物理競賽專題四：等效法

高中奧林匹克物理競賽解題方法四、等效法方法簡介在一些物理問題中，一個(gè)過程的發(fā)展、一個(gè)狀態(tài)的確定，往往是由多個(gè)因素決定的，在這一決定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，而對過程的發(fā)展或狀態(tài)的確定，最后結(jié)果并不影響這種以等效為前提而使某些因素互相代替來研究問題的方法就是等效法.等效思維的實(shí)質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實(shí)際問題變換為簡單的熟悉問題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律.因此應(yīng)用等效法時(shí)往往是用較簡單的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問題得到簡化而便于求解.賽題精講S4-1例1：如圖4—1所示，水平面上，有兩個(gè)豎直的光滑墻壁A和B,相距為d,—個(gè)小球以初速度v0從兩墻之間的O點(diǎn)斜向上拋出，與A和B各發(fā)生一次彈性碰撞后，正好落回拋出點(diǎn)，求小球的拋射角0S4-1解析：將彈性小球在兩墻之間的反彈運(yùn)動(dòng),可等效為一個(gè)完整的斜拋運(yùn)動(dòng)(見圖).所以可用解斜拋運(yùn)動(dòng)的方法求解.由題意得：2d=由題意得：2d=vocos??t=vcos0-02vsin90 g2gd可解得拋射角9=arcsmv20例2：質(zhì)點(diǎn)由A向B做直線運(yùn)動(dòng)，A、B間的距離為L,已知質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為v°,加速度為a如果將L分成相等的n段，質(zhì)點(diǎn)每通過L/n的距離加速度均增加a/n,求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B時(shí)的速度.解析從A到B的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，由于加速度均勻增加，故此運(yùn)動(dòng)是非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，而非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，不能用勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式求解，但若能將此運(yùn)動(dòng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)等效代替，則此運(yùn)動(dòng)就可以求解.因加速度隨通過的距離均勻增加，則此運(yùn)動(dòng)中的平均加速度為,,(n-1)a+aaan3an-a(3n-1)aTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a=亠末= -——= =\o"CurrentDocument"平222n 2n由勻變速運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)出公式得2aL=v2-v2平B0! (3--1)aL\o"CurrentDocument"解得v=.v2+B\0 n例3一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離S]=lm的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為卩]=20cm/s，問當(dāng)老

鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的B點(diǎn)時(shí)，其速度大小v=?老鼠從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間22t=？解析我們知道當(dāng)汽車以恒定功率行駛時(shí)，其速度v與牽引力F成反比，即，v=P/F,由此可把老鼠的運(yùn)動(dòng)等效為在外力以恒定的功率牽引下的彈簧的運(yùn)動(dòng).PP由此分析，可寫出v二廠二7Fkx當(dāng)x=s時(shí),v=v11將其代入上式求解，得k=vs11vs22s1所以老鼠到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度v=亠v=x20=10cm/s2s1將其代入上式求解，得k=vs11vs22s1所以老鼠到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度v=亠v=x20=10cm/s2s12

