高量2-算符的本征值問(wèn)題課件

§2.2算符的代數(shù)運(yùn)算在量子力學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)不可對(duì)易線性算符的代數(shù)運(yùn)算。在這一節(jié)里舉幾個(gè)比較復(fù)雜的算例，并用代數(shù)方法證明兩個(gè)常用的算符等式。多重對(duì)易式設(shè)A,B為兩個(gè)線性算符,互不對(duì)易.定義多重對(duì)易式1§2.2算符的代數(shù)運(yùn)算在量子力學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)不可對(duì)易顯然，對(duì)于型的多重對(duì)易式，有利用上式及其對(duì)易關(guān)系，容易得出對(duì)于型的多重對(duì)易式亦有類似的公式。例1證明：[證]利用數(shù)學(xué)歸納法1)當(dāng)n=1時(shí)，上式變?yōu)檫@是顯然的。2顯然，對(duì)于型的多重對(duì)易式，有利用上2)若原式成立，即左邊用A作用，利用式有看上式右端第二項(xiàng)，我們希望這兩項(xiàng)能合并32)若原式成立，即左邊用A作用，利用式有看上式右端第二項(xiàng)，為此，令，則與第一項(xiàng)進(jìn)行比較進(jìn)行傀標(biāo)代換，第二項(xiàng)變?yōu)橥瑯拥谝豁?xiàng)也相應(yīng)變?yōu)?為此，令，則與第一項(xiàng)進(jìn)行比較進(jìn)行傀這樣原式就變?yōu)榭紤]兩項(xiàng)求和符號(hào)后第一個(gè)分式的特點(diǎn)，可以將兩個(gè)求和上下限寫(xiě)成一致，即5這樣原式就變?yōu)榭紤]兩項(xiàng)求和符號(hào)后第一個(gè)分式的特點(diǎn)，可以5從而有所以，若原式對(duì)n時(shí)成立，則n+1時(shí)也成立。3)已知n=1時(shí)成立，所以原式對(duì)任意整數(shù)n都成立。下面利用這個(gè)結(jié)論來(lái)證明一個(gè)常用的公式：[證]利用算符指數(shù)函數(shù)的定義，有所以6從而有所以，若原式對(duì)n時(shí)成立，則n+1時(shí)也成立。3)已知n利用上例結(jié)論，當(dāng)時(shí)則﹟7利用上例結(jié)論，當(dāng)時(shí)則﹟7下面我們把條件放寬一些：由此證明幾個(gè)關(guān)系.雖然，但下面規(guī)定一種符號(hào)，其意義是，不管A,B是否對(duì)易，中A一律寫(xiě)在B前面所得的式子，如8下面我們把條件放寬一些：由此證明幾個(gè)關(guān)系.雖然顯然它符合普通代數(shù)中的二項(xiàng)式定理我們知道，根據(jù)定義當(dāng)時(shí)，（利用定義式可以證明）現(xiàn)在規(guī)定可以證明（不再證）9顯然它符合普通代數(shù)中的二項(xiàng)式定理我們知道，根據(jù)定義當(dāng)（1）令,則有（2）另外，與有如下關(guān)系例5證明Glauber公式[證]在一些公式證明過(guò)程中很有用。10（1）令,則有（2）證畢。﹟11證畢。﹟11定義：上面在右矢空間中定義了算符A由于在右矢空間中每一個(gè)算符A都對(duì)應(yīng)著左矢空間中的某一個(gè)算符，這個(gè)左矢空間中與A對(duì)應(yīng)的算符,我們稱作,稱為算符A的伴算符§2.3作用于左矢的算符一、伴算符的定義域和值域是的定義域和值域的左矢空間的對(duì)應(yīng)區(qū)域。12定義：上面在右矢空間中定義了算符A由于在右矢空間中每一伴算符是相互的，下面予以證明。3.伴算符的性質(zhì)2.運(yùn)算規(guī)則一般表示，但可定義這樣就是右矢空間中一個(gè)確定的算符了,可省去括號(hào)。13伴算符是相互的，下面予以證明。3.