第一章二體問題課件

第一章航天器運(yùn)動主講教師：杏建軍2023年8月8日第一章航天器運(yùn)動主講教師：杏建軍1授課內(nèi)容緒論二體相對運(yùn)動方程二體相對運(yùn)動方程的求解授課內(nèi)容緒論21.1課程的主要研究內(nèi)容主要研究內(nèi)容：人造物體（航天器）在空間（距離地面100km以上）自然力和人為控制力作用下運(yùn)動的一門學(xué)科。課程名稱：航天器動力學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用主要包括天體引力和大氣阻力航天器的運(yùn)動：包括質(zhì)心運(yùn)動和姿態(tài)運(yùn)動，相應(yīng)的課程為航天器質(zhì)心動力學(xué)和航天器姿態(tài)動力學(xué)。航天器質(zhì)心運(yùn)動和姿態(tài)運(yùn)動是解耦的，因此可以分開研究和控制。為什么？1.1課程的主要研究內(nèi)容主要研究內(nèi)容：人造物體（航天器）31.1課程的主要研究內(nèi)容課程主要研究內(nèi)容：1、航天器運(yùn)動數(shù)學(xué)建模（物理規(guī)律的研究）2、數(shù)學(xué)模型的求解（微分方程的求解）3、數(shù)學(xué)模型解算條件的提供（微分方程解算條件的提供）4、航天器運(yùn)動規(guī)律的應(yīng)用（具體的工程實(shí)踐）物理規(guī)律的研究：牛頓定理和萬有引力定理非線性微分方程的求解：數(shù)學(xué)模型解算條件的提供：初始軌道的測量和最優(yōu)控制航天器運(yùn)動規(guī)律的應(yīng)用：各種航天任務(wù)的軌道設(shè)計(jì)1.1課程的主要研究內(nèi)容課程主要研究內(nèi)容：物理規(guī)律的研究41.2課程的作用航天器質(zhì)心運(yùn)動規(guī)律的研究是一切航天任務(wù)的開始的基礎(chǔ)任何航天任務(wù)的設(shè)計(jì)都要滿足其基本的運(yùn)動規(guī)律（例如：在萬有引力作用下，航天器作圓錐曲線運(yùn)動）討論問題：有沒有可能設(shè)計(jì)任意飛行的航天器？1.2課程的作用航天器質(zhì)心運(yùn)動規(guī)律的研究是一切航天任務(wù)的51.2課程的作用航天器相對運(yùn)動實(shí)例1.2課程的作用航天器相對運(yùn)動實(shí)例61.2課程的作用對于人造地球衛(wèi)星來說，航天器軌道高度是任務(wù)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參數(shù)。為什么？軌道高度決定了：發(fā)射成本效載荷規(guī)模。如雷達(dá)、光學(xué)相機(jī)、通信衛(wèi)星發(fā)射機(jī)對地球的覆蓋范圍。對熱點(diǎn)地區(qū)的覆蓋特性決定了一些有特殊用途的軌道1.2課程的作用對于人造地球衛(wèi)星來說，航天器軌道高度是任71.2課程的作用對于深空探測器，航天器軌道設(shè)計(jì)決定了整個(gè)任務(wù)過程卡西尼號是17國參與的土星探測任務(wù)，歷時(shí)過6年8個(gè)月、32億千米?？ㄎ髂崽柕脑幃愶w行軌跡為什么這樣設(shè)計(jì)？直接飛行只需12.5億千米行星助力飛行，節(jié)省燃料。如果直接飛往土星，需要70噸推進(jìn)劑，卡西尼號總重6.4噸1.2課程的作用對于深空探測器，航天器軌道設(shè)計(jì)決定了整個(gè)81.2課程的作用亞星三號衛(wèi)星亞星三號是美國休斯公司為香港亞洲衛(wèi)星公司制作的通信衛(wèi)星，于1997年12月由質(zhì)子火箭發(fā)射進(jìn)入地球靜止軌道，但由于火箭故障，進(jìn)入了軌道傾角為51°的無用軌道，發(fā)射失敗，香港衛(wèi)星公司向保險(xiǎn)公司索賠2億美金。一個(gè)航天史上的故事由此開始1.2課程的作用亞星三號衛(wèi)星一個(gè)航天史上的故事由此開始91.3學(xué)科發(fā)展史從嚴(yán)格意義上來說，航天器動力學(xué)開始于上世紀(jì)50年代前蘇聯(lián)發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星，但它的起源非常久遠(yuǎn)。古典天文學(xué)中國是世界上天文學(xué)起步最早，發(fā)展最快的國家之一。早在堯舜時(shí)代就設(shè)置了天文官。