2再根據(jù)外力做的功等于此等效彈簧彈性勢能的增加，Pt=2ks2-2ks222211P代入有關(guān)量可得Pt=- (s2-s2)2vs2 111(s2-s2)由此可解得t=計(jì)2sv1122—122x1x0.2=7.5s此題也可以用圖像法、類比法求解.r例4如圖4—2所示，半徑為r的鉛球內(nèi)有一半徑為2的球形空腔，其表面與球面相切，鉛球的質(zhì)量為M.在鉛球和空腔圖4—2的中心連線上，距離鉛球中心L處有一質(zhì)量為m的小球（可以看成質(zhì)點(diǎn)），求鉛球?qū)π∏虻囊?解析因?yàn)殂U球內(nèi)部有一空腔，不能把它等效成位于球心的質(zhì)點(diǎn).我們設(shè)想在鉛球的空腔內(nèi)填充一個(gè)密度與鉛球相同的小鉛球△“，然后在對于小球m對稱的另一側(cè)位置放另一個(gè)相同的小鉛球△“，這樣加入的兩個(gè)小鉛球?qū)π∏騧的引力可以抵消，就這樣將空腔鉛球變成實(shí)心鉛球，而結(jié)果是等效的.帶空腔的鉛球?qū)的引力等效于實(shí)心鉛球與另一側(cè)AM對m的引力之和.設(shè)空腔鉛球?qū)的引力為F,實(shí)心鉛球與AM對m的引力分別為片、F2.則F=F1－F2 ①1經(jīng)計(jì)算可知：AM=7M，所以_m(M+AM) 8GmM\o"CurrentDocument"=G =—L2 7L2=GmAMr(L-2)2GmMr7(L-—)22將②、③代入①式，解得空腔鉛球?qū)π∏虻囊?1F二F-F二GmM[ - ]1 2 7L27(丫r7(L——)22例5如圖4-3所示，小球長為L的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時(shí)與擋板碰撞并反向彈回，若每次與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前速度大小的45，求小球從開始下滑到最終停止于斜面下端時(shí)，小球總共通過的路程解析小球與擋板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，說明碰撞過程中損失能量，每次反彈距離都不及上次大，小球一步一步接近擋板，最終停在擋板處.我們可以分別計(jì)算每次碰撞垢上升的距離L1、L2、……、Ln，則小球總共通過的路程為12ns=2(L+L2+……+L)+L，然后用等比數(shù)列求和公式求出結(jié)果，但是這種解法很麻煩.12n我們假設(shè)小球與擋板碰撞不損失能量，其原來損失的能量看做小球運(yùn)動(dòng)過程中克服阻力做功而消耗掉，最終結(jié)果是相同的，而阻力在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程.設(shè)第一次碰撞前后小球的速度分別為v、v[，碰撞后反彈的距離為L],則2mv2mv2=mgLsin0mv2=mgLsin0211其中v=4v,所以L1=V1=(4)215L v2 511116碰撞中損失的動(dòng)能為―2mv2—2mvi2二2mv2(1—25)9根據(jù)等效性有f(L+L)=AE解得等效摩擦力f二mgsm01 k 41通過這個(gè)結(jié)果可以看出等效摩擦力與下滑的長度無關(guān)，所以在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，等效摩擦力都相同.以整個(gè)運(yùn)動(dòng)為研究過程，有f-s二mgL-sin041解出小球總共通過的總路程為s二-9L.此題也可以通過遞推法求解，讀者可試試.例6如圖4—4所示，用兩根等長的輕質(zhì)細(xì)線懸掛一個(gè)小球設(shè)L和?已知，當(dāng)小球垂直于紙面做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期為 . 圖4—4解析此題是一個(gè)雙線擺，而我們知道單擺的周期，若將又線擺擺長等效為單擺擺長,則雙線擺的周期就可以求出來了.將雙線擺擺長等效為單擺擺長L'二Lsina,則此雙線擺的周期為T=2兀冒L7g=2兀和sina/g例8如圖4—5所示，由一根長為L的剛性輕桿和桿端的小球組成的單擺做振幅很小的自由振動(dòng).如果桿上的中點(diǎn)固定另一個(gè)相同的小球，使單擺變成一個(gè)異形復(fù)擺，求該復(fù)擺的振動(dòng)周期.解析復(fù)擺這一物理模型屬于大學(xué)普通物理學(xué)的內(nèi)容，中學(xué)階段限于知識(shí)的局限，不能直接求解.如能進(jìn)行等效操作，將其轉(zhuǎn)化成中學(xué)生熟悉的單擺模型，則求解周期將變得簡圖4—5

捷易行.設(shè)想有一擺長為L0的輔助單擺，與原復(fù)擺等周期，兩擺分別從擺角a處從靜止開始擺動(dòng)，擺動(dòng)到與豎直方向夾角為0時(shí)，具有相同的角速度?，對兩擺分別應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，于是得mgl(cos0-cosa)+mg[(cos0-cosa)——m@1)2+—m( )2m(⑹)22m(⑹)220對單擺，得mgl(cosP-cosa)=0聯(lián)立兩式求解，得1o二61故原復(fù)擺的周期為T=2、￡=2兀”詈.例9粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有某種液體，開始靜止在水平面上，如圖4一6所示，已知：L=10cm,當(dāng)此U形管以4m/s2的加速度水平向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求兩豎直管內(nèi)液面的高度差.