伴算符的性質(zhì)2.運(yùn)算規(guī)[證]?。?）把上式看作左矢與右矢的內(nèi)積，則（2）把上式看作左矢與右矢的內(nèi)積，則比較（1）（2）有因?yàn)槭歉髯栽谝欢ǚ秶鷥?nèi)的任意矢量所以故伴算符的伴算符就是原算符本身。14[證]?。?）把上式看作左矢與右矢左矢和右矢是兩個(gè)互為對(duì)偶的空間:算符向右可以作用于右矢,向左可以作用于左矢.這種能左能右的性質(zhì)是對(duì)偶空間優(yōu)于單一空間的主要之點(diǎn).當(dāng)然也可定義二、一條定理[證]（1）必要性：是明顯的定理：在復(fù)矢量空間中，若算符A對(duì)其定義域中的任意滿足，則必有（2）充分性：在A的定義域中取兩任意矢量,則15左矢和右矢是兩個(gè)互為對(duì)偶的空間:算符向右可以作用于右矢,向左由此得若對(duì)任意滿足，則上式右方為0所以有既然上式對(duì)任意成立，可將上式中的換為相應(yīng)左矢為，則有16由此得若對(duì)任意滿足從而有由于是任意左矢，故有但是任意右矢，所以有﹟前面我們學(xué)習(xí)了作用于左右矢的算符的性質(zhì)，即下面看單一空間的情況。17從而有由于是任意左矢，故有但是任意右矢，三、單一空間的情況對(duì)式右邊右矢與左矢的內(nèi)積單一空間說(shuō)法：右矢與右矢的內(nèi)積這正是伴算符的定義式，即在單一空間中常被稱為的厄米共軛算符。即若已知算符，有存在滿足上式，則即的伴算符。﹟18三、單一空間的情況對(duì)式右邊右矢與左矢1.定義：§2.4厄米算符和幺正算符一、厄米算符若算符H滿足則算符H就是厄米算符，又稱自伴算符。在單一空間中稱為自軛算符。2.定理：算符H為厄米算符的充要條件是對(duì)其定義域中所有的矢量滿足[證]（1）必要性：對(duì)任意有191.定義：§2.4厄米算符和幺正算符一、厄米算符若算符H滿（2）充分性：若對(duì)任意，，則即因?yàn)樯鲜綄?duì)任意都成立，由上一節(jié)所介紹的定理，必有﹟20（2）充分性：若對(duì)任意，二、等距算符1.定義：若算符U滿足,則為等距算符。2.性質(zhì)定理：以下三命題是等價(jià)的（1）（2）對(duì)任意和，U滿足（3）對(duì)任意都成立。[證]依次證明前一條是后一條的充分條件若，則21二、等距算符1.定義：若算符U滿足,則為等距令，則即三、幺正算符1.定義：若算符U滿足下列性質(zhì)即，則該算符為幺正算符。顯然它是等距算符。22令，則即三、幺正算符1.定義：若算符U滿足下列2.性質(zhì)定理除滿足等距算符的性質(zhì)外，另有兩個(gè)性質(zhì)定理。定理1在矢量空間中，若是一組基矢，則也是一組基矢。[證]只需證明正交歸一完備即可。∴正交歸一滿足。又取任意兩個(gè)矢量，因?yàn)椤嗤陚湫詽M足（Parseval等式）。232.性質(zhì)定理除滿足等距算符的性質(zhì)外，另有兩個(gè)性質(zhì)定理。定理定理2若和是同一空間的兩組基矢，則兩者必能由一個(gè)幺正算符聯(lián)系起來(lái)。即存在一個(gè)幺正算符U，使得[證]兩組基矢的數(shù)目必定是相同的。定義一個(gè)算符A，使任取二矢量，由于都是完全的，滿足Parseval等式。故24定理2若和是同一空間的兩組基同樣，利用可以得到(因?yàn)榭偪梢远x一個(gè)算符B，使得，這個(gè)B就是)得證。即所以聯(lián)系兩組基矢的算符A必然是幺正算符。25同樣，利用可以得到(因?yàn)榭偪梢远x一個(gè)四、幺正變換1.矢量的幺正變換把一個(gè)矢量空間的全部矢量都用一個(gè)幺正算符作用，對(duì)其中每一個(gè)矢量和，各得一個(gè)新矢量和。這一操作稱為矢量的幺正變換。性質(zhì)：由幺正算符的性質(zhì)可知，幺正變換不改變矢量的模、內(nèi)積及正交關(guān)系。因此一組基矢經(jīng)過(guò)幺正變換后仍是這個(gè)空間的一組基矢。