2023人教版八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)練習(xí)

第十八章平行四邊形

18.2特殊的平行四邊形

18.2.1矩形

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識點(diǎn)1矩形的定義

1.在四邊形ABCD中,48〃。。,4?！?。,如果添加一個條件,即可推出該四邊形是

矩形,那么這個條件可以是.

知識點(diǎn)2矩形的性質(zhì)

2.【教材變式?P53例1變式】如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,N

AOB=60°,AC+AB=12,則邊AB的長為（）

C.2V3D.4V2

3.【學(xué)科素養(yǎng)?模型觀念】圖1是一種矩形時(shí)鐘，圖2是時(shí)鐘示意圖，時(shí)鐘數(shù)字2

的刻度在矩形ABCD的對角線BD上，時(shí)鐘中心在矩形ABCD對角線的交點(diǎn)O處.

若AB=30cm,則BC的長為cm（結(jié)果保留根號）.

-9,O<P23：

87654

4.如圖，延長矩形4BCO的邊BC至點(diǎn)、E,使連接AE,^ZADB

=36°，則ZE=°.

B

5.在矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)垂足為￡,且AE平分N840.

⑴求NAQB的度數(shù)；

⑵若AB=2cm,求矩形ABCD的面積.

知識點(diǎn)3直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

6.筆直的公路A3,ACIC如圖所示,AC,3C互相垂直,A3的中點(diǎn)。與點(diǎn)。被建筑物

隔開,若測得AC的長為6km,BC的長為8km,則C,D之間的距離為（）

A.4kmB.5kmC.6kmD.7km

7.如圖，點(diǎn)0是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)交AD于點(diǎn)M若

OM=3,8C=10,則OB的長為

C今D.V34

8.1構(gòu)造斜邊中線】（2022云南昆明八中期中）如圖，在△A8C中,AO是高線,C￡是

中線,于點(diǎn)G.

⑴求證:G是CE的中點(diǎn)；

⑵若N8=70。，求/BCE的度數(shù).

知識點(diǎn)4矩形的判定

9.(2022湖南郴州期末)如圖,在平行四邊形ABCO中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是

XAD=BC,AB//CDB.AC=BD

C.ZBAD=ZADCD.ZABC=90°

10.【一題多變】如圖，在四邊形A3CO中，兩條對角線AC、BD交

于點(diǎn)O,已知A3〃CD,且A3=C。.請?zhí)砑右粋€條件:(WZBAD=90",(2)

AC=BD中任選一個，填序號)，使四邊形ABCD為矩形，并證明你的結(jié)論.

AR

［變式］如圖，在四邊形ABC。中，兩條對角線AC、8D交于點(diǎn)O,已知43〃8,且

點(diǎn)E是AD延長線上一點(diǎn)，連接EC,若￡C=CA,且CD平分NECA求證:四

邊形ABCD是矩形.

11.【新素材?科普】2021年4月13日，第七屆全國青年科普創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)暨作品大

賽（江西賽區(qū)）在江西省科技館圓滿落下帷幕.如圖，矩形ABCD的兩邊AB.CD是

風(fēng)帆小車的兩條賽道,48=240cm,BC=80cm,風(fēng)帆小車P從A開始沿AB邊以40

cm/s的速度移動，風(fēng)帆小車Q從C開始沿CQ邊以20cm/s的速度移動，如果風(fēng)帆

小車P,Q分別從A.C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一車到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一車也隨之停止運(yùn)動,

設(shè)運(yùn)動時(shí)間為rs,那么當(dāng)，為何值時(shí),四邊形QPBC為矩形？

12.如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，且OC=OD.

⑴求證:平行四邊形ABCD是矩形；

(2)若A0=3,NCO0=6O°,求矩形A8CD的面積.

13.【新考法】如圖，在△ABC中,平分NA8C交AC于點(diǎn)。七為A3的中點(diǎn)，過

點(diǎn)A作AF//BD,^DE延長線于點(diǎn)￡連接BF.

⑴求證：AF=8D

⑵當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ARBQ是矩形？請證明你的結(jié)論.