古希臘也是古典天文學(xué)什么發(fā)達(dá)的國家，取得了輝煌的成就，并對歐洲各國的文化影響很大。主要成果包括：確定地球的形狀和大??；日月的遠(yuǎn)近和大?。蝗招恼f等。1.3學(xué)科發(fā)展史從嚴(yán)格意義上來說，航天器動力學(xué)開始于上世101.3學(xué)科發(fā)展史古典天文學(xué)的社會需求制定歷法的需要，知道農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。如我們常說的24節(jié)氣預(yù)測天災(zāi)人禍，旦夕禍福。（在古代，占星術(shù)和天文學(xué)是沒有明顯的區(qū)別的）古典天文學(xué)研究方法沒有理論指導(dǎo)，沒有先進(jìn)的觀測手段興趣，長期不懈的觀測，積極思考1.3學(xué)科發(fā)展史古典天文學(xué)的社會需求制定歷法的需要，知道111.3學(xué)科發(fā)展史天體力學(xué)：應(yīng)用力學(xué)規(guī)律研究天體的運(yùn)動和形狀天體力學(xué)以數(shù)學(xué)為主要研究手段（微積分），以牛頓萬有引力定律為基礎(chǔ)。天體力學(xué)的發(fā)展奠基期（從古典天文學(xué)到十九世紀(jì)后期），標(biāo)志性成果：開普勒提出三大定理；牛頓創(chuàng)立微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力定理；歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯創(chuàng)立分析力學(xué)，建立了天體力學(xué)的力學(xué)基礎(chǔ)，提出了攝動理論的分析方法；海王星的發(fā)現(xiàn)（理論的實(shí)際應(yīng)用）。1.3學(xué)科發(fā)展史天體力學(xué)：應(yīng)用力學(xué)規(guī)律研究天體的運(yùn)動和形121.3學(xué)科發(fā)展史天體力學(xué)的發(fā)展發(fā)展期（從十九世紀(jì)后期到二十世紀(jì)50年代）。研究對象新增加了太陽系的小天體。研究方法新增了定性方法和數(shù)值方法，定性方法由龐加萊和李雅普洛夫創(chuàng)建，數(shù)值方法最早追溯到高斯（最小二乘定軌）。新時(shí)期（二十世紀(jì)50年代以后，航天器動力學(xué)出現(xiàn)）。研究對象新增了人造物體，物體運(yùn)動的預(yù)報(bào)精度與觀測精度大大提高，相應(yīng)的攝動分析方法、定性方法和數(shù)值方法也有了相應(yīng)的發(fā)展。1.3學(xué)科發(fā)展史天體力學(xué)的發(fā)展131.3學(xué)科發(fā)展史航天器動力學(xué)二十世紀(jì)50年代以后，隨著人造天體的發(fā)射，航天器動力學(xué)出現(xiàn)。與天體力學(xué)相比，研究對象發(fā)生了變化（人造物體）。與自然天體相比，人造物體的受力物體增加了人為控制力，運(yùn)動形式更為復(fù)雜；物體的預(yù)報(bào)精度與觀測精度大大提高。研究的基本方法沒有變化：以微積分為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以攝動分析方法、定性分析方法和數(shù)值方法為手段。1.3學(xué)科發(fā)展史航天器動力學(xué)141.4教程和參考書1、航天器軌道動力學(xué)，趙鈞編著，哈工大出版社，20112、航天器軌道動力學(xué)與控制，楊嘉摨主編，宇航出版社，1995（注：國內(nèi)航天器領(lǐng)域經(jīng)典專著）3、FundamentalsofAstrodynamicsandApplications(SecondEdition)，Vallado，D.V.MicrocosmPress,2001（注：國外經(jīng)典教材）4、Anintroductiontothemathematicsandmethodsofastrodynamics,RichardH.B.AIAA,1999（注：MIT教材）1.4教程和參考書1、航天器軌道動力學(xué)，趙鈞編著，哈工大151.5考核方式和成績評定考核方式考核內(nèi)容成績比例（%）平時(shí)到課率、課堂回答問題及研討基礎(chǔ)知識，學(xué)習(xí)主動性20課后作業(yè)綜合應(yīng)用知識解決具體工程問題的能力10文獻(xiàn)閱讀與專題報(bào)告自主學(xué)習(xí)，分析問題和主動交流的能力20期末閉卷理論考試學(xué)生掌握基本概念及基本理論的程度501.5考核方式和成績評定考核方式考核內(nèi)容成績比例（%）平16授課內(nèi)容緒論二體相對運(yùn)動方程二體相對運(yùn)動方程的求解授課內(nèi)容緒論17牛頓第二定理：Force=Mass×