從這一點(diǎn)上看，在物理上有時(shí)稱矢量的幺正變換為矢量（在多維空間）的轉(zhuǎn)動(dòng)。26四、幺正變換1.矢量的幺正變換把一個(gè)矢量空間的全部矢量都2.算符的幺正變換設(shè)有一個(gè)確定的算符A，它對(duì)空間中每一個(gè)矢量作用得到新矢量：現(xiàn)在用幺正算符U對(duì)空間中全部矢量幺正變換設(shè)聯(lián)系與的算符為，即，則為算符A的幺正變換。下面求與的關(guān)系。顯然272.算符的幺正變換設(shè)有一個(gè)確定的算符A，它對(duì)空間中每一個(gè)而∴對(duì)任意有故就是算符與矢量的幺正變換。上式與式由此可以看出：一個(gè)包含矢量和算符的關(guān)系式，經(jīng)過(guò)幺正變換后其形式不變。因?yàn)?8而∴對(duì)任意有故就是算符與矢量的幺正變換。上式與式由此§2.5投影算符一、定義將作用到右矢和左矢上：顯然得到的是新的右矢和左矢，故實(shí)際上是一個(gè)算符。但這類算符一般意義不大。有用的是由基右矢或基左矢構(gòu)成的算符，叫投影算符。在空間中取一組基矢，其投影算符是29§2.5投影算符一、定義將作用到右矢和左這是基右矢乘以矢量在上的分量。作用到右矢上得若沿用三維位形空間的術(shù)語(yǔ)，這就是右矢在上的投影。稱為投向子空間的投影算符?！鴮?duì)算符,定義將其作用到任意右矢上得30這是基右矢乘以矢量在上的分量。作作用結(jié)果是在三個(gè)基右矢所張的子空間中的一個(gè)矢量。這是右矢投向這個(gè)子空間的投影。故稱為三維投影算符。二、性質(zhì)1.投影算符是線性算符和厄米算符1）線性算符是顯然的2）厄米算符的證明（要求會(huì)證明）:對(duì)任意，設(shè)，有顯然是實(shí)數(shù)。利用算符厄米性充要條件,故是厄米算符。31作用結(jié)果是在三個(gè)2.投影算符的冪等性，即對(duì)和，顯然有﹟322.投影算符的冪等性，即對(duì)和，顯然有﹟32二、全投影算符若中的取和是對(duì)所有基矢的，則稱P為全投影算符。對(duì)任意矢量，有這是一個(gè)非常有用的關(guān)系，稱為基矢的完全性關(guān)系。根據(jù)完全性定理，上式中的取和正是本身，由此我們得出33二、全投影算符若中的取和是對(duì)所有基上式左方是一個(gè)向整個(gè)空間投影的投影算符，因而矢量投影后不會(huì)發(fā)生任何變化。上式的關(guān)鍵是基矢一個(gè)不能少，否則不能構(gòu)成完全性關(guān)系。此關(guān)系很有用，在一些關(guān)系的證明中經(jīng)常作為橋梁來(lái)使用。﹟34上式左方是一個(gè)向整個(gè)空間投影的投影算符，上式的關(guān)鍵是基矢一個(gè)§3本征矢量和本征值§3.1定義一、本征矢量和本征值對(duì)于算符A，若有非零矢量滿足下式式中a為常數(shù)。則稱為算符A的本征矢量，而a為相應(yīng)的本征值。上式稱為本征值方程。本征值一般是復(fù)數(shù)，但也可以為0.算符A雖然可以不加限制，但是量子力學(xué)中用到的主要是厄米算符的本征值問(wèn)題。35§3本征矢量和本征值§3.1定義一、本征矢量和本征值對(duì)于二、厄米算符本征值問(wèn)題的兩個(gè)重要性質(zhì)1.在復(fù)空間中，厄米算符的本征值都是實(shí)數(shù)[證]若A是厄米算符，用左乘式兩邊，有已經(jīng)知道是實(shí)數(shù)所以a必為實(shí)數(shù)。2.厄米算符屬于不同本征值的本征矢量相互正交[證]設(shè)但36二、厄米算符本征值問(wèn)題的兩個(gè)重要性質(zhì)1.在復(fù)空間中，厄米算符則又由此得即但所以即厄米算符屬于不同本征值的本征矢量相互正交。37則又由此得即但所以即厄米算符屬于不同本征值的本征矢量相互正交若是A的一個(gè)本征矢量，則也是屬于同一個(gè)本征值的本征矢量；若都是

A

