2023年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在，，，四個(gè)數(shù)中，負(fù)數(shù)是()

A.B.C.D.

2.計(jì)算的結(jié)果是()

A.B.C.D.

3.如圖，是由個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖是()

A.

B.

C.

D.

4.如圖，，于點(diǎn)，，則的度數(shù)為()

A.B.C.D.

5.若，則的值是()

A.B.C.D.

6.下列運(yùn)算正確的是()

A.B.C.D.

7.不等式組的解集是()

A.B.C.D.

8.如圖，某小區(qū)要綠化一扇形空地，準(zhǔn)備在小扇形內(nèi)種花，在其余區(qū)域內(nèi)陰影部分種草，測得，，，則種草區(qū)域的面積為()

A.B.C.D.

9.某位運(yùn)動員在一次射擊訓(xùn)練中，次射擊的成績?nèi)鐖D，則這次成績的平均數(shù)和中位數(shù)分別是()

A.，B.，C.，D.，

10.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向上平移個(gè)單位長度，所得直線的函數(shù)表達(dá)式為()

A.B.C.D.

11.如圖，在中，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，的延長線交的延長線于點(diǎn)，，，則的長為()

A.

B.

C.

D.

12.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，對稱軸是直線，下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號為()

；

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

；

對于任意實(shí)數(shù)，都有．

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

13.在一個(gè)不透明的口袋中，裝有個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，它們除顏色外都相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率為，則口袋中黃球有______個(gè)

14.若，，則的值為______．

15.已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則該方程的另一個(gè)根為______．

16.如圖，在中，，，為邊上一動點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的最小值為______．

17.如圖，四邊形中，，，，交于點(diǎn)，，，則的長為______．

三、解答題（本大題共7小題，共69.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.本小題分

計(jì)算：

先化簡，再求值：，其中．

19.本小題分

某校為了調(diào)查本校學(xué)生對航空航天知識的知曉情況，開展了航空航天知識競賽，從參賽學(xué)生中，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

成績分頻數(shù)人頻率

請根據(jù)圖表信息解答下列問題：

求，，的值；

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

某班有名男生和名女生的成績都為分，若從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生參加演講，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的名學(xué)生恰好為男女的概率．

20.本小題分

如圖，已知，是對角線上兩點(diǎn)，．

求證：≌；

若交的延長線于點(diǎn)，，，，求的面積．

21.本小題分

李叔叔批發(fā)甲、乙兩種蔬菜到菜市場去賣，已知甲、乙兩種蔬菜的批發(fā)價(jià)和零售價(jià)如下表所示：

品名甲蔬菜乙蔬菜

批發(fā)價(jià)元

零售價(jià)元

若他批發(fā)甲、乙兩種蔬菜共花元，求批發(fā)甲、乙兩種蔬菜各多少千克？列方程或方程組求解

若他批發(fā)甲、乙兩種蔬菜共花元，設(shè)批發(fā)甲種蔬菜，求與的函數(shù)關(guān)系式；

在的條件下，全部賣完蔬菜后要保證利潤不低于元，至少批發(fā)甲種蔬菜多少千克？

22.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．

求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，且橫坐標(biāo)大于，，求直線的函數(shù)表達(dá)式．

23.本小題分

如圖，在中，，以為直徑的與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．

求證：是的切線；

若，，求的長；

在的條件下，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，求的最大值．

24.本小題分

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過點(diǎn)，對稱軸是直線．

求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

若點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長；

已知點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在，，，四個(gè)數(shù)中，，是正數(shù)，是負(fù)數(shù)，既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．

故選：．

根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可判斷．

本題考查了實(shí)數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確區(qū)分正數(shù)與負(fù)數(shù)．