(g=10m/s2)解析當(dāng)U形管向右加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可把液體當(dāng)做放在等效重力場中，g'的方向是等效重力場的豎直方向，這時(shí)兩邊的液面應(yīng)與等效重力場的水平方向平行，即與g'方向垂直.設(shè)g'的方向與g的方向之間夾角為a，則tana= =0.4g由圖4—6可知液面與水平方向的夾角，所以，Ah=L-tana—10x0.4=4cm=0.04m.例10光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R,在其最低點(diǎn)A處放一質(zhì)量為m的帶；3電小球，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場，使小球受到電場力的大小為；mg，方向水平向右，現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度v0，使小球沿軌道向上運(yùn)動(dòng)，若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求v.0解析小球同時(shí)受到重力和電場力作用，這時(shí)也可以認(rèn)為小球處在等效重力場中.等效重力加速度g'-J翠gm3小球受到的等效重力為G'—、：(mg)2+(斗mg)2等效重力加速度g'-J翠gm3與豎直方向的夾角0—30。，如圖4—7甲所示?所以B點(diǎn)為等效重力場中軌道的最高點(diǎn),如圖4—7，由題意，小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，

在等效重力場中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律1mv22011mv220=mg'(R+Rcos0)+mv22B將g'、v分別代入上式，解得給小球的初速度為Bv0二｛2(.3+1)gR例11空間某一體積為V的區(qū)域內(nèi)的平均電場強(qiáng)度(E)的定義為為EAVEAV+EAV+…+EAV iiE=―1 1 2 2 nn=i=1圖4—8AV+AV+…+AV圖4—81 2 n Vii=1如圖4—8所示，今有一半徑為a原來不帶電的金屬球，現(xiàn)使它處于電量為q的點(diǎn)電荷的電場中，點(diǎn)電荷位于金屬球外，與球心的距離為R,試計(jì)算金屬球表面的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場在此球內(nèi)的平均電場強(qiáng)度.解析金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的球內(nèi)電場，由靜電平衡知識(shí)可知等于電量為q的點(diǎn)電荷在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場，其大小相等，方向相反，因此求金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場，相當(dāng)于求點(diǎn)電荷q在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場.由平均電場強(qiáng)度公式得Yeave=—=丄Yeav=ZeAl丄kqAlYn Vii iV r2VAV i=1 i=1 i=1iii=1q設(shè)金屬球均勻帶電，帶電量為q,其密度為P=V，則有EYkpAV YkAqiii=1iiii=1i=1方向從O指向q.Y讐為帶電球體在q所在點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)，因而有e方向從O指向q.例11質(zhì)量為m的小球帶電量為Q,在場強(qiáng)為E的水平勻強(qiáng)電場中獲得豎直向上的初速度為v0.若忽略空氣阻力和重力加速度g隨高度的變化，求小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度.解析若把電場力Eq和重力mg合成一個(gè)力，則小球相當(dāng)于只受一個(gè)力的作用，由于小球運(yùn)動(dòng)的初速度與其所受的合外力之間成一鈍角，因此可以把小球的運(yùn)動(dòng)看成在等效重力

