專題2序列算子與灰色序列生成課件

問題什么是序列算子??為什么要提出序列算子??序列算子的構造原理是什么??已有哪些序列算子??如何應用序列算子??問題什么是序列算子??主要內容第二節(jié)沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子第三節(jié)均值生成算子第四節(jié)光滑比生成和級比生成第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律主要內容第二節(jié)沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子第三節(jié)均值生成算子第四節(jié)灰色系統(tǒng)理論是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律的,這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途徑,稱之為灰色序列生成一切灰色序列都可以通過某種生成弱化其隨機性,顯現(xiàn)規(guī)律性.序列算子是處理數(shù)據(jù)的一種方法。

引言灰色系統(tǒng)理論是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律的,這是一例河南省長葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產值數(shù)據(jù)（1983-1986年）為

X=(10155,12588,23480,35388)

其增長勢頭很猛，1983-1986年每年平均遞增51.6%，尤其是1984-1986年，每年平均遞增67.7%，參與該縣發(fā)展規(guī)劃編制工作的各階層人士（包括領導層、專家層、群眾層）普遍認為該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產值今后不可能一直保持這么高的發(fā)展速度。用現(xiàn)有數(shù)據(jù)直接建模預測，預測結果人們根本無法接受。經過認真分析和討論，大家認識到增長速度高主要是由于基數(shù)低，而基數(shù)低的原因則是過去對有利于鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展的政策沒有用足、用活、用好。要弱化序列增長趨勢，就需要將對鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展比較有利的現(xiàn)行政策因素附加到過去的年份中，為此引入二階弱化算子，得到二階緩沖序列XD2=(27260,29547,32411,35388)

用XD2建模預測得，1986-2000年該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產值每年平均遞增9.4%，這一結果是1987年得到的，與“八五”后半期和“九五”期間該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展實際基本吻合。引言例河南省長葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產值數(shù)據(jù)（1983-198原始數(shù)據(jù)與XD2數(shù)據(jù)曲線比較引言原始數(shù)據(jù)與XD2數(shù)據(jù)曲線比較引言第二節(jié)沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子強化緩沖算子弱化緩沖算子沖擊擾動系統(tǒng)預測陷阱緩沖算子公理緩沖算子性質第二節(jié)沖擊擾動系統(tǒng)與序列算子強化緩沖算子弱化緩沖算子沖擊擾定義2.2.1設為系統(tǒng)真實行為序列,而觀測到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為:其中,為沖擊擾動項,則稱X為沖擊擾動序列.下面的討論圍繞一個總目標:由展開2.1沖擊擾動系統(tǒng)預測陷阱定義2.2.1設2.1沖擊擾動系統(tǒng)預測陷阱定義2.2.2設系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為,若(1),則稱為單調增長序列；(2)1中不等號反過來成立，則稱為單調衰減序列；(3)存在有則稱為隨機振蕩序列。設稱為序列的振幅。2.2緩沖算子公理定義2.2.2設系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為2.2緩沖算子公理2.2緩沖算子公理2.2緩沖算子公理定義2.2.3設為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，為作用于的算子，經過算子作用后所得序列記為稱為序列算子，稱為一階算子作用序列。序列算子的作用可以進行多次，相應的，若皆為序列算子，我們稱為二階算子，并稱為二階算子作用序列。同理稱為三階序列算子，并稱為三階算子作用序列，以此類推。2.2緩沖算子公理定義2.2.3設2.2緩沖算子公理公理2.2.1（不動點公理）設為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，為序列算子，則滿足不動點公理限定在序列算子作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的數(shù)據(jù)保持不變，即運用序列算子對系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)進行調整，不改變這一即成事實。根據(jù)定性分析的結論，亦可使以前的若干個數(shù)據(jù)在序列算子作用下保持不變。例如，令其中，2.2緩沖算子公理公理2.2.1（不動點公理）2.2緩沖算子公理公理2.2.2（信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的每一個數(shù)據(jù)都應充分的參與算子作用的全過程。信息充分利用公理限定任何序列算子都應以現(xiàn)有的序列中的信息為基礎進行定義，不允許拋開原始數(shù)據(jù)另搞一套。公理2.2.3（解析化、規(guī)范化公理）任意的,皆可由一個統(tǒng)一的的初等解析式表達。2.2緩沖算子公理公理2.2.2（信息充分利用2.2緩沖算子公理定義2.2.4

稱上述三個公理為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子稱為緩沖算子，一階，二階，三階……緩沖算子作用序列稱為一階，二階，三階……緩沖序列。定義2.2.5設為原始數(shù)據(jù)序列，為緩沖算子，當分別為增長序列、衰減序列或振蕩序列時：