A

E

B

能力提升全練

14.（2022安徽中考￡,★☆☆）兩個矩形的位置如圖所示，若Nl=a，則N2=

A.a-90B.a-45D.270°-a

15.(2021新疆中考？★☆☆)如圖，在RtZXABC中,NAC8=90°,NA=

30°,AB=4,CDLAB于點(diǎn)D,E是AB的中點(diǎn)，則DE的長為()

A.lB.2C.3D.4

16.（2021吉林長春實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末,5,★☆☆）如圖，已知平行四邊形ABCQ的對角線

AC,BD相交于點(diǎn)O,下列條件能使平行四邊形ABCD成為矩形的是

AD

;

A.AB=ADB.ZAOB=60°C.AC1BDD.ZOBC=ZOCB

17.【方程思想】（2022福建福州期末，8,★★☆）如圖，在矩形ABCD

中,A8=6,3C=8,8E〃。廠且3E與。歹之間的距離等于6,貝！JAE的長是（）

A.-3B.5-C.7-D.10

444

18.【主題教育?社會主義先進(jìn)文化】（2022湖北十堰中考,13,美麗鄉(xiāng)村”

建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，一農(nóng)村民居側(cè)面截圖如圖所示，屋坡A￡AG分別

架在墻體的點(diǎn)B,C處，且四邊形BDEC為矩形.若測得NF3ZA55°,則N

A=________

19.（2022吉林中考,13,★★☆）如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,

點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對角線AC上，且A尸44。,連接EF.若AC=10,則

4

EF=.

20.（2019貴州安順中考,如圖，在RtAABC中，NBAC=90°,且

A4=3,AC=4,點(diǎn)D是斜邊BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DMVAB于點(diǎn)M,DNL

AC于點(diǎn)N,連接MN,則MN的最小值為.

21.（2020云南中考￡,★★☆）已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是矩形ABCD邊上的

點(diǎn)，且EA=EC.若AB=6,AC=2"U,貝I]DE的長是.

22.【新考法】（2022山西中考,17,如圖,在矩形ABCQ中,AC是對角線.

⑴實(shí)踐與操作:利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O,交邊AD于點(diǎn)E,交

邊8c于點(diǎn)網(wǎng)要求:尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法,標(biāo)明字母）；

⑵猜想與證明:試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

素養(yǎng)探究全練

23.【推理能力】長與寬之比為魚：1的矩形紙片被稱為標(biāo)準(zhǔn)紙，請思考并解答下

列問題:

⑴將一張標(biāo)準(zhǔn)紙對開，如圖所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙,

請給予證明.

ADA

⑵在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片A3CQ（A3<3C）進(jìn)行如下操作：

第一步:沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處,折痕為AE（如圖甲）；

第二步:沿過。點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)N處,折痕為QG（如圖乙）,

此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處;

第三步:沿直線DM折疊（如圖丙），此時(shí)G點(diǎn)恰好與點(diǎn)N重合.

請你探究:矩形紙片ABCD是不是標(biāo)準(zhǔn)紙？并說明理由.

⑶不難發(fā)現(xiàn)，將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖所示的方式一次又一次對開后，所得的矩形紙片

都是標(biāo)準(zhǔn)紙.現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙問:第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的

周長是多少？探索并直接寫出第2020次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長.

第1次對開第2次對開第3次對開

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.答案ZA=90。（或N8=90°或NC=90°或N0=9O°）

解析,.,A8〃OC,A3〃3G.,.四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)定義有一個角是

直角的平行四邊形是矩形添加條件，需要加一個直角，即

ZA=90°或NB=90°或NC=90°或NQ=90

2.B?.?四邊形43CD是矩形，

：.AC=BD,OA=OC,OD=OB,：.OA=OB,

NAOB=60°,...△AOB是等邊三角形，

：.AO=AB,：.AC=2AO=2AB,

'：AC+AB=2AB+AB=12,AB=4,B.

3.答案30V3

解析過O點(diǎn)作O￡_LCD0E_LA。,垂足分別為E,F,

由題意知NEOD=2N0QE,

ZFOD+ZDOE=90°,ZDOE=30°,NFOD=60°,

在矩形48CQ中,NC=90°,

OE//BC,：.ZDBC=ZDOE=30°,

*/CD=AB=30cm,.,.BD=2CD=60cm,

：.BCZ6。2-302=30acm).

