第三章-等價(jià)線性化法、諧波平衡法、課件

第三章等價(jià)線性化法、諧波平衡法、

里茲迦遼金法與迭代法

3.1等價(jià)線性化法

3.1.1自治系統(tǒng)3.1.2非自治系統(tǒng)

3.2諧波平衡法

3.3迦遼金法與里茲法

3.3.1里茲法3.3.2迦遼金法

3.4迭代法

3.4.1杜芬迭代法3.4.2拉舍迭代法第三章等價(jià)線性化法、諧波平衡法、

1

3.1等價(jià)線性化法

3.1.1自治系統(tǒng)已知某非線性振動(dòng)方程，其阻尼力與彈性力具有非線性特征，其振動(dòng)方程可表示為以下形式：

(3-1)式中

非線性慣性力與非線性阻尼力的綜合表達(dá)式；非線性阻尼力與非線性彈性力的綜合表達(dá)式。

3.1等價(jià)線性化法2

用等價(jià)線性化方法求非線性振動(dòng)方程的解，首先應(yīng)建立一個(gè)與非線性振動(dòng)方程相對(duì)應(yīng)的等價(jià)線性化振動(dòng)方程，即

(3-2)式中

等價(jià)質(zhì)量；等價(jià)阻力系數(shù)；等價(jià)彈簧剛度。第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件3

設(shè)等價(jià)線性振動(dòng)方程(3-2)有以下形式的解：

(3-3)

對(duì)于小阻尼情況,式中的振幅a

和等效阻尼比與等效固有頻率可表示為

(3-4)第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件4

將式(3-3)代入式(3-1)和式(3-2)中,并將非線性函數(shù)展為富氐級(jí)數(shù),便可求出等價(jià)質(zhì)量、等價(jià)阻力系數(shù)與等價(jià)彈簧剛度的值。首先將非線性函數(shù)展為富氏級(jí)數(shù)，即:(3-5)第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件5

對(duì)于一般非線性振動(dòng)系統(tǒng)，按富氏級(jí)數(shù)展開的一次諧波力遠(yuǎn)大于二次及其他高次諧波力，因此可以將后者看作是小量，近似計(jì)算時(shí)可略去。這時(shí)可取近似值為

(3-6)

按照富氏級(jí)數(shù)的公式，系數(shù)、c1、d1和、、可按下式計(jì)算：

(3.7)第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件6

將式(3-6)和式(3-7)代入式(3-1)中，可得：

(3-8)

當(dāng)考慮(3-3)式的近似值時(shí)，有

7對(duì)應(yīng)于式(3-2)的等價(jià)質(zhì)量、等價(jià)阻力系數(shù)與等價(jià)剛度分別為：

(3-9)

將式(3-9)的值代入式(3-4)中,便可求出等價(jià)衰減系數(shù)與等價(jià)固有頻率：

(3-10)對(duì)應(yīng)于式(3-2)的等價(jià)質(zhì)量、等價(jià)阻力系83.1.2

非自治系統(tǒng)假如已知某非線性振動(dòng)方程，其阻尼力與彈性力具有非線性特征，其振動(dòng)方程可表示為以下形式：

(3-11)式中

非線性慣性力與非線性阻尼力的綜合表達(dá)式；非線性阻尼力與非線性彈性力的綜合表達(dá)式。非線性振動(dòng)方程(3-11)相對(duì)應(yīng)的等價(jià)線性化振動(dòng)方程為

(3-12)式中等價(jià)質(zhì)量；等價(jià)阻力系數(shù)；等價(jià)彈簧剛度;不變的作用力。3.1.2非自治系統(tǒng)9

只要求出等價(jià)質(zhì)量、等價(jià)阻力系數(shù)和等價(jià)彈簧剛度,非線性振動(dòng)方程就可以近似地按照線性振動(dòng)方程進(jìn)行求解。由于阻尼的存在,自由振動(dòng)在經(jīng)過一定時(shí)間后將會(huì)消失,所以可設(shè)等價(jià)線性振動(dòng)方程(3-12)有以下形式的強(qiáng)迫振動(dòng)解：

(3-13)

