù)復(fù)卷積定理：式中：將Hd(ejw)寫成如下形式：式中：將Hd(ejw)和RN(ejw)代入卷積式得：將Hd(ejw)寫成如下形式：式中：將Hd(ejw)和RN(將H(ejw)寫成如下形式：上式表明:濾波器的幅度特性等于理想低通的幅度特性與矩形窗的幅度特性的卷積.將H(ejw)寫成如下形式：上式表明:濾波器的幅度特性等于矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響在理想特性不連續(xù)點(diǎn)w=wc附近形成過(guò)渡帶，寬度近似等于RN(w)主瓣寬度4p/N.通帶內(nèi)增加波動(dòng)，最大的峰值在wc-2p/N處.阻帶內(nèi)產(chǎn)生余振，最大的負(fù)峰在wc+2p/N處.對(duì)hd(n)加矩形窗處理后，H(w)和原理想低通Hd(w)差別有以下兩點(diǎn)：在主瓣附近，RN(w)可近似為：在理想特性不連續(xù)點(diǎn)w=wc附近形成過(guò)渡帶，寬度近似等于RN(當(dāng)N↑時(shí)，主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變.同時(shí)，波動(dòng)的頻率加快.當(dāng)N→∞時(shí)，sinx/x→δ函數(shù).因此，當(dāng)N↑時(shí)，H(w)幅度沒(méi)有多大改善，但過(guò)渡帶變窄(過(guò)渡帶寬度4p/N).調(diào)整窗口長(zhǎng)度N可有效控制過(guò)渡帶的寬度，但并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效辦法.減小帶內(nèi)波動(dòng)以及加大阻帶衰減只能從窗函數(shù)的形狀上尋找解決的辦法.結(jié)論：當(dāng)N↑時(shí)，主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相1.矩形窗(RectangleWindow)

wR(n)=RN(n)幾種常用的窗函數(shù)主瓣寬度為4p/N，第一副瓣比主瓣低13dB.其頻率響應(yīng)為：1.矩形窗(RectangleWindow)幾種常用的窗2.三角形窗(BartlettWindow)其頻率響應(yīng)為：主瓣寬度為8p/N，第一副瓣比主瓣低26dB.2.三角形窗(BartlettWindow)其頻率響應(yīng)為3.漢寧(Hanning)窗—升余弦窗當(dāng)N>>1時(shí)，N-1≈N3.漢寧(Hanning)窗—升余弦窗當(dāng)N>>1時(shí)，N-漢寧窗的幅度函數(shù)由三部分相加，使能量更集中在主瓣內(nèi)，但付出的代價(jià)是主瓣寬度加寬到8p/N.漢寧窗的幅度函數(shù)由三部分相加，使能量更集中在主瓣內(nèi)，但付出的4.哈明(Hamming)窗—改進(jìn)的升余弦窗其頻域函數(shù)WHm(ejω)為:其幅度函數(shù)WHm(ω)為：4.哈明(Hamming)窗—改進(jìn)的升余弦窗其頻域函數(shù)WH當(dāng)N>>1時(shí)，可近似表示為：改進(jìn)的升余弦窗的能量更加集中在主瓣內(nèi)，第一旁瓣的峰值比主瓣小40dB，但主瓣寬度仍為8p/N.當(dāng)N>>1時(shí)，可近似表示為：改進(jìn)的升余弦窗的能量更加集中在主5.布萊克曼(Blackman)窗其頻域函數(shù)為：5.布萊克曼(Blackman)窗其頻域函數(shù)為：其幅度函數(shù)為：幅度函數(shù)由五部分構(gòu)成.它們使旁瓣再進(jìn)一步抵消，阻帶衰減進(jìn)一步增加.過(guò)渡帶寬度是矩形窗過(guò)度帶的3倍.其幅度函數(shù)為：幅度函數(shù)由五部分構(gòu)成.它們使旁瓣再進(jìn)一步抵消五種窗函數(shù)的波形五種窗函數(shù)的波形(a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗下圖是N=51時(shí)五種窗函數(shù)幅度譜.特點(diǎn):隨著旁瓣的減小，主瓣寬度增加.(a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；((a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗下圖表示理想低通加窗后的幅度特性(N=51，ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；式中：I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)：6.凱塞—貝塞爾窗(Kaiser-BaselWindow)式中：I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)：6.凱塞—貝一般I0(x)取15~25項(xiàng)，便可以滿足精度要求.a參數(shù)可以控制窗的形狀.一般a加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小.典型數(shù)據(jù)為4<a<9，當(dāng)a=5.44時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗，a=7.865時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗.凱塞窗的幅度函數(shù)為：一般I0(x)取15~25項(xiàng)，便可以滿足精度要求.凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影響凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影響六種窗函數(shù)的基本參數(shù)六種窗函數(shù)的基本參數(shù)(1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的hd(n).窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ejw)，則：如果Hd(ejw)較復(fù)雜，不能用封閉公式表示時(shí)，可以對(duì)Hd(ejw)從w=0~2p采樣M點(diǎn)，則dw=2p/M表示，上式近似為：(1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的hd(n).窗函數(shù)設(shè)計(jì)FI根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足：如果M選的足夠大，可以保證在窗口內(nèi)hM(n)有效逼近hd(n).若給出通帶阻帶衰減和邊界頻率的要求，可選用理想濾波器作為逼近函數(shù)，從而用理想濾波器的特性作FT-1求出hd(n).根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足：如果M選的足例如：對(duì)理想低通，可求出單位取樣響應(yīng)hd(n)如下：為保證線性相位，取a=(N-1)/2.例如：對(duì)理想低通，可求出單位取樣響應(yīng)hd(n)如下：為保證(2)根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N.設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶用Dw表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度.所以N=A/Dw

，A決定于窗口形式.按照過(guò)渡帶選擇窗函數(shù)形式，原則上在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù).(3)計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n).(2)根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)若要求線性相位，則要求hd(n)和w(n)均對(duì)(N-1)/2對(duì)稱，若要求h(n)奇對(duì)稱，則只要保證hd(n)對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱.設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算：(4)驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求.若H(ejw)不滿足要求，則重復(fù)(2)(3)(4)步，直到滿足為止.若要求線性相位，則要求hd(n)和w(n)均對(duì)(N-1)/2用漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器.設(shè)N=11,wc=0.2prad.【例題】用理想低通作為逼近濾波器，有解：用漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器.設(shè)N=11,w用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：用漢寧窗設(shè)計(jì)：分別求出h(n)后，再求出H(ejw).幅度特性如圖所示.用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：用漢寧窗設(shè)計(jì)：分別求出h(n)后，再求出低通幅度特性低通幅度特性7.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器待設(shè)計(jì)濾波器的傳輸函數(shù)用Hd(ejw)表示，對(duì)它在w=0~2p之間等間隔采樣N點(diǎn)得到Hd(k).對(duì)N點(diǎn)Hd(k)進(jìn)行IDFT得到h(n).頻率采樣法的基本原理：7.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器待設(shè)計(jì)濾波器的傳輸函數(shù)用對(duì)h(n)進(jìn)行ZT得設(shè)計(jì)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z).直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可利用插值公式得到.前一種方法得到的H(z)適合FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).后一種方法得到的H(z)適合FIR頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).對(duì)h(n)進(jìn)行ZT得設(shè)計(jì)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z).直接利用頻FIR具有線性相位的條件是h(n)是實(shí)序列，且滿足h(n)=h(N-n-1)，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：1.頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件在w=0~2p之間等間隔采樣N點(diǎn)：FIR具有線性相位的條件是h(n)是實(shí)序列，且滿足h(n)=