2.【答案】

【解析】解：

．

故選：．

零指數(shù)冪：，由此即可計(jì)算．

本題考查零指數(shù)冪，關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪：．

3.【答案】

【解析】解：從正面看，底層是兩個(gè)正方形，上層的左邊是一個(gè)正方形．

故選：．

根據(jù)主視圖的概念找出找到從正面看所得到的圖形即可．

本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．

4.【答案】

【解析】解：，

，

于點(diǎn)，

，

，

，

故選：．

先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的大小，再根據(jù)余角的性質(zhì)即可求出．

本題考查平行線的性質(zhì)和余角的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：．

故選：．

將化簡，代入求值計(jì)算即可．

本題考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入思想．

6.【答案】

【解析】解：、與不是同類項(xiàng)，沒法合并，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、，故選項(xiàng)B不符合題意；

C、，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、，故選項(xiàng)D符合題意．

故選：．

分別根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法法則即可得出答案．

此題考查了合并同類項(xiàng)法則，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：由題意，，

由得，；由得，．

原不等式組的解集為：．

故選：．

依據(jù)題意，分別解出組成不等式組的兩個(gè)不等式的解集，進(jìn)而可以得解．

本題主要考查一元一次不等式組的解集，解題時(shí)需要熟練掌握并能準(zhǔn)確計(jì)算．

8.【答案】

【解析】解：

故選：．

大扇形面積減去小扇形面積得陰影部分的面積．

本題考查了扇形面積公式，比較簡單．

9.【答案】

【解析】解：平均數(shù)：，

將個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為：，，，，，，，，，共十個(gè)數(shù)，第五個(gè)與第六個(gè)數(shù)分別為，，所以中位數(shù)是，

故答案選：．

根據(jù)折線圖將成績從小到大排列，然后求中位數(shù)與平均數(shù)即可．

本題考查了中位數(shù)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平均數(shù)中位數(shù)的定義求與求解方法．

10.【答案】

【解析】解：在函數(shù)的圖象上取點(diǎn)，

繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，

設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線的解析式為，

再向上平移個(gè)單位長度，得到．

故選：．

找出上一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出旋轉(zhuǎn)后一次函數(shù)解析式，再根據(jù)上加下減的平移規(guī)則即可求得直線的函數(shù)表達(dá)式為．

此題考查了一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練平移的規(guī)則是解本題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，，，

，

∽，

，

，，

，

即，

，

，

∽，

，

，，

，

，

，

故選：．

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，于是推出∽，∽，先求出與的比值，繼而得出與的比值，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出的長．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：拋物線開口向下，

，錯(cuò)誤，

、關(guān)于對稱軸對稱，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，正確，

二次函數(shù)的對稱軸為直線，

，

，

把代入，得：

，

，整理得：

，正確，

二次函數(shù)的對稱軸為直線，

當(dāng)時(shí)，拋物線取得最大值為，

當(dāng)時(shí)，，

，

即，正確．

所有正確結(jié)論的序號為．

故選：．

通過拋物線開口方向，對稱軸，拋物線與軸交點(diǎn)可判斷、、，通過時(shí)拋物線取得最大值判斷，進(jìn)而求解．

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)．

13.【答案】

【解析】解：設(shè)有黃球個(gè)，

根據(jù)題意得：，

解得：，

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．

故答案為：．

根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：全部情況的總數(shù)；符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．

此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．

14.【答案】

【解析】解：，，

．

故答案為：．

根據(jù)平方差公式得，再將已知代入即可．

本題考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．

15.【答案】

【解析】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，

根據(jù)題意得：，

解得：．

故答案為：．

設(shè)方程的另一個(gè)根為，根據(jù)兩根之積等于，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：如圖，連接，

，，，

，，

，

四邊形是矩形，

，

由垂線段最短可得，當(dāng)時(shí)，線段的值最小，

此時(shí)，，

，

的最小值為，

故答案為：．

連接，由勾股定理求出的長，再證四邊形是矩形，得，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長，即可得出結(jié)論．