因此，等價(jià)線性化振幅A、相位差角分別可由下式求出：

(3-14)只要求出等價(jià)質(zhì)量、等價(jià)阻力系數(shù)和10

等價(jià)質(zhì)量、等價(jià)阻力系數(shù)與等價(jià)彈簧剛度的值，可以通過將非線性慣性力、非線性阻尼力與非性彈性力是按富氏級(jí)數(shù)展開的方法得出：

(3-15)對(duì)于一般非線性振動(dòng)系統(tǒng)，按富氏級(jí)數(shù)展開的一次諧波力遠(yuǎn)大于二次和其他高次諧波力及常數(shù)項(xiàng)，因此可以將后者看作是小量，近似計(jì)算時(shí)略去。這時(shí)可取近似值為

(3-16)

第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件11

按照富氏級(jí)數(shù)的公式，系數(shù)、c1、d1和、、可按下式計(jì)算：

(3-17)第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件12

將式(3-16)和式(3-17)代入式(3-11)中，可得：

(3-18)

13或

(3-19)第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件14

等價(jià)質(zhì)量、等價(jià)阻力系數(shù)與等價(jià)剛度、等價(jià)衰減系數(shù)與等價(jià)固有頻率分別為：

(3-20)

第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件15

（3-21）將式(3-20)的值代入式(3-14)中便可求出等價(jià)線性化振幅A及相位差。第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件16

例3.1.1

用等價(jià)線性化方法求下列非線性振動(dòng)方程的等價(jià)阻力系數(shù)與等價(jià)彈簧剛度。

式中與位移成三次及五次方的恢復(fù)力系數(shù)。

解:

設(shè)方程的強(qiáng)迫振動(dòng)解為

17

按照式(3-20),求等價(jià)阻力系數(shù)：非線性彈性力對(duì)等價(jià)阻力系數(shù)的值沒有影響。按照式(3-20)第二式可求出彈簧剛度：

18

例3.1.2

已知非線性方程

式中非線性彈性力

求等價(jià)剛度、等價(jià)固有頻率及受迫振動(dòng)的振幅。。第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件19

解:在一次近似的情況下，方程的近似解為：

非線性彈性力在一次近似情況下可改寫為以下形式：

式中間隙e所對(duì)應(yīng)的相位角;

該系統(tǒng)的等價(jià)彈簧剛度為：

解:在一次近似的情況下，方程的近似解為：20將x的值代入，并進(jìn)行分段積分，可求得：

因?yàn)?/p>

可將和展為冪級(jí)數(shù),于是有等價(jià)固有頻率：

等價(jià)線性化振幅為：將x的值代入，并進(jìn)行分段積分，可求得：21

諧波平衡法是將非線性方程的解假設(shè)為各次諧波疊加的形式，然后將方程的解代入非線性方程中，消去方程中的正弦與余弦項(xiàng)，即可得到能求出含有未知系數(shù)的相應(yīng)多個(gè)代數(shù)方程式，進(jìn)而可求得方程的解。設(shè)有非線性方程

(3-22)

若是

t的周期為

T

的函數(shù)，并且方程存在著周期等于

T或T

的整數(shù)倍的周期解的情形，方程右邊在的有限區(qū)域內(nèi)分別滿足萊伯尼茲條件，方程的解是唯一的，而且是分段可微的，因此有可能展成為富氏級(jí)數(shù)，所以可設(shè)方程的解為：

3.2諧波平衡法

22

(3-23)

將它代入等式的兩邊，等式兩邊的常數(shù)項(xiàng)及cos

、sin

的系數(shù)必須分別相等，如果只取到n

次諧波，則可得2n+1個(gè)方程，由此可求出包含有n次諧波的近似解。這一方法稱為諧波平衡法。

23

例3.2.1

用諧波平衡法求以下有阻尼Duffing方程的次諧波解（亞諧振動(dòng)）

解:

設(shè)

將自變量變換成τ，因變量變換成ζ，便可寫成

第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件24

如果設(shè)

則上述方程為

假設(shè)它的次諧波振動(dòng)解：

第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件25

將上式代入前式，進(jìn)行諧波平衡，可得

將上式代入前式，進(jìn)行諧波平衡，可得26則有

考慮，解出第一式，得則有27由第二式得

式中,軟特性為-1,硬特性為+1。用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代求解，可得次諧波振動(dòng)的幅值、與γ、ν的關(guān)系及基波幅值、與γ、ν的關(guān)系。由第二式得28

