廣西壯族自治區(qū)南寧市北京大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市北京大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)則函數(shù)的最大值為 （

） A．3

B．4

C．5 D．不存在參考答案：C略2.下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（）A.i（1+i）2 B.i2（1﹣i） C.（1+i）2 D.i（1+i）參考答案：C,,,所以選C.3.若變量，滿足約束條件，則的最大值等于（

）A．

B．

C．11

D．10參考答案：D作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面圖象如下圖的陰影部分，表示斜率為的直線系，表示直線在軸上的截距，由圖象可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取得最大值，最大值為4.“”是“函數(shù)在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C試題分析：令t=（ax-1）x=ax2-x,則，設(shè)=0，解得x=，所以，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)t=（ax-1）x在（－∞，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)，即極小值為－，當(dāng)x<0時(shí)，t>0,所以a≥0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減；若函數(shù)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，則x時(shí)，<0,即成立,所以2a≥0，故選A.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.充分必要條件的判斷.5.設(shè)集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}則M∩N=（） A．（﹣1，0） B． （0，1） C． （1，2） D． （0，2）參考答案：考點(diǎn)： 交集及其運(yùn)算．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)題意，由一元二次不等式的解法可得集合M，由絕對(duì)值不等式的解法可得集合N，進(jìn)而有交集的意義可得答案．解答： 解：集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，則M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故選B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵是求出集合M、N．6.已知函數(shù)，則a的取值等于（

）

-1

1

2

4參考答案：B7.設(shè)x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=的取值范圍為（）A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]參考答案：D【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．分析；作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求解即可．解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，目標(biāo)函數(shù)z=幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與D（2，0）的斜率，過（﹣1，2）與（2，0）時(shí)斜率最小，過（﹣1，﹣2）與（2，0）時(shí)斜率最大，∴Z最小值==﹣，Z最大值==，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃和直線斜率的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義和數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．8.已知函數(shù)的圖象如圖(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),下面四個(gè)圖象中,的圖象可能是參考答案：B略9.若拋物線的準(zhǔn)線方程為,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知數(shù)列{an}滿足：2an=an﹣1+an+1（n≥2），a1=1，且a2+a4=10，若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的最小值為（）A．4 B．3 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由數(shù)列遞推式：2an=an﹣1+an+1（n≥2）得到{an}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式求出其前n項(xiàng)和，代入整理，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征，求出最小值．【解答】解：數(shù)列{an}滿足：2an=an﹣1+an+1（n≥2），∴{an}為等差數(shù)列，∵a1=1，且a2+a4=10，設(shè)公差為d，∴1+d+1+3d=10，解得d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴sn==n2，∴====n+1+﹣2設(shè)f（x）=x+1+，則f′（x）=1﹣=，當(dāng)0＜x＜﹣1，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞﹣1，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）取的最小值，即當(dāng)n=2時(shí)，n+1+﹣2的最小值，即為3+﹣2=故的最小值為，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是由遞推式構(gòu)造出等比數(shù)列，考查了對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是有一定難度題目．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)（

）的值域是

；參考答案：12.設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）則該幾何體的體積為________.參考答案：4略13.設(shè)P是函數(shù)y=x+（x＞0）的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向直線y=x和y軸作垂線，垂足分別為A、B，則的值是．參考答案：﹣1考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：設(shè)P（x0，）（x0＞0），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四點(diǎn)共圓，可得∠APB=，由數(shù)量積定義可求．解答：解：設(shè)P（x0，）（x0＞0），則點(diǎn)P到直線y=x和y軸的距離分別為|PA|==，|PB|=x0．∵O、A、P、B四點(diǎn)共圓，所以∠APB=π﹣∠AOB=∴==﹣1故答案為：﹣1點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式和四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，屬中檔題．14.（6分）（2015?麗水一模）設(shè)全集U=R，集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x∈R||x﹣a|＞3}，則CUA=[﹣1，3]；若（CUA）∩B=，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[0，2]【考點(diǎn)】：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算．【專題】：集合．【分析】：求解二次不等式化簡A，然后直接求出其補(bǔ)集；求解絕對(duì)值的不等式化簡集合B，由（CUA）∩B=得到關(guān)于a的不等式組求得a的范圍．解：A={x∈R|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，全集U=R，∴CUA=[﹣1，3]；由B={x∈R||x﹣a|＞3}={x|x＜a﹣3或x＞a+3}，由（CUA）∩B=，得，即0≤a≤2．∴實(shí)數(shù)a的范圍為[0，2]．故答案為：[﹣1，3]；[0，2]．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了二次不等式與絕對(duì)值不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．15.有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：p1：?x∈R，；p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：?x∈[0，π],＝sinx；p4：sinx＝cosy?x＋y＝.其中假命題的是________．參考答案：16.一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是，那么這個(gè)三棱柱的體積是