的本征矢量且本征值相同，則它們的線性疊加也是A的屬于同一本征值的本征矢量。三、本征矢量問(wèn)題—簡(jiǎn)并性厄米算符A屬于本征值a的本征矢量有多少個(gè)？這實(shí)際上是一個(gè)簡(jiǎn)并度的問(wèn)題。1.問(wèn)題的提出38若是A的一個(gè)本征矢量，則也是屬于同一個(gè)所以算符A的屬于同一個(gè)本征值a的本征矢量全體構(gòu)成Hilbert空間中的一個(gè)子空間。這個(gè)子空間稱為算符A的屬于本征值a的本征子空間。2.簡(jiǎn)并本征子空間的維數(shù)s稱為所屬本征值的簡(jiǎn)并度。這個(gè)本征值或這組本征矢量稱為是s重簡(jiǎn)并的。當(dāng)簡(jiǎn)并度為1時(shí)，通常稱為無(wú)簡(jiǎn)并。為了指出s維本征子空間，只需給出其中一組s個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征矢量即可。39所以算符A的屬于同一個(gè)本征值a的本征矢量全2.則A,B有相同的本征值譜，且每一本征值都有相同的簡(jiǎn)并度。3.相關(guān)的定理定理：若A,B兩算符相似，即對(duì)于有逆算符R，有[證]設(shè)已知A的全部本征值和相應(yīng)的本征矢量，利用，用R從左作用上式兩邊，得即40則A,B有相同的本征值譜，且每一本征值都3.相關(guān)的定理定理：下面設(shè)A的一個(gè)本征值是s重簡(jiǎn)并的，屬于這個(gè)本征值的s個(gè)線性無(wú)關(guān)本征矢量記為。由于R有逆，也必為線性無(wú)關(guān)。所以算符B的屬于本征值的本征矢量至少為s個(gè)，即簡(jiǎn)并度不會(huì)比A小。另外利用用同樣的方法證明B的簡(jiǎn)并度也不會(huì)比A大。證畢。因?yàn)镽有逆，所以不為零所以所有也都是B的本征值。41下面設(shè)A的一個(gè)本征值是s重簡(jiǎn)并的，屬于這個(gè)本所用反證法：如果線性相關(guān)，則存在，從而有比如由此可以得到因?yàn)镽有逆，上式兩邊用作用后有這與線性無(wú)關(guān)相矛盾。命題得證。42用反證法：如果§3.2本征矢量的完全性一.問(wèn)題的提出在一個(gè)確定的Hilbert空間中，一個(gè)厄米算符A的本征矢量的情況有兩種：1）不簡(jiǎn)并的本征矢量是彼此正交的；2）s重簡(jiǎn)并的本征值所對(duì)應(yīng)的本征矢量構(gòu)成一個(gè)s維的本征子空間，并與那些本征值為其它值的本征矢量正交。如在上述s維子空間中選出s個(gè)互相正交的本征矢作為代表，那么其線性疊加都是算符A的對(duì)應(yīng)于同一本征值的本征矢量。43§3.2本征矢量的完全性一.問(wèn)題的提出在一個(gè)確定在進(jìn)行歸一化后,算符A的所有不簡(jiǎn)并和簡(jiǎn)并的本征矢量為代表就構(gòu)成了一個(gè)正交歸一矢量集。若取不簡(jiǎn)并的本征值的簡(jiǎn)并度為1,則這個(gè)正交歸一矢量集里矢量總數(shù)是所有本征值簡(jiǎn)并度之和。這個(gè)總數(shù)亦可能是無(wú)窮大。問(wèn)題：一個(gè)厄米算符A的本征矢量正交歸一集在所在空間中是否完全？二、完全性和封閉性一個(gè)確定的空間中，一組正交歸一矢量集的完全性的含義是：空間內(nèi)所有矢量都能表為這個(gè)矢量集的線性疊加。44在進(jìn)行歸一化后,算符A的所有不簡(jiǎn)并和簡(jiǎn)并的問(wèn)題：一組正交歸一矢量集的封閉性的含義是，這個(gè)空間中不存在其它與集內(nèi)所有矢量都正交的矢量（否則此矢量集應(yīng)再加一矢量）。二者的等價(jià)性是明顯的。對(duì)于一般的Hilbert空間，二者是等價(jià)的。對(duì)有限維空間予以證明：定理：在有限維空間中，厄米算符的全部本征矢量構(gòu)成正交完全集。