(1)若緩沖序列比原始序列的增長速度（或衰減速度）減緩或振幅減小，我們稱緩沖算子為弱化算子；

(2)若緩沖序列比原始序列的增長速度（或衰減速度）加快或振幅增大，則稱緩沖算子為強化算子。2.2緩沖算子公理定義2.2.4稱上述三個2.3緩沖算子的性質定理2.2.1

設為單調增長序列，為其緩沖序列，則有

(1)為弱化算子

(2)為強化算子即單調增長序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹，在強化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮。證明：設為原始數(shù)據(jù)序列中到的增長率。為緩沖序列中到的增長率。2.3緩沖算子的性質定理2.2.1設2.3緩沖算子的性質若為弱化算子，則，即，于是，即，反之亦然。若為強化算子，則，即，于是，即，反之亦然。2.3緩沖算子的性質2.3緩沖算子的性質定理2.2.2

設為單調衰減序列，為其緩沖序列，則有

(1)為弱化算子

(2)為強化算子即單調衰減序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮，在強化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹。定理2.2.3

設為振蕩序列，為其緩沖序列，則有

(1)若為弱化算子，則

(2)若為強化算子，則2.3緩沖算子的性質定理2.2.2設2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.4

設原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為其中

則當為單調增長序列、單調衰減序列或振蕩序列時，皆為弱化算子。并稱為平均弱化緩沖算子(AWBO)。推論2.2.1

對于定理2.2.4中定義的弱化算子，令

則對于單調增長、單調衰減或振蕩序列，皆為二階弱化算子。2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.4設原2.4實用緩沖算子的構造2.4實用緩沖算子的構造2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.5

設原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為其中

則當為單調增長序列和單調衰減序列時，皆為強化算子。推論2.2.2

對于定理2.2.5中定義的強化算子，令

則對于單調增長、單調衰減序列，皆為二階強化算子。2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.5設原2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.6設,令其中

則對單調增長序列為強化算子，對單調衰減序列為強化算子。推論2.2.3對于定理2.2.6中定義的，則，分別為單調增長、單調衰減序列的二階強化算子。2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.6設2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.7設原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為其中

則當為單調增長序列、單調衰減序列或振蕩序列時，皆為弱化算子。并稱為加權平均弱化緩沖算子(WAWBO)。證明:這里只證明單調增長序列的情況，對單調衰減序列和振蕩序列類似可以證明。為單調增長序列，則因此；所以，為弱化算子。2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.7設原2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.8

設原始數(shù)據(jù)序列和緩沖序列分別為其中

則當為單調增長序列、單調衰減序列或振蕩序列時，皆為弱化算子。并稱為幾何平均弱化緩沖算子(GAWBO)。證明容易驗證，滿足緩沖算子三公理，因而為緩沖算子。

(1)當為單調增長序列時，因為所以當為單調增長序列時，為弱化緩沖算子。

(2)同理，當為單調衰減序列或振蕩序列時，皆為弱化算子。2.4實用緩沖算子的構造定理2.2.8設原2.4實用緩沖算子的構造例2.2.2

南京市農林牧漁總產值數(shù)據(jù)（1996—1999）為（億元）增長速度十分緩慢，平均每年的增長率僅為2.4%，這與整個國民經濟快速增長的大環(huán)境是不相適應的，長期發(fā)展下去，必將導致產業(yè)結構發(fā)展不平衡，影響國民經濟的可持續(xù)增長，因此，為了能夠及時準確地把握經濟發(fā)展趨勢，對經濟的發(fā)展作科學合理的預測，必須對緩慢增長的數(shù)據(jù)加以處理，使其符合今后的發(fā)展趨勢，在此基礎上進行合理的預測.對數(shù)據(jù)序列進行二階強化，得出二階緩沖序列數(shù)據(jù)為建立GM(1,1)模型為時間響應式為2.4實用緩沖算子的構造例2.2.2南京市農林2.4實用緩沖算子的構造根據(jù)上式，計算模擬結果并列擬合效果表和預測效果表如下。由表2.2.1和表2.2.2可以看出，應用強化緩沖算子作用后的數(shù)據(jù)建模能夠取得良好的模擬效果和預測效果.