Acceleration2.1萬有引力定律和牛頓第二定律萬有引力定理：任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)有通過連線方向上的力相互吸引。該引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比，與它們距離的平方成反比。m1m2r1r2牛頓第二定理：Force=Mass×Accelerat182.2二體系統(tǒng)線動量守恒定理+內(nèi)力不改變系統(tǒng)的質(zhì)心2.2二體系統(tǒng)線動量守恒定理+內(nèi)力不改變系統(tǒng)的質(zhì)心192.3二體相對運(yùn)動方程-2.3二體相對運(yùn)動方程-202.3二體相對運(yùn)動方程另一種推導(dǎo)思路質(zhì)點(diǎn)m1與質(zhì)點(diǎn)m2所受的相互引力大小相等，方向相反2.3二體相對運(yùn)動方程另一種推導(dǎo)思路質(zhì)點(diǎn)m1與質(zhì)點(diǎn)m2所212.4討論1：m1相對系統(tǒng)質(zhì)心的相對運(yùn)動方程推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)m1相對系統(tǒng)質(zhì)心的相對運(yùn)動方程質(zhì)點(diǎn)m2相對m1的相對運(yùn)動方程m1m2r1r2rcmcm2.4討論1：m1相對系統(tǒng)質(zhì)心的相對運(yùn)動方程推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)m1221.4討論問題2如果在地球附近發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，其相對地心的相對運(yùn)動方程是什么？如果向月球發(fā)射一個(gè)月球探測器，其相對地月質(zhì)心的相對運(yùn)動方程是什么？如果向月球發(fā)射一個(gè)月球探測器，其相對地球質(zhì)心的相對運(yùn)動方程是什么？1.4討論問題2如果在地球附近發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，其相232.5二體相對運(yùn)動方程的標(biāo)量表示矢量形式的非線性微分方程為了在實(shí)際中應(yīng)用，需要轉(zhuǎn)換為標(biāo)量形式直角坐標(biāo)的基矢量不隨時(shí)間變化2.5二體相對運(yùn)動方程的標(biāo)量表示矢量形式的非線性微分方程242.6討論3：

二體相對運(yùn)動方程的極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)的基矢量是隨時(shí)間變化2.6討論3：二體相對運(yùn)動方程的極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)的基矢252.7課后作業(yè)通過復(fù)習(xí)或者自學(xué)理論力學(xué)中拉格朗日方程的有關(guān)內(nèi)容，應(yīng)用拉格朗日方程推導(dǎo)討論問題1、3。下節(jié)課隨機(jī)抽點(diǎn)學(xué)生上臺上述，并請所有學(xué)生提交推導(dǎo)過程作業(yè)。作業(yè)關(guān)鍵點(diǎn)：拉格朗日函數(shù)=系統(tǒng)動能-系統(tǒng)的勢能；拉格朗日方程；廣義坐標(biāo)。閱讀：Anintroductiontothemathematicsandmethodsofastrodynamics》p97-p99；p110。2.7課后作業(yè)通過復(fù)習(xí)或者自學(xué)理論力學(xué)中拉格朗日方程的有關(guān)26授課內(nèi)容緒論二體相對運(yùn)動方程二體相對運(yùn)動方程的求解授課內(nèi)容緒論273.1近似方法非線性微分方程微分方程解決的基本方法：解析法和數(shù)值法解析法：求出非線性微分方程的解析解。