將w=wk代入上述表達(dá)式中，并寫成k的函數(shù)：以上各式就是頻率采樣值滿足線性相位的條件.將w=wk代入上述表達(dá)式中，并寫成k的函數(shù)：以上各式就是頻用理想低通作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為wc，采樣點(diǎn)數(shù)N，Hg(k)和q(k)用下面公式計(jì)算.N=奇數(shù)時(shí)：用理想低通作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為wc，采樣點(diǎn)數(shù)N，N=偶數(shù)時(shí)：公式中的kc是小于等于wcN/(2p)的最大整數(shù).對(duì)于高通和帶阻濾波器，N只能取奇數(shù).N=偶數(shù)時(shí)：公式中的kc是小于等于wcN/(2p)的最大整若待設(shè)計(jì)的濾波器為Hd(ejw)，對(duì)應(yīng)hd(n).2.逼近誤差及其改進(jìn)措施由頻率域采樣定理，在頻域0~2p之間等間隔采樣N點(diǎn)，利用IDFT得到的h(n)應(yīng)是hd(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后乘以RN(w).即若待設(shè)計(jì)的濾波器為Hd(ejw)，對(duì)應(yīng)hd(n).2.逼近誤若Hd(ejw)有間斷點(diǎn)，則hd(n)無(wú)限長(zhǎng).由于時(shí)域混疊，引起所設(shè)計(jì)h(n)和hd(n)有偏差.在頻域中的采樣點(diǎn)數(shù)N越大，設(shè)計(jì)出的濾波器越接近待設(shè)計(jì)的濾波器Hd(ejw).采樣定理表明，頻率域等間隔采樣H(k)經(jīng)過(guò)IDFT得到h(n).其H(z)和H(k)的關(guān)系為：若Hd(ejw)有間斷點(diǎn)，則hd(n)無(wú)限長(zhǎng).由于時(shí)域混疊在采樣點(diǎn)w=2pk/N處，F(xiàn)(w-2pk/N)=1.因此，在采樣點(diǎn)處H(ejw)=H(k)，誤差為0.采樣點(diǎn)之間，H(ejw)由有限項(xiàng)的H(k)F(w-2pk/N)之和形成，誤差和Hd(ejw)特性的平滑程度有關(guān)，特性越平滑的區(qū)域，誤差越小，特性曲線間斷點(diǎn)處，誤差最大.在采樣點(diǎn)w=2pk/N處，F(xiàn)(w-2pk/N)=1.因此，增加采樣點(diǎn)數(shù)N，可以減小逼近誤差，但間斷點(diǎn)附近誤差仍然很大.提高阻帶衰減最有效的辦法是在頻響間斷點(diǎn)附近區(qū)間內(nèi)插一個(gè)或幾個(gè)過(guò)渡點(diǎn)，使不連續(xù)點(diǎn)變成緩慢過(guò)渡，這樣，雖然加大了過(guò)渡帶，但明顯增大阻帶衰減.增加采樣點(diǎn)數(shù)N，可以減小逼近誤差，但間斷點(diǎn)附近誤差仍然很大.理想低通濾波器增加過(guò)渡點(diǎn)理想低通濾波器增加過(guò)渡點(diǎn)利用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器。要求截止頻率wc=p/2(rad)，采樣點(diǎn)數(shù)N=33，選用h(n)=h(N-1-n)情況.【例題】利用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器。要求截止頻率wc=p/對(duì)理想低通幅度特性采樣：解：用理想低通作為逼近濾波器.對(duì)理想低通幅度特性采樣：解：用理想低通作為逼近濾波器.對(duì)上式進(jìn)行IDFT得到h(n)，計(jì)算其頻響.其幅度特性如圖(a)所示.該圖表明從16p/33到18p/33之間增加了一個(gè)過(guò)渡帶，阻帶最小衰減略小于20dB.增加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)H1=0.5，濾波器幅度特性如圖(b)所示.該圖表明過(guò)渡帶加寬了一倍，但阻帶最小衰減加大到30dB.如果改變H1=0.3904，濾波器幅度特性如圖(c)所示.該圖表明阻帶最小衰減可達(dá)40dB.可見(jiàn)過(guò)渡點(diǎn)取值不同也會(huì)影響阻帶衰減.對(duì)上式進(jìn)行IDFT得到h(n)，計(jì)算其頻響.如果改變H1=0對(duì)理想低通進(jìn)行采樣對(duì)理想低通進(jìn)行采樣幅度特性幅度特性如果N=65，采用兩個(gè)過(guò)渡點(diǎn)，可保持過(guò)渡帶和原例的過(guò)渡帶相同.通過(guò)優(yōu)化取值H1=0.5886，H1=0.1065，此時(shí)得到濾波器幅度特性如圖所示.該圖表明阻帶最小衰減超過(guò)60dB.如果N=65，采用兩個(gè)過(guò)渡點(diǎn)，可保持過(guò)渡帶和原例的過(guò)渡帶相同(N=65)有兩個(gè)過(guò)渡點(diǎn)幅度特性(N=65)有兩個(gè)過(guò)渡點(diǎn)幅度特性頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的最大優(yōu)點(diǎn)是直接從頻域進(jìn)行計(jì)算，比較直觀，也適合于設(shè)計(jì)任意幅度特性的濾波器，但邊界頻率不易控制.如果增加采樣點(diǎn)數(shù)N，對(duì)確定邊界頻率有好處，但N增加會(huì)增加濾波器的成本.因此，它適合于窄帶濾波器的設(shè)計(jì).