.參考答案：試題分析：由球的體積公式，得，解得,所以正三棱柱的高h(yuǎn)=2R=4．設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，則其內(nèi)切圓的半徑為：，得，所有該正三棱柱的體積為.考點(diǎn)：1.球的體積；2.柱體的體積17.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，正視圖、俯視圖為直角三角形，側(cè)視圖是直角梯形，則它的體積等于＿＿＿參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60o，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，

請(qǐng)證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由．參考答案：（I）證明：取AB中點(diǎn)M，連FM，GM．∵G為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴GM∥AD，且GM=AD，

又∵FE∥AD，∴GM∥FE且GM=FE．∴四邊形GMFE為平行四邊形，即EG∥FM．又∵平面ABF，平面ABF∴EG∥平面ABF．………4分（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足為N，由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60o，∴△AEF是正三角形．∴∠AEF=60o，由EF//AD知∠EAD=60o，∴EN=AE?sin60o=．∴三棱錐B-AEG的體積為．……8分（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．證明如下：∵四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE．∵四邊形AFED為梯形，F(xiàn)E∥AD，且，∴．又在△AED中，EA=2，AD=4，，由余弦定理，得ED=．∴EA2+ED2=AD2，∴ED⊥AE．又∵ED∩CD=D，∴AE⊥平面DCE，又面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE．

…………12分略19.（本題12分）現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（1）求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2）求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（3）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ.參考答案：解：依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，則P(Ai)＝Ci4－i.（1）這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)＝C22＝.（2）設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4，由于A3與A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝.所以，這4個(gè)人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.（3）ξ的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.所以ξ的分布列是ξ024P隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝0×＋2×＋4×＝20.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的離心率

，且橢圓C上一點(diǎn)N到點(diǎn)Q（0，3）的距離最大值為4，過點(diǎn)M（3,0）的直線交橢圓C于點(diǎn)A、B.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）∵

∴…………（1分）

則橢圓方程為即

設(shè)則

……（2分）

當(dāng)時(shí)，有最大值為…………（3分）

解得∴，橢圓方程是……（4分）（Ⅱ）設(shè)方程為

由

整理得.………………（5分）

由，得.

………（6分）

∴則,………（7分）由點(diǎn)P在橢圓上，得化簡得①………………（8分）又由即將，代入得…………………（9分）化簡，得則,………（10分）∴②由①，得聯(lián)立②，解得∴或………………（12分）21.(本題滿分10分)已知函數(shù)。(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)若，且，求證：.參考答案：（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝當(dāng)x＜－3時(shí)，由－2x－2≥8，解得x≤－5；當(dāng)－3≤x≤1時(shí)，f(x)≤8不成立；當(dāng)x＞1時(shí)，由2x＋2≥8，解得x≥3．所以不等式f(x)≤4的解集為{x|x≤－5，或x≥3}．

…………5分（Ⅱ）f(ab)＞|a|,即|ab－1|＞|a－b|．

……………6分因?yàn)閨a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|．故所證不等式成立．

……………10分22.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)）（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=，求直線的傾斜角α的值．參考答案：【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】本題（1）可以利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的化式，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）先將直l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦長，也可以直接利用直線的參數(shù)方程和圓的普通方程