算例：自由落體運(yùn)動3.1近似方法非線性微分方程微分方程解決的基本方法：解析法283.1近似的方法基本原理：泰勒級數(shù)展開數(shù)值積分法：通過數(shù)值積分的方法求解h步長經(jīng)典方法：龍格庫塔方法3.1近似的方法基本原理：泰勒級數(shù)展開數(shù)值積分法：通過數(shù)值293.1近似的方法龍哥庫塔方法Matlab函數(shù)：ode45[t,y]=ode45(‘orbit’,tspan,y0,options)functiondy=orbit(t,y,flag,mu)%函數(shù)說明輸入輸出dy=zeros(6,1);r=sqrt(y(1)^2+y(3)^2+y(5)^2);dy(1)=y(2);dy(2)=-mu/r^3*y(1);dy(3)=y(4);dy(4)=-mu/r^3*y(3);dy(5)=y(6);dy(6)=-mu/r^3*y(5);end3.1近似的方法龍哥庫塔方法Matlab函數(shù)：ode45f303.1近似的方法functionrobit_computermu=3.986004418e+14;%地球引力常數(shù)tspan=[0:60:86400];options=odeset('AbsTol',1e-15,'RelTol',1e-12','NormControl','on');x0=[-5292392.072;-4862.201380;3111662.355;-4136.781314;3101114.660;-4147.028008];[T,Y]=ode45('orbit',tspan,x0,options,mu);plot3(Y(:,1),Y(:,3),Y(:,5))3.1近似的方法functionrobit_comput31第一章二體問題ppt課件323.1近似的方法近似級數(shù)展開方法《Anintroductiontothemathematicsandmethodsofastrodynamics》p110-p114有二體問題的近似級數(shù)展開詳細(xì)推導(dǎo)和高效迭代算法，請大家自學(xué)并完成問題3-5。3.1近似的方法近似級數(shù)展開方法《Anintroduct333.2二體問題的解析解二體運(yùn)動方程角動量矢量常數(shù)3.2二體問題的解析解二體運(yùn)動方程角動量矢量常數(shù)343.2二體問題的解析解開普勒第二定理二體問題角動量是常數(shù)角動量在極坐標(biāo)下的表示面積化率3.2二體問題的解析解開普勒第二定理二體問題角動量是常數(shù)角353.2二體問題的解析解偏心率矢量常數(shù)拉格朗日矢量偏心率矢量3.2二體問題的解析解偏心率矢量常數(shù)拉格朗日矢量偏心率矢量363.2二體問題的解析解開普勒第一定理矢量運(yùn)算公式其中f是e與r兩個(gè)矢量的夾角，定義為真近點(diǎn)角3.2二體問題的解析解開普勒第一定理矢量運(yùn)算公式其中f是e373.2二體問題的解析解圓錐曲線方程，當(dāng)e在（0，1）之間時(shí)為橢圓，即開普勒第一定理f=0為近地點(diǎn)，f=180°為遠(yuǎn)地點(diǎn)3.2二體問題的解析解圓錐曲線方程，當(dāng)e在（0，1）之間時(shí)383.2二體問題的解析解開普勒第三定理橢圓的面積3.2二體問題的解析解開普勒第三定理橢圓的面積393.2二體問題的解析解行星（人造地球衛(wèi)星）掃過一圈的時(shí)間定義為行星的運(yùn)動周期T行星的運(yùn)動周期定義橢圓上的平均運(yùn)動n開普勒第三定理這個(gè)定理是正確的嗎？3.2二體問題的解析解行星（人造地球衛(wèi)星）掃過一圈的時(shí)間定403.2二體問題的解析解能力積分常數(shù)3.2二體問題的解析解能力積分常數(shù)413.2二體問題的解析解能量積分常數(shù)動能勢能動能+勢能=常數(shù)

在中心引力作用系統(tǒng)能力守恒此公式又成為活力公式（vis-vivaequations）,是航天動力學(xué)里面非常重要的一個(gè)恒等式。3.2二體問題的解析解能量積分常數(shù)動能勢能動能+勢能=常數(shù)423.2二體問題的解析解活力公式的應(yīng)用，航天器速度的計(jì)算討論1：如何根據(jù)活力公式計(jì)算地球的第一宇宙速度和第二宇宙速度？討論2：如何將一個(gè)低軌道飛行器轉(zhuǎn)移到地球靜止軌道？3.2二