總結(jié):頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的最大優(yōu)點(diǎn)是直接從頻域進(jìn)行計(jì)算，比較直觀7.4切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器如果用E(ejw)表示希望的濾波器Hd(ejw)和所設(shè)計(jì)濾波器H(ejw)之間的頻響誤差：其均方誤差為：7.4切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器如果用E(ejw)表希望設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性為Hd(w)，實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性為Hg(w)，其加權(quán)誤差E(w)用下式表示：

E(w)=W(w)[Hd(w)-Hg(w)]W(w)為誤差加權(quán)函數(shù)，設(shè)計(jì)過(guò)程中為已知函數(shù).為設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)或幅度特性必須滿足一定條件.1.切比雪夫最佳一致逼近準(zhǔn)則希望設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性為Hd(w)，實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器幅度特假設(shè)設(shè)計(jì)的是h(n)=h(n-N-1)，N=奇數(shù).式中M=(N-1)/2.假設(shè)設(shè)計(jì)的是h(n)=h(n-N-1)，N=奇數(shù).式中M=(選擇M+1個(gè)系數(shù)a(n)，使加權(quán)誤差E(w)的最大值為最小(最佳一致逼近).即式中A表示所研究的頻帶，即通帶或阻帶.上述分析實(shí)際上是用一個(gè)M次多項(xiàng)式逼近一連續(xù)函數(shù)的問(wèn)題.切比雪夫理論指出這個(gè)多項(xiàng)式存在且唯一，并指出構(gòu)造該多項(xiàng)式的方法是“交錯(cuò)點(diǎn)組定律”.選擇M+1個(gè)系數(shù)a(n)，使加權(quán)誤差E(w)的最大值為最小(按照該準(zhǔn)則設(shè)計(jì)濾波器的通帶或阻帶具有等波紋特性.交錯(cuò)點(diǎn)組定律指出最佳一致逼近的充要條件是E(w)在A上至少呈現(xiàn)M+2個(gè)“交錯(cuò)”，使得：按照該準(zhǔn)則設(shè)計(jì)濾波器的通帶或阻帶具有等波紋特性.交錯(cuò)點(diǎn)組定律2.最佳一致逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位FIR設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器是線性相位低通濾波器，其幅度特性為：設(shè)單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度為N.2.最佳一致逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位FIR設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器是線【第7章】有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)解讀ppt課件如果我們知道A上的M+2個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)頻率：

w0,w1,…,wM+1根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組準(zhǔn)則，可寫出：如果我們知道A上的M+2個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)頻率：寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：解上式可唯一地求出a(n)及ρ.由a(n)可以求出濾波器的h(n).實(shí)際上，交錯(cuò)點(diǎn)組的頻率w0,w1,…,wM+1是不知道的.直接求解上式也比較困難.利用數(shù)值分析中的Remez算法，通過(guò)一次次迭代求得一組交錯(cuò)點(diǎn)組頻率，而且每次迭代都不用求解上式.解上式可唯一地求出a(n)及ρ.(1)在頻域等間隔取M+2個(gè)頻率ω0,ω1,…,ωM+1作為交錯(cuò)點(diǎn)組的初始值.按下式計(jì)算ρ值：算法步驟:(1)在頻域等間隔取M+2個(gè)頻率ω0,ω1,…,ωM+1作為一般初始值ωi并不是最佳的極值頻率，ρ也不是最優(yōu)估計(jì)誤差，它是相對(duì)于初始值產(chǎn)生的偏差.利用Lagrange插值公式求出Hg(ω)，即一般初始值ωi并不是最佳的極值頻率，ρ也不是最優(yōu)估計(jì)誤差，它把Hg(ω)代入誤差公式，求出誤差函數(shù)E(ω).如果對(duì)所有的頻率都有|E(ω)|≤|ρ|，說(shuō)明ρ是波紋的極值，頻率ω0,ω1,…,ωM+1是交錯(cuò)點(diǎn)組頻率.如果在某些頻率處|E(ω)|>|ρ|，說(shuō)明需要交換初始交錯(cuò)點(diǎn)組中的某些點(diǎn)，形成一組新的交錯(cuò)點(diǎn).(2)對(duì)上次確定的ω0,ω1,…,ωM+1中每一點(diǎn)，都檢查其附近是否存在某一頻率|E(ω)|>ρ.如有，再在該點(diǎn)附近找出局