[證]：設(shè)空間是n維的，厄米算符為A。我們只需證明在A的本征矢量中有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的即可。45一組正交歸一矢量集的封閉性的含義是，這個(gè)空間中不存在A的本征值方程為這組基矢共有n個(gè)。為求，在此空間中取一組已知的基矢將矢量按照這組基矢展開(kāi)其中。知道了一組就知道了一個(gè)。將的展開(kāi)式代入本征值方程，并用與方程兩邊作內(nèi)積，得46A的本征值方程為這組基矢共有n個(gè)。為求，在此上式是關(guān)于未知數(shù)線性齊次方程組，可以寫(xiě)成式中是復(fù)數(shù)，對(duì)于給定的A，它們是已知的，而是待求的。會(huì)展開(kāi)(j=1)(j=2)…式中a是待定的本征值。這一方程有非零解的條件是系數(shù)行列式為0：47上式是關(guān)于未知數(shù)線性齊次方程組，可以寫(xiě)成式中這是一關(guān)于a的n次方程，稱為久期方程，有n個(gè)根當(dāng)這些根互不相同時(shí)，對(duì)于每一個(gè)根，上述方程有一組非零解；所求得的那些根，就是厄米算符A的本征值。當(dāng)每個(gè)都不同時(shí)，可得線性方程組的n組解從而得到相應(yīng)的n個(gè)本征矢量。48這是一關(guān)于a的n次方程，稱為久期方程，有n個(gè)根當(dāng)這前面已經(jīng)證明過(guò)，當(dāng)本征值不同時(shí)，厄米算符的本征矢量互相正交。因此證明了A的這組本征矢量肯定可構(gòu)成此空間的一組正交完全集?？傊趎維空間中，不論厄米算符A的本征值有無(wú)簡(jiǎn)并，總有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征矢量存在，總可以構(gòu)成空間的一組正交完全集。當(dāng)系數(shù)行列式有等根時(shí)，如是一個(gè)三重根，那么對(duì)于這個(gè)a值，不僅系數(shù)行列式本身為0，它的n-1,n-2階的全部子行列式也都為0；對(duì)于這樣的a，齊次方程也有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的。于是對(duì)于這個(gè)三重簡(jiǎn)并的本征值，空間中有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征矢量存在，即有一個(gè)三維的本征子空間存在.49前面已經(jīng)證明過(guò)，當(dāng)本征值不同時(shí)，厄米算符的本征矢當(dāng)A的本征值沒(méi)有簡(jiǎn)并時(shí),這組是完全確定的。而當(dāng)有簡(jiǎn)并時(shí)，就有許多組這樣的正交歸一完全集存在，因?yàn)樵诒菊髯涌臻g中，選取n個(gè)互相正交的矢量作為代表(不要求歸一)，其選法是很多的。三、基矢的選擇可用它們作為這個(gè)空間的一組基矢。把一個(gè)厄米算符A的全部（彼此正交的）本征矢量編上一定的次序（通常是按照本征值由小到大的次序）,就可以構(gòu)成這個(gè)空間的一組正交歸一完全集，它們滿足完全性關(guān)系50當(dāng)A的本征值沒(méi)有簡(jiǎn)并時(shí),這組對(duì)于無(wú)窮維Hilbert空間，厄米算符具有離散本征值的情況，雖然沒(méi)有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)上的一一證明，在物理上總是認(rèn)為，厄米算符的全部線性無(wú)關(guān)的本征矢量可以構(gòu)成此空間的完全集。進(jìn)行正交化以后，完全性關(guān)系成立。寫(xiě)成通常的下標(biāo)形式，有﹟在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去確定一組基矢，甚至用厄米算符的本征矢量去“構(gòu)造”一個(gè)Hilbert空間，原因在此。