3.3迦遼金法與里茲法

3.3.1迦遼金法采用微分算子,可以將非線性方程寫成

(3-24)式中的一般是算子D、因變量

x

和自變量t的某種非線性函數(shù)。對(duì)于精確解x(t),函數(shù),而對(duì)于近似解X(t),

函數(shù),或多或少會(huì)產(chǎn)生余項(xiàng)，或稱誤差ε(t)，即有

(3-25)

3.3迦遼金法與里茲法29

對(duì)微分方程的近似解可以采取與上述同樣的做法，這種方法便是迦遼金法。在這種情況下，如果設(shè)我們所考察的自變量區(qū)域?yàn)閍≤t≤b，那么式(3-27)的誤差為ε(t),

而“誤差的平方和”可以用以下積分式來表示

(3-26)假設(shè)近似解X(t)可以用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的線性組合來表示，即用

(3-27)第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件30作為方程(3-24)的最合適的近似解，其中的常數(shù)ci可以從式(3-26)的積分取最小值的條件加以確定，即從下述聯(lián)立方程式

(3-28)來解出。函數(shù)可以從物理和其他方面的考慮來選取，使它成為比較逼近的近似解，并且使它滿足初始條件。這樣，對(duì)于來說初始值都等于零。作為方程(3-24)的最合適的近似解，其中的常數(shù)ci31

例3.3.1

用迦遼金法求以下Duffing方程的解

解:

當(dāng)b甚小時(shí),它的周期解近似于諧振動(dòng),所以取圓頻率為ω,振幅為A,即取

作為近似解。這相當(dāng)于取。這時(shí)誤差ε為

第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件32

區(qū)間(a,b)

可以取為一個(gè)周期(0,),

因而最適宜的條件可寫成

即有

第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件33由此得

或

這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，解之得

其中，即k=0.89或k=2.11。

A=0給出方程的顯然解，這相當(dāng)于k=+∞,

這時(shí)J=0。而系數(shù)0.89與2.11究竟那一個(gè)給出J的極小值，可以通過下面的分析弄清楚。因?yàn)閷?duì)于光滑曲線來說，極大值與極小值往往是交替發(fā)生的，考慮到這一點(diǎn)，由于k=+∞時(shí)，有J=0,

它給出最小值，所以k=2.11對(duì)應(yīng)于J取極大值，而k=0.89對(duì)應(yīng)于J取極小值。k的精確解為0.75，按這種方法求解有一定誤差。由此得343.3.2里茲法前一種方法是用誤差平方的積分來評(píng)價(jià)近似解的近似程度。除了上述積分之外，還有其它多種形式的積分，其中之一即拉格朗日函數(shù)的積分，或稱為哈密頓作用量：

(3-29)式中T系統(tǒng)的動(dòng)能；

U系統(tǒng)的勢(shì)能。第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件35

對(duì)于方程的周期解來說，哈密頓的作用量J的變分可取為0，即

(3-30)式中

T周期；

Xi、Yi、、Zi

三個(gè)座標(biāo)方向上的有勢(shì)力；

mi質(zhì)體i的質(zhì)量；、、質(zhì)體i在三個(gè)座標(biāo)方向上的加速度。采用以上方法，可以求出方程的解。對(duì)于方程的周期解來說，哈密頓的作用量J的變分36

下面來看前面列舉的非線性方程f(D,x,t)=0。假設(shè)該方程是二階方程，那么它就可以看作是一個(gè)力，即相當(dāng)于式(3-30)中的,因而方程f(D,x,t)=0應(yīng)滿足式(3-34)的條件，即

(3-31)

使式(3-29)中的J

取最小值的近似解為X(t)，也可以把它看作是近似度最好的近似解。所以式(3-25)的解可由下式求得

(3-32)

可設(shè)方程的解

(3-33)下面來看前面列舉的非線性方程f(D,x,t)=0。37因而有

(3-34)按照哈密頓原理：

(3-35)即

(3-36)待定系數(shù)ci便可由上式確定。因而有38

對(duì)于無阻尼非線性系統(tǒng)，可設(shè)方程的近似解為或(3-37)