2.4實用緩沖算子的構造根據(jù)上式，計算模擬結果第三節(jié)均值生成算子第三節(jié)均值生成算子第三節(jié)均值生成算子在搜集數(shù)據(jù)時，常常出現(xiàn)空缺或者異常值。均值生成是常用的構造新數(shù)據(jù)、填補老序列空穴、生成新序列的方法。定義2.3.1

設序列與為的一對緊鄰值，稱為前值，稱為后值，若為新信息，則對任意，稱為老信息。定義2.3.2設序列在處有空穴，記為，即則稱和為的界值，為前界，為后界，當由與生成時，稱生成值為的內點第三節(jié)均值生成算子在搜集數(shù)據(jù)時，常常出現(xiàn)空缺或第三節(jié)均值生成算子定義2.3.3

設和為序列中的一對緊鄰值，若有

(1)為老信息，為新信息；

(2)

則稱為由新信息和老信息在生成系數(shù)（權）下的生成值，當時，稱的生成是“重新信息、輕老信息”生成；當時，稱的生成是“重老信息、輕新信息”生成；當時，稱的生成是非偏生成。第三節(jié)均值生成算子定義2.3.3設第三節(jié)均值生成算子定義2.3.4

設序列為在處有空穴的序列，而為非緊鄰均值生成數(shù)，用非緊鄰均值生成數(shù)填補空穴所得的序列稱為非緊鄰均值生成序列。當為新信息時，非緊鄰均值生成是新老信息等權生成。在信息缺乏難以衡量新老信息對的影響程度時，采用等權生成。定義2.3.5設序列，若

則稱為緊鄰均值生成數(shù)。由緊鄰均值生成數(shù)構成的序列稱為緊鄰均值生成序列。第三節(jié)均值生成算子定義2.3.4設序列第四節(jié)光滑比生成和級比生成1.光滑比生成光滑比定義準光滑序列2.級比生成級比定義相互關系如何??第四節(jié)光滑比生成和級比生成1.光滑比生成2.級比生成相互第四節(jié)光滑比生成和級比生成定義2.4.1稱為序列的光滑比。光滑比從反映序列的光滑性，即用序列中第個數(shù)據(jù)與其前個數(shù)據(jù)之和的比值來考察序列中數(shù)據(jù)變化是否平穩(wěn)。顯然，序列中的數(shù)據(jù)變化越平穩(wěn)，其光滑比越小。定義2.4.2若序列滿足

(1)(2)(3)

則稱為準光滑序列。第四節(jié)光滑比生成和級比生成定義2.4.1稱第四節(jié)光滑比生成和級比生成當序列的起點和終點為空穴，即時，我們無法采用均值生成填補空缺，只有轉而考慮別的方法。級比生成就是常用的填補序列端點空穴的方法。定義2.4.3設序列，則稱為序列的級比。定義2.4.4設為端點是空穴的序列：若用右鄰的級比生成，用左鄰的級比生成,則稱和為級比生成；按級比生成填補空穴所得的序列稱為級比生成序列。第四節(jié)光滑比生成和級比生成當序列的起點第四節(jié)光滑比生成和級比生成命題2.4.1

設是端點為空穴的序列，若采取級比生成，則命題2.4.2

級比與前面定義的光滑比有下列關系命題2.4.3

若為遞增序列，且有

(1)對于

(2)對于即光滑比遞減，則對指定的實數(shù)，當時，必有第四節(jié)光滑比生成和級比生成命題2.4.1設第四節(jié)光滑比生成和級比生成例2.4.1

設序列,則對于,滿足。對于,滿足當時，，第四節(jié)光滑比生成和級比生成例2.4.1設序第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子定義2.5.1設為原始序列,為序列算子,其中則稱為的一次累加生成算子，稱階算子為的次累加生成算子，記為,習慣上，我們記其中

第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子定義2.5第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子定義2.5.2設為原始序列,為序列算子,其中則稱為的一次累減生成算子。階算子為的次累減生成算子。我們記其中定理2.5.1累減生成算子是累加生成算子的逆算子，即鑒于累減過程與累加過程互逆，將累減生成算子記為。第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子定義2.5.2累加生成累減生成第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子累加生成累減生成第五節(jié)累加生成算子與累減生成算子第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律一般的非負準光滑序列經過累加生成后，都會減少隨機性，呈現(xiàn)出近似的指數(shù)增長規(guī)律。原始序列越光滑，生成后指數(shù)規(guī)律也越明顯，如某市自行車銷售量數(shù)據(jù)序列和其一次累加生成序列的曲線分別如圖2.6.1和圖2.6.2所示。第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律一般的非負準光滑序列經過第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定義2.6.1設連續(xù)函數(shù)為則當(1)時，稱為齊次指數(shù)函數(shù)；(2)時，稱為非齊次指數(shù)函數(shù)。定義2.6.2設序列，若對于(1),則稱為齊次指數(shù)序列；(2),則稱為非齊次指數(shù)序列；第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定義2.6.1設連續(xù)函數(shù)為第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定理2.6.1為齊次指數(shù)序列的充分必要條件是，對于恒有成立。證明：設對任意,則：再設對任意,則第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定理2.6.1第六節(jié)累加生成的灰指數(shù)律定義2.6.3設序列