4.答案18

解析連接AC(圖略)，

,/四邊形ABCD是矩形,NAQ8=36°,

：.AD//BE,AC=BD,^.ZCAD=AADB=36°,

...ZE=ZDAE,

又\'BD=CE,「.CE=AC,：.ZE=ZCAE,

'：ZCAD=ZCAE+ZDAE,

，ZE+ZE=36°ZE=18°.

5.解析(1)二?四邊形A8CQ是矩形，

：1

.AO=BO=2-BD,，

由AE_L8D,且AE平分NBAO,易證△AOE也△A8￡,：.AO=AB,

：.AB=BO=AO,：.^AOB是等邊三角形，

NAOB=60°.

(2)由(1)知△AOB是等邊三角形，

NBAO=60°,ZACB=30°,：.AB=^AC,

.,.AC=2AB=4cm,BC=V42-22=2V3(cm),

，矩形ABCD的面積=2X2遮=4次(cn?).

6.B在RtAABC中AB^AC^+CB2,

VAC的長為6km,8c的長為8km,AA^IOkm,

。點(diǎn)是AB的中點(diǎn),：.CD=^AB=5km.

7.D連接0。(圖略),?.?四邊形ABC。是矩形，

ZADC=ZBAD=90°,：OM//AB,：.0MLAD,

0是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，

1

，OD=-AC=OA,：.AM=DM,

2，

OM是△AOC的中位線,，DC=2OM=6,

'：AD=BC=10,AAC=y/AD2+CD2=2后，

NA3c=90°,AO=CO,：.BO=^AC=后，故選D.

8.解析⑴證明:連接。瓦

VAD1BC,AZADB=90",

；E是A3的中點(diǎn),I.DE=^AB=BE,

,:DC=BE,：.DC=DE,

,：DG.LCE,，G是CE的中點(diǎn).

⑵?：DE=BE,/B=7b°,：＞/BDE=/B=7U°,

,:DE=DC,二ZBCE=ZDEC=^ZBDE=35°.

9.A根據(jù)一組對邊相等，另一組對邊平行,不能判定平行四邊形ABCD為矩形，故

選項(xiàng)A符合題意;根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD

為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；???四邊形ABCD是平行四邊形，.?./氏4。+/

ADC=180",

又ZBAD=ZADC,：.ZBAD=ZADC=90°,

根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD為矩形，故選

項(xiàng)C、D不符合題意.故選A.

10.解析（答案不唯一）添加條件①.

證明:：48〃CQ,且AB=CD,

.??四邊形A8CO是平行四邊形.

又ZBAZ)=90°,...四邊形ABCD是矩形.

［變式］證明?.??〃。。且43=8,

...四邊形A8CQ是平行四邊形.

VEC=CA,>CD平分NECA,

，C3_LAE,即ZADC=90°,四邊形ABCD是矩形.

11.解析根據(jù)題意得CQ=20/cm,AP=4(kcm,

貝ij8P=(240-40/)cm,

,Z四邊形ABCD是矩形,二.ZB=ZC=90°,CD//AB,

...只有CQ=BP時(shí),四邊形QPBC是矩形，

即20U240-401,解得U4,

故當(dāng)U4時(shí),四邊形QP3C是矩形.

12.解析(1)證明:?..四邊形48CQ是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,：.ZA+ZB=\^O°,

???點(diǎn)0是A3的中點(diǎn),OA=OB,

(0A=0B,

在△AOD和△BOC中=BC,

0D=0C,

：.△AO。0△BOC(SSS),\ZA=ZB=90°,

平行四邊形A3co是矩形.

(2)由(1)得△AOO0/\BOC,：.ZAOD=ZBOC,

ZCOD=60°,；?ZAOD=ZBOC=6Q°,

ZA=90°,，ZADO=30°,OD=2OA,

'：O^+AD^OD2,：.OA2+32=(2OA)2,

OA=b(舍負(fù)),：.AB=2OA=2V3,

二.矩形ABCD的面積=48?AD=243x3=6A/3.

13.解析(1)證明:'：AF//BD,：.ZFAE=ZDBE,

為AB的中點(diǎn),.?.￡A=EB,

Z-FAE=Z.DBE,

在AAE尸和中,ZE=BE,

\Z-AEF=/.BED,

六△AEF^ABED(ASA),：.AF=BD.