對(duì)于有阻尼的非線性系統(tǒng)，可設(shè)方程的近似解為

(3-38)或

(3-39)

第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件39

由(3-38)有

(3-40)

將(3-44)代入(3-32)式，待定系數(shù)

ci

與可由下式求出

(3-41)

將近似解代入上式中，完成積分計(jì)算，便可得到一個(gè)代數(shù)方程或代數(shù)方程組。因此用迦遼金里茲方法時(shí)，其問題歸結(jié)于代數(shù)方程組的求解。但有時(shí)得到的代數(shù)方程是超越方程或超越方程組，計(jì)算往往是相當(dāng)復(fù)雜的。

由(3-38)有40例3.3.2

某非線性方程

試用本節(jié)的方法求方程的解。解:

由上式得

設(shè)一次近似解為：

例3.3.2某非線性方程41

代入式(3-35)中，得

將非線性函數(shù)f(X)的近似值代入上式，進(jìn)行分段積分，并化簡(jiǎn)得：

整理后可得

42

因?yàn)榭蓪⒑驼篂閮缂?jí)數(shù)，于是有：

為了求得A值，可采用圖解法或數(shù)值方法。由上面解式可見，等號(hào)左邊和右邊分別為

因?yàn)榭蓪?3

上式若以為自變量，用坐標(biāo)橫軸來表示；而和為縱坐標(biāo)，則第一方程為兩條曲線和，第二方程為直線。這二組線的交點(diǎn)即為方程的解。用數(shù)值方法計(jì)算時(shí)，將具體數(shù)值代入上式，利用兩式相等的條件，即可求出,當(dāng)e值確定后，便可求出A值。第三章--等價(jià)線性化法、諧波平衡法、ppt課件44

3.4.1杜芬迭代法杜芬方程的近似解可用杜芬迭代法求出。設(shè)杜芬方程有以下形式：

(3-42)

假設(shè)b很小，F(xiàn)也很小，而且接近于a,這時(shí)方程可寫成：

(3-43)

在上述假設(shè)下，方程右端為小量，因此可以先將它略去，方程成為：

(3-44)3.4迭代法

3.4迭代法45其解為

(3-45)并作為零次近似解。將它代入式(3-47)右端，有

(3-46)

根據(jù)上式來確定一次近似解時(shí)，為保證x1是周期的，即方程的解中不出現(xiàn)長期項(xiàng)(或稱永年項(xiàng)，久期項(xiàng))：與,上式右端cos

的系數(shù)應(yīng)等于零，因而有

(3-47)

由式(3-39)可解出一次近似解：

(3-48)其解為46

式中的ν可由(3-47)確定。在這一方程中，我們有意不給定ν，而把它看作是基波振幅A的函數(shù)。將一次近似解代入式(3-43)的右端，再按方程(3-47)確定二次近似解x2(t)。假設(shè)代入后右端可寫成以下形式

(3-49)則為了使x2(t)是周期等于的周期函數(shù)，須有P1(A)=0，即

(3-50)而二次近似解為：

(3-51)以下各次近似解可依次類推。式中的ν可由(3-47)確定。在這一方程中，47

式(3-47)可看作以激振力幅F為參數(shù)的共振曲線或響應(yīng)曲線的一次近似關(guān)系式，即

(3-52)

如果b=0,

它就退化為線性強(qiáng)迫振動(dòng)共振曲線的關(guān)系式。按照式(3-52)作圖，利用平面(A,)，它可以由拋物線和雙曲線橫座標(biāo)迭加得出(圖3-2)。由圖可見，作為A的函數(shù)是單值的，相反A作為的函數(shù)在某些區(qū)域是三值的。對(duì)于具有線性阻尼的杜芬方程，可以用類似的迭代法進(jìn)行求解。式(3-47)可看作以激振力幅F為參數(shù)的共振483.4.2拉舍迭代法這種方法僅要求激振力幅為小量，非線性函數(shù)f(x)則可以是任意的。因而對(duì)于方程：

(3-53)可設(shè)

(3-54)

將變量t置換成變量θ，式(3-46)可改寫成

(3-55)