G'(即為合外力)作用下的斜拋運(yùn)動(dòng)，而做斜拋運(yùn)動(dòng)的物體在其速度方向與G'垂直時(shí)的速度為最小，也就是斜拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，由此可見用這種等效法可以較快求得結(jié)果.電場力和重力的合力方向如圖4—9所示，mg由圖所示的幾何關(guān)系可知tan“Eq小球從O點(diǎn)拋出時(shí)，在y方向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng).當(dāng)在y軸方向上的速度為零時(shí)，小球只具有x軸方向上的速度，此時(shí)小球的速度為最小值，所以v二vcos0min0Eqvv二vcos0min00■、:(mg)2+(Eq)2此題也可以用矢量三角形求極值的方法求解，讀者可自行解決.知，例12如圖4—知，例12如圖4—10所示，R「R2、R3為定值電阻，但阻值未R為電阻箱.當(dāng)R為R=100時(shí)，通過它的電流x x x1x1二1A;當(dāng)R為R二180時(shí)，通過它的電流I二0.6A.x x2 x2則當(dāng)I二0.1A時(shí)，求電阻R.x3 x3解析電源電動(dòng)勢*、內(nèi)電阻r、解析電源電動(dòng)勢*、內(nèi)電阻r、電阻R］、R2、R3均未知,按題目給的電路模型列式求解，顯然方程數(shù)少于未知量數(shù)，于是可采取變換電路結(jié)構(gòu)的方法.將圖4—10所示的虛線框內(nèi)電路看成新的電源，則等效電圖4—10圖4—10甲路如圖4—10甲所示，電源的電動(dòng)勢為￡'，內(nèi)電阻為r'.根據(jù)電學(xué)知識(shí)，新電路不改變R和I的對應(yīng)關(guān)系，有\(zhòng)o"CurrentDocument"￡'=I(R+r'), ①x1x1\o"CurrentDocument"￡'=I二(R+r'), ②x2 x2￡‘=￡‘=I(Rx3 x3+r')由①、②兩式，得￡'=12V,r'二20，代入③式，可得R=1180x3例13如圖4—11所示的甲、乙兩個(gè)電阻電路具有這樣的特性：對于任意阻值的Rab、RBC和Rca，相應(yīng)的電阻R、Rb和R可確定.因此在對應(yīng)點(diǎn)A和a，B和b、C和c的電位BCCA abc是相同的，并且，流入對應(yīng)點(diǎn)(例如A和a)的電流也相同，利用這些條件RR利用上面的結(jié)果求圖解析圖4—11中甲、乙兩種電路的接法分別叫三角形接法和星形接法，只有這兩種電路任意兩對應(yīng)點(diǎn)之間的總電阻部分都相等，兩個(gè)電路可以互相等效，對應(yīng)點(diǎn)A、a、B、b和C、c將具有相同的電勢.由RR利用上面的結(jié)果求圖解析圖4—11中甲、乙兩種電路的接法分別叫三角形接法和星形接法，只有這兩種電路任意兩對應(yīng)點(diǎn)之間的總電阻部分都相等，兩個(gè)電路可以互相等效，對應(yīng)點(diǎn)A、a、B、b和C、c將具有相同的電勢.由Rab=RAB，Rac=RAC，Rbc=RBC，對ab間，有R+R=(丄+ 1 )-iabRR+RABACBCRR+RR=—AB_CA AB_BCR+R+RABBCCA11RR+RRR+R-(+■)-1——AB_CA BC_CAacRR+RR+R+RCAABBCAB BC CA11RR+RRR+R-(+)-1—ABBC BCCAbcRR+RR+R+RBCABCAAB BC CA同樣，ac間和bc間，也有將①+②－③得：RRR= AB_CA—aR+R+RABBCCA再通過①一②+③和③+②一①，并整理，就得到Rb和RC的表達(dá)式.bCRR RRR= AB_BC R= BC_ACbR+R+R cR+R+RABBCCA ABBCCAF面利用以上結(jié)果求圖4—12乙中P和Q兩點(diǎn)之間的電阻.用星形接法代替三角形接法，可得圖4—12乙所示電路，PRQS回路是一個(gè)平衡的惠斯登電橋，所以在RS之間無電流，因此它與圖4—12丙所示電路是等效的.因此PQ之間的總電阻RpQ可通過這三個(gè)并聯(lián)電阻求和得到.4—12丙例14如圖4—13所示，放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.6T的勻強(qiáng)磁場中的長方形金屬線框abed，框平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直，其中ab和be各是一段粗細(xì)均勻的電阻絲Rb=5Q,abRb=3Q，線框其余部分電阻忽略不計(jì).現(xiàn)讓導(dǎo)體EF擱置在ab、ed邊上，其有效長度L=0.5m,be且與ab垂直，阻值R=1Q，并使其從金屬框ad端以恒定的速度V=10m/s向右滑動(dòng)，當(dāng)EFEF滑過ab長的4/5距離時(shí)，問流過aE端的電流多大？4解析EF向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢S當(dāng)EF滑過ab長的5時(shí)，電路圖可等效圖4—13為如圖4—13圖4—13根據(jù)題設(shè)可以求出EF產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢8,￡二BLV二(0.6x0.5x10)二3VTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"R二40,R二10,R 二30aE Eb bc此時(shí)電源內(nèi)阻為導(dǎo)體EF的電阻，r=R=10，則電路中的總電阻為圖4—圖4—13甲=30R-(R +R)=30R=r+ aEEb bc—R+(R+R)aE Ebbc￡電路中的總電流為1— —1AR圖4—14???