⑵本題結(jié)合條件探究，考查了矩形的判定.

當(dāng)△ABC滿足AB=CB時(shí),四邊形AFBD是矩形.

證明:由⑴可知AF=BD,

\'AF//BD,...四邊形AFBD是平行四邊形，

?：AB=CB,BD平分NA3C,：.BDLAC,

：.N3Z)A=90°??平行四邊形AFBQ是矩形.

能力提升全練

14.C如圖,N1=9O°+Z3,

'：Zl=a,：.Z3=a-9Q°,

,：Z3+Z2=90°,.??Z2=90°-Z3=900-(*90°)=90°-a+90°=180故選

C.

1

15.A?/ZACB=90°,ZA=30°NB=60°,

：E是A3的中點(diǎn),AB=4,，CE=BE=AB=2,

，ABC￡為等邊三角形,：.BC=CE.

'：CDLAB,：.DE二BDmBE=1,故選A.

16.D四邊形ABCD是平行四邊形,，OA=OC=^AC,OB=OD=^BD,'：ZOBC=Z

OCB,：.OB=OC,：.AC=BD,：.平行四邊形ABCD是矩形，故選D.

17.C如圖,過點(diǎn)。作DGLBE交BE的延長線于G,

貝I」GD=6=AB,ZG=90°,

?.?四邊形A3CD是矩形,

.,.AD=BC=8,ZA=90°=NG,

Z.AEB=乙GED,

在和△GE。中，乙4=4G,

AB=GD,

：.AAEBW△GED(AAS),：.AE=GE.

設(shè)A￡=￡G=%,貝ljED=S-x,

在RtAPEG中,由勾股定理得ED2=EG2+GD2,

...(8-%)2=/+62,解得x=^,A￡=：.故選C.

18.答案110

解析,/四邊形BDEC為矩形,，ZDBC=90°,

ZFBD=55°,

，ZA5C=1800-ZDBC-ZFBD=35°,

'：AB=AC,：.ZACB=ZABC=35°,

.,.NA=180°-NABC-NAC3=110°,故答案為110.

19.答案|

解析在矩形ABCD中,AO=OC=lGAC=8Z）=10,

11

,/AF^ACAO^AC,：.點(diǎn)尸為AO的中點(diǎn)，

又\?點(diǎn)E為邊4。的中點(diǎn),EF為△AOQ的中位線，

EF=1OD=\BD=1.故答案為|.

20.答案f

解析連接（圖略）,：N84C=90"且BA=3,AC=4,

：.BC=y/BA2+AC2=5,

'：DM±AB,DN±AC,：.ZDMA=ZDNA=ZBAC=90°,

...四邊形DMAN是矩形,：.MN=AD,

當(dāng)AQ_L8C時(shí),AZ）的值最小，

此時(shí)△ABC的面積-AC=?AD,

.?.A3=呼=::.MN的最小值為1

BC55

21.答案|或穿

解析如圖，

4-------巨------^0

AB

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.CD=AB=6,AD=BC,ZABC=ZADC=9G°,

：.BC=y/AC2-AB2=V40-36=2,：.AD=2.

當(dāng)點(diǎn)￡在CD上時(shí)，

,,222222

.A￡=Z)E+AD=EC)DE+4=(6-DE),：.DE=1;

當(dāng)點(diǎn)￡在AB上時(shí)，

VCE^BE^+BC^E'A2,：.(6-AE')2+4=AEQ,.,.AE,=y,

/.DE'=yJAD2+AE'2=卜+詈=竽.

綜上所述或?qū)W.

22.解析利用尺規(guī)作圖一一線段垂直平分線的作法,結(jié)合線段的垂直平分線的性

質(zhì)，考查矩形的性質(zhì).

(1)如圖.

⑵AE=CE證明如下:

四邊形ABCD是矩形,：.AD//BC,

：.NEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

?/EF是AC的垂直平分線,：.AO=CO,

Z.AEO=乙CFO,

在△AOE和△COF'中,乙￡;40=乙FCO,

AO=CO,

，AAOE^ACOF(AAS),：.AE=CF.

素養(yǎng)探究全練

23.解析⑴證明：?.?矩形紙片ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，且AB<BC,：.=V2.

1

G