51對(duì)于無(wú)窮維Hilbert空間，厄米算符具有離散本征值對(duì)于一個(gè)Hilbert空間，每一個(gè)厄米算符的全部線性無(wú)關(guān)的本征矢量都可以用來(lái)構(gòu)成空間的基矢,即正交歸一完全集（條件是厄米算符的定義域和值域都應(yīng)是全空間）?！?.3厄米算符完備組一、基矢的選擇問(wèn)題但是當(dāng)此厄米算符的本征值有簡(jiǎn)并時(shí)，對(duì)應(yīng)于這一本征值的線性無(wú)關(guān)的本征矢量的數(shù)目與簡(jiǎn)并度相同，這時(shí)由本征矢量所確定的基矢不是唯一的。在簡(jiǎn)并的本征子空間中有多種選擇。下面的任務(wù)就是設(shè)法消除這一不確定性。52對(duì)于一個(gè)Hilbert空間，每一個(gè)厄米算符的全部線性無(wú)關(guān)1.定理：二、本征矢量完全性定理當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)粒子的厄米算符互相對(duì)易時(shí)，它們有一組共同的本征矢量完全集。[證]設(shè)兩個(gè)算符是A和B.(1)必要性：完全集→對(duì)易設(shè)A和B有一組共同的本征矢量完全集，這時(shí)有則同樣所以對(duì)所有都成立。因?yàn)槭峭耆?，所以?31.定理：二、本征矢量完全性定理當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)粒子的厄米算(2)充分性：對(duì)易→完全集設(shè)AB-BA=0，且是A的一套正交歸一化的本征矢量完全集。我們將用它來(lái)構(gòu)造同是A、B的共同本征矢量完全集。顯然即也是A的屬于本征值的本征矢量。下面分兩種情況討論。1°A的本征值無(wú)簡(jiǎn)并這時(shí)與屬于同一個(gè)一維本征子空間，它們只能差一個(gè)常數(shù)倍：54(2)充分性：對(duì)易→完全集設(shè)AB-BA=0，且即也同是B的本征矢量，常數(shù)就是B的本征值。如果所有A的本征值都沒(méi)有簡(jiǎn)并，則就是A和B的共同本征矢量完全集。2°A的本征值有簡(jiǎn)并新的問(wèn)題：在A的2D以上的本征子空間中隨便取一個(gè)矢量未必就是B的本征矢量。設(shè)A的本征值aj有m重簡(jiǎn)并（無(wú)簡(jiǎn)并的前面已經(jīng)討論），在{|i>}中屬于這一本征值的本征矢量是|j1>,|j2>,…，|jm>（不見(jiàn)的相互正交,但可以化成正交的），它們是在m維子空間中互相正交m個(gè)矢量的代表。55即也同是B的本征矢量，常數(shù)就是B的本征式中{Cα}是一組疊加系數(shù)。這種矢量應(yīng)該具有m個(gè)（總維數(shù)要求）?，F(xiàn)在要在這個(gè)m維本征子空間中尋找一些也是B的本征矢量的矢量。設(shè)這種矢量是用同上式作內(nèi)積，利用得上述矢量成為B的本征矢量的條件是這是一個(gè)的線性齊次方程組，設(shè)其系數(shù)56式中{Cα}是一組疊加系數(shù)。這種矢量應(yīng)該具有m個(gè)（總維數(shù)要求這一方程組有解的條件是系數(shù)行列式為0，即根據(jù)前面的討論，b有m個(gè)根（其中可能有相同的）,對(duì)每一個(gè)，有一組解，即一個(gè)矢量。于是我們求得了m個(gè)矢量,它們是A的本征矢量（本征值為），同時(shí)又是B的本征矢量（本征值為）。57這一方程組有解的條件是系數(shù)行列式為0，即根據(jù)前面的討論當(dāng)b沒(méi)有等根時(shí)，所得的共同本征矢量完全集是完全確定的。當(dāng)b有等根時(shí)，還有一個(gè)一維以上的本征子空間中的所有矢量都同時(shí)是A和B的本征矢量，共同