通過aE的電流為I =圖4—14aE例15有一薄平凹透鏡，凹面半徑為0.5m，玻璃的折射率為1.5，且在平面上鍍一層反射層，如圖4—14所示，在此系統(tǒng)的左側(cè)主軸上放一物S，S距系統(tǒng)1.5m，問S成像于何處?解析本題可等效為物點(diǎn)S先經(jīng)薄平凹透鏡成像，其像為平面鏡的物，平面鏡對物成像又為薄平凹透鏡成像的物，根據(jù)成像規(guī)律，逐次求出最終像的位置.根據(jù)以上分析，首先考慮物S經(jīng)平凹透鏡的成像S'，111根據(jù)公式一+ --P1 P f1其中丄=(n-1)(丄一丄)=(1.5-1)(-^-丄)=-1(m-1)/ RR -0.5g1211/故有一+ =—1P=-0.6mP1.5 11成像在左側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像S〃后，其像距為

f fP=—P=—P=0.6m221成像在右側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像S，有11P3P3311故P+06=13f fP=—P=—P=0.6m221成像在右側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像S，有11P3P3311故P+06=131 F 1二,其中P二P二0.6m,—=-l(m-1)2f二-0.375m成虛像于系統(tǒng)右側(cè)0.375m處此題還可用假設(shè)法求解.針對訓(xùn)練1．半徑為R的金屬球與大地相連，距球心L處有電量為+q的點(diǎn)電荷如圖4一15所示.求1)球上感應(yīng)電荷的總電量；2)q受到的庫侖力.如圖16示，R二400,R二800,R二50,R二100,R二400,R二990123456=1010,R=200，求AB之間的電阻.圖4一183．圖4—16電路如圖4—17所示阻.有9個(gè)電阻聯(lián)成如圖4—18電路，圖中數(shù)字的單位是0，求PQ兩點(diǎn)間的等效電阻.4．R廣R3=R4=R5二阻.有9個(gè)電阻聯(lián)成如圖4—18電路，圖中數(shù)字的單位是0，求PQ兩點(diǎn)間的等效電阻.4．如圖4—20所示，由5個(gè)電阻聯(lián)成的網(wǎng)絡(luò)，試求AB兩點(diǎn)間的等效電阻.由7個(gè)阻值均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖4—21甲所示?由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無限梯形網(wǎng)絡(luò)如圖4—21乙所示?試求P、Q兩點(diǎn)之間的等效電阻.圖4圖4—21甲圖4—21乙圖4—22表示一交流電的電流隨時(shí)間而變化的圖像，此交流電流有效值是（ ）A.5*'2A B.5A C.3.5訂A D.3.5A圖4—22 圖4—23 圖4—24磁流體發(fā)電機(jī)的示意圖如圖4—23所示，橫截面為距形的管道長為L,寬為a高為b,上下兩個(gè)側(cè)面是絕緣體，相距為a的兩個(gè)側(cè)面是電阻可忽略的導(dǎo)體，此兩導(dǎo)體側(cè)面與負(fù)載電阻Rl相連.整個(gè)管道放在一個(gè)勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,方向垂直于上下側(cè)面向上.現(xiàn)有電離氣體（正、負(fù)帶電粒子）持續(xù)穩(wěn)定的流經(jīng)管道，為了使問題簡化，設(shè)橫截面上各點(diǎn)流速相同.已知流速與電離氣體所受的壓力成正比；且無論有無磁場存在時(shí)，都維持管道兩端電離氣體的壓強(qiáng)差皆為p.設(shè)無磁場存在時(shí)電離氣體的流速為v0.求有磁場存在時(shí)流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢的大小e.已知電離氣體的平均電阻率為P.—?jiǎng)蛸|(zhì)細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，總電阻為R,半徑為a圓環(huán)內(nèi)充滿方向垂直于環(huán)面的勻強(qiáng)磁場，磁場以速率K均勻地隨時(shí)間增強(qiáng)，環(huán)上的A、D、C三點(diǎn)位置對稱.電流計(jì)G連接A、C兩點(diǎn)，如圖4—24所示，若電流計(jì)內(nèi)阻為RG，求通過電流計(jì)的電流大小.G

圖4—25固定在勻強(qiáng)磁場中的正方形導(dǎo)線框abed，各邊長為L],其中ab是一端電阻為R的均勻電阻絲，其余三邊均為電阻可忽略的銅線，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里，現(xiàn)有一與ab段的材料、粗細(xì)、長度都相同的電阻絲PQ架在導(dǎo)線框上，如圖4—25所示，以恒定的速度v從ad滑向be，當(dāng)PQ滑過1/3L的距離時(shí)，通過a圖4—25如圖4—26所示，一根長的薄導(dǎo)體平板沿x軸放置，板面位于水平位置，板的寬度為L,電阻可忽略不計(jì)，aebefd是圓弧形均勻?qū)Ь€，其電阻為3R,圓弧所在的平面與