數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修第一冊(cè)1.4.2充要條件（共22張ppt）

第第頁(yè)數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修第一冊(cè)1.4.2充要條件（共22張ppt）(共22張PPT)

1.4充分條件與必要條件

1.4.2充要條件

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

問題導(dǎo)入

思考1：下列“若,則”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？

(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；

(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；

將命題“若,則”中的條件和結(jié)論互換，就得到一個(gè)新的命題“若,則”，稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.

逆：若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等；

逆：若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；

不難發(fā)現(xiàn)，上述命題中的命題(1)和它的逆命題都是真命題；命題(2)是真命題，但它的逆命題是假命題.

問題導(dǎo)入

思考1：下列“若,則”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？

(3)若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則；

(4)若是空集，則與均是空集.

逆：若，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

逆：若與均是空集，則是空集.

不難發(fā)現(xiàn)，上述命題中的命題(4)和它的逆命題都是真命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題.

新知探索

如果“若,則”和它的逆命題“若,則”均是真命題，即既有，又有，就記作.此時(shí)，既是的充分條件，也是的必要條件，我們就說(shuō)是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件.顯然，如果是的充要條件，那么也是的充要條件.

概括地說(shuō)，如果，那么與互為充要條件.上述命題(1)(4)中的與互為充要條件.

例析

例3.下列各題中，哪些是的充要條件？

(1)：四邊形是正方形，四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分；

(2)：兩個(gè)三角形相似，兩個(gè)三角形三邊成比例；

解：(1)因?yàn)閷?duì)角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形(為什么)，

所以，所以不是的充要條件.

(2)因?yàn)椤叭?則”是相似三角形的性質(zhì)定理，

“若,則”是相似三角形的判定定理，所以它們均為真命題，

即，所以是的充要條件.

例析

例3.下列各題中，哪些是的充要條件？

(3)：，

(4)：是一元二次方程的一個(gè)根，.

解：(3)因?yàn)闀r(shí)，不一定成立(也可以是，)，

所以，所以不是的充要條件.

(4)因?yàn)椤叭?則”與“若,則”均為真命題，

即，所以是的充要條件.

新知探索

思考2：通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？

可以發(fā)現(xiàn)，“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”和“四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”既是“四邊形是平行四邊形”的充分條件，又是必要條件.

另外，我們?cè)倏雌叫兴倪呅蔚亩x：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，它表明“四邊形的兩組對(duì)邊分別平行”也是“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充要條件.

新知探索

上面的這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個(gè)概念，據(jù)此我們可以給出平行四邊形的其他定義形式.

例如：

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形；

對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形.

類似地，利用“兩個(gè)三角形全等”的充要條件，可以給出“三角形全等”的其他定義形式，而且這些定義是相互等價(jià)的；同樣，利用“兩個(gè)三角形相似”的充要條件，可以給出“相似三角形”其他定義形式，這些定義也是相互等價(jià)的；等等.

例析

例4.已知：的半徑為，圓心到直線的距離為.求證：是直線與相切的充要條件.

證明：設(shè)：直線與相切.

(1)充分性()：如圖，作于點(diǎn)，則若則點(diǎn)在上.在直線上任取一點(diǎn)(易于點(diǎn)),連接在中，所以，除點(diǎn)外直線上的點(diǎn)都在的外部，即直線與僅有一個(gè)公共點(diǎn).所以直線與相切.

(2)必要性()：若直線與相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為，則因此，.

由(1)(2)可得，是直線與相切的充要條件.

練習(xí)

題型一：充要條件的判斷

例1.(多選)下列各題中，是的充要條件的有().

A.為二次函數(shù)

B.

C.四邊形是正方形，四邊形的對(duì)角線互相垂直平分

D.或

答案：AD.

解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，可得為二次函數(shù)，當(dāng)為二次函數(shù)時(shí)，可得故是的充要條件，故A正確.

對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，或故是的不必要條件，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C，當(dāng)四邊形對(duì)角線互相平分時(shí)，不能推出四邊形是正方形，故是的不必要條件，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D，當(dāng)或時(shí)，兩邊同時(shí)平方可得解得或故是的充要條件，故D正確.

練習(xí)

變1.下列各題中，哪些是的充要條件？

(1)且；

(2)三角形是等腰三角形，三角形是等邊三角形；

(3)

解：(1)∵

∴是的充要條件.

(2)∵等邊三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等邊三角形

∴不是的充要條件，是的必要不充分條件..

(3)∵,

∴是的充要條件.

練習(xí)

方法技巧：

判斷充分、必要條件的步驟

認(rèn)清

找推式

下結(jié)論

分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論

判斷“若，則”及“若，則”的真假

根據(jù)推論及定義下結(jié)論

練習(xí)

題型二：利用充分、必要條件求參數(shù)

例2.已知

(1)當(dāng)為何值時(shí)，是的充分不必要條件？

解：(1)∵是的充分不必要條件，

∴，

∴.

∴當(dāng)時(shí)，

∴是的充分不必要條件.

練習(xí)

題型二：利用充分、必要條件求參數(shù)

例2.已知

(2)當(dāng)為何值時(shí)，是的必要不充分條件？

∴.

∴當(dāng)時(shí)，是的必要不充分條件.

解：(2)∵是的必要不充分條件，

∴，

練習(xí)

題型二：利用充分、必要條件求參數(shù)

例2.已知

(3)當(dāng)為何值時(shí)，是的充要條件？

解：(3)∵是的充要條件，

∴，此時(shí)

∴當(dāng)時(shí)，是的充要條件.

練習(xí)

變2.已知

(1)當(dāng)為何值時(shí)，是的充分不必要條件？

解：(1)若是的充分不必要條件，

即但，亦即是的必要不充分條件，

∴，∴.

∴當(dāng)時(shí)，是的必要不充分條件，即是的充分不必要條件.

練習(xí)

變2.已知

(2)當(dāng)為何值時(shí)，是的必要不充分條件？

解：(2)若是的必要不充分條件，

即但，亦即是的充分不必要條件，

∴，

∴.∴當(dāng)時(shí)，

∴是的充分不必要條件，即是的必要不充分條件.

練習(xí)

方法技巧：

由條件關(guān)系求參數(shù)的值(范圍)的步驟

(1)根據(jù)條件關(guān)系建立條件構(gòu)成的集合之間的關(guān)系.

(2)根據(jù)集合端點(diǎn)或數(shù)形結(jié)合列方程或不等式(組)求解.

練習(xí)

題型三：充要條件的證明與探究

例3.求證：一元二次方程有一正根和一負(fù)根的充要條件是

證明：證明必要性：若“一元二次方程有一正根和一負(fù)根”成立，由韋達(dá)定理可得，∴成立.

證明充分性：若“”成立，此時(shí)一元二次方程有一正根和一負(fù)根.所以“一元二次方程有一正根和一負(fù)根”的充要條件是“”.

練習(xí)

變3.關(guān)于的方程的所有根的和為2的充要條件是______.

解：當(dāng)時(shí)，方程為解得：

當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，設(shè)是方程的解，則

若解方程解得：或1；

當(dāng)或1時(shí)，即當(dāng)或1時(shí)，方程無(wú)解，

故時(shí)符合題意.

練習(xí)

方法技巧：

充要條件的證明思路

根據(jù)充要條件的定義，證明充要條件對(duì)要從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明.一般地，證明“成立的充要條件為”