湖南省常德市市鼎城區(qū)第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

湖南省常德市市鼎城區(qū)第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)（1，a）處的切線與直線2x﹣y﹣6=0平行，則a=（）A．1 B． C． D．﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】62：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】利用曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為斜率求曲線的切線斜率；利用直線平行它們的斜率相等列方程求解．【解答】解：y'=2ax，于是切線的斜率k=y'|x=1=2a，∵切線與直線2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故選：A2.下列推理是歸納推理的是（）A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的軌跡為橢圓B．由a1=1，an=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2+y2=r2的面積πr2，猜想出橢圓+=1的面積S=πabD．科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇參考答案：B【考點(diǎn)】F6：演繹推理的基本方法；F7：進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理．【分析】本題考查的是選歸納推理的定義，判斷一個(gè)推理過(guò)程是否是歸納推理關(guān)鍵是看他是否符合歸納推理的定義，即是否是由特殊到一般的推理過(guò)程．【解答】解：A是演繹推理，C、D為類(lèi)比推理．只有C，從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理．故選B3.已知點(diǎn)P在曲線y=上，θ為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則θ的取值范圍是（）A．[0，） B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可知函數(shù)圖象在切點(diǎn)處的切線的斜率值即為其點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的值域的求法利用基本不等式求出k的范圍，再根據(jù)k=tanθ，結(jié)合正切函數(shù)的圖象求出角θ的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得f′（x）=﹣，∵k=﹣≤﹣=﹣1，且k＜0，則曲線y=f（x）上切點(diǎn)處的切線的斜率k≥﹣1，又∵k=tanθ，結(jié)合正切函數(shù)的圖象：由圖可得θ∈[，π），故選：C．4.已知集合，集合，則集合A∩B的子集個(gè)數(shù)為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：D【分析】因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知集合的交集有2個(gè)元素，可知其子集共有個(gè).【詳解】由題意得，直線與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，故的子集有4個(gè).【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，子集的概念，屬于中檔題.5.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則等于(

)A.-1 B. C. D.1參考答案：C【分析】根據(jù)求得函數(shù)的周期，再結(jié)合奇偶性求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由于故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.6.（5分）在6道題中有4道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到文科題的概率為（） A． B． C． D． 參考答案：D7.已知函數(shù)則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.已知集合，，則A∩B=（

）A. B.{－1,0,1,2} C.{－2,－1,0,1,2} D.{0,1,2}參考答案：B【分析】首先根據(jù)分式不等式的解法以及指數(shù)不等式，化簡(jiǎn)集合A，B，之后根據(jù)交集的定義寫(xiě)出．【詳解】：集合，，則，故選B．【點(diǎn)睛】：該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要先將集合中的元素確定，之后再根據(jù)集合的交集中元素的特征，求得結(jié)果．9.過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若=則雙曲線的離心率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：c略10.已知集合，，下列結(jié)論成立的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列中,，，則的通項(xiàng)公式為

．參考答案：12.

不等式的解集為

.參考答案：[-3,1]13.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）參考答案：57【分析】先求出的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，再求的常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題得的通項(xiàng)為，令r=0得的常數(shù)項(xiàng)為,令-r=-2，即r=2,得的的系數(shù)為.所以的常數(shù)項(xiàng)為1+2×28=57.故答案為：57【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式指定項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.14.曲線和直線所圍成的圖形的面積為參考答案：略15.設(shè)x、y∈R+且=1，則x+y的最小值為

．參考答案：16【考點(diǎn)】基本不等式．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】將x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）?（），展開(kāi)后應(yīng)用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）?（）==10+≥10+2=16（當(dāng)且僅當(dāng)，x=4，y=12時(shí)取“=”）．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式，著重考查學(xué)生整體代入的思想及應(yīng)用基本不等式的能力，屬于中檔題．16.已知函數(shù)，則

.參考答案：7略17.已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目．根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損分別為30%和10%．投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元．問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合．【分析】設(shè)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資x和y萬(wàn)元，列出x和y的不等關(guān)系及目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y．利用線性規(guī)劃或不等式的性質(zhì)求最值即可．【解答】解：設(shè)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資x和y萬(wàn)元，則，設(shè)z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）≤0.25×10+0.25×18=7，當(dāng)即時(shí)，z取最大值7萬(wàn)元答：投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目分別投資4萬(wàn)元和6萬(wàn)元時(shí)，才能使可能的盈利最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，利用不等式的性質(zhì)求最值問(wèn)題，考查對(duì)信息的提煉和處理能力．19.如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).已知，.求證：（1）直線PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.參考答案：證明：（1）因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA

……………2分又因?yàn)镻A平面DEF，DE平面DEF，

……………4分所以直線PA∥平面DEF

……………5分（2）因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，EF∥BC，且DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因?yàn)镈F＝5，故DF2＝DE2＋EF2，

……………6分所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF

……………7分又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC

……………8分因?yàn)锳C∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC

……………9分又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC

……………10分20.如圖所示，△ABC和△BCD都是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，連接AD，E是線段AD的中點(diǎn)．（1）判斷直線CE與平面ABD是否垂直，并說(shuō)明理由；（2）由二面角D﹣CE﹣B的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（1）設(shè)BC中點(diǎn)為O，連接OD、OA，分別以射線OC、OD、OA為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法求出CE與平面ABD是不垂直．（2）求出平面DCE和平面BCE的法向量，利用向量法能求出二面角二面角D﹣CE﹣B的余弦值．【解答】解：（1）直線CE與平面ABD是不垂直．…理由如下：設(shè)BC中點(diǎn)為O，連接OD、OA，依題意得OC、OD、OA兩兩垂直，分別以射線OC、OD、OA為x、y、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．…不妨設(shè)AB=2，則得B（﹣1，0，0），C（1，0，0），，，，則，于是，故CE與BA不垂直，由直線與平面垂直的定義知，CE與平面ABD是不垂直．

…（2）由（1）知，，分別設(shè)平面DCE和平面BCE的法向量為=（x，y，z），=（a，b，c），則有，取y=1，得=（），，取c=1，得=（0，﹣1，1），…=0﹣1+1=0，∴二面角D﹣CE﹣B的大小是，…∴二面角二面角D﹣CE﹣B的余弦值為0．…21.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC．(Ⅰ)求tanC的值；(Ⅱ)

若a＝，求ABC的面積．參考答案：解：(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC．整理得：tanC＝．(Ⅱ)由tanC＝知：sinC＝．又由正弦定理知：，故．(1)對(duì)角A運(yùn)用余弦定理：cosA＝．(2)解(1)(2)得：or

b＝(舍去)．∴ABC的面積為：S＝．略22.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ccosA=（2b﹣a）cosC．（1）求角C；（2）若A=，△ABC的面積為，D為AB的中點(diǎn)，求sin∠BCD．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得：2sinBccosC=sinB，由sinB≠0，可求cosC=，結(jié)合C的范圍可求C的值．（2）利用三角形內(nèi)角和定理可求B，利用三角形面積公式可求a，在△DBC中，利用余弦定理可求CD，在△DBC中，由正弦定理可得sin∠BCD的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）在△ABC中，∵ccosA=（2b﹣a