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

17.【答案】

【解析】解：如圖：連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

又，，

是等邊三角形，

，

，，

，，

，

又，

．

，

過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

，

，

，

，

．

在中，．

故答案為：．

連接、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，先證明是等邊三角形，垂直平分，求得，，再解三角形求出，最后運(yùn)用勾股定理求得即可．

本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂直平分線、勾股定理、解直角三角形等知識點(diǎn)，正確作出輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．

18.【答案】解：原式

；

原式

，

當(dāng)時(shí)，原式．

【解析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)的運(yùn)算和絕對值的意義化簡，然后計(jì)算加減即可；

首先計(jì)算小括號里面的分式的加法，然后再計(jì)算括號外分式的除法，化簡后，再代入的值可得答案．

此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，以及分式的混合運(yùn)算，涉及的知識有：零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪公式，二次根式的化簡，通分，以及約分，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式．

19.【答案】解：調(diào)查人數(shù)為：人，，，，

答：，，；

由各組頻數(shù)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

用樹狀圖法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中男女的有種，

所以抽取的名學(xué)生恰好為男女的概率是．

【解析】成績在的有人，占調(diào)查人數(shù)的，由頻率可求出調(diào)查人數(shù)，進(jìn)而求出、、的值；

根據(jù)頻數(shù)分布表中的頻數(shù)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

從男女三人中隨機(jī)選取人，用樹狀圖法列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．

本題考查頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖以及列表法或樹狀圖法，掌握頻率以及列舉所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提．

20.【答案】證明：四邊形為平行四邊形，

，，

，

在和中，

，

≌；

解：，

，

于，

，

，

，

，

解得，

，

在中，，

，

，

．

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)利用可證明結(jié)論；

利用更改的先求解，的長，再解直角三角形求解的長，即可求得的長，再利用平行四邊形的面積公式計(jì)算可求解．

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識的綜合運(yùn)用，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

21.【答案】解：設(shè)批發(fā)甲種蔬菜千克，批發(fā)乙種蔬菜千克，根據(jù)題意得，

，解得，

答：批發(fā)甲種蔬菜千克，批發(fā)乙種蔬菜千克；

根據(jù)題意得，

整理得；

設(shè)全部賣完蔬菜后利潤為元，根據(jù)題意得，

，

整理得，

要保證利潤不低于元，

，

解得，

至少批發(fā)甲種蔬菜千克．

【解析】設(shè)批發(fā)甲種蔬菜千克，批發(fā)乙種蔬菜千克，根據(jù)題意列方程組求解即可；

根據(jù)題意批發(fā)甲種蔬菜，則批發(fā)乙種蔬菜千克，再列出關(guān)系式即可；

設(shè)全部賣完蔬菜后利潤為元，根據(jù)題意列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得到不等式，求解即可．

本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程和不等式求解，并且要熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．

22.【答案】解：四邊形是邊長為的正方形，

，

反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

，

反比例函數(shù)的表達(dá)式為；

作軸于，

軸，

，

設(shè)，則，，

，

，

，

整理得，

解得或舍去，

，

設(shè)直線的解析式為，

把、的坐標(biāo)代入得，

解得，

直線的函數(shù)表達(dá)式為．

【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，然后利用待定系數(shù)法即可求解；

作軸于，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得出，設(shè)，則，，然后根據(jù)，求得的值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式．

本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，求得點(diǎn)、的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】證明：連接，如圖所示，

為的直徑，

，

，

點(diǎn)為的中點(diǎn)，

，

，

．

．

，

，

，

是的半徑，

與相切；

解：由知，，

是的中點(diǎn)，

．

，

，

，

又在中，，即，

負(fù)值已舍去，

：

解：設(shè)中邊上的高為，

由可知，

又是直徑，

，

，

，

當(dāng)取最大值時(shí)，也取最大值，

又，

當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值，

此時(shí)邊高為取最大值為，

．

，

，

．

綜上所述：的最大值為．

【解析】連接，由圓周角定理得到，由直角三角形斜邊中線