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第第頁(yè)數(shù)學(xué)人教A版(2023)必修第一冊(cè)1.4.2充要條件(共22張ppt)(共22張PPT)
1.4充分條件與必要條件
1.4.2充要條件
第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)
問題導(dǎo)入
思考1:下列“若,則”形式的命題中,哪些命題與它們的逆命題都是真命題?
(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等,則這兩個(gè)三角形全等;
(2)若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等;
將命題“若,則”中的條件和結(jié)論互換,就得到一個(gè)新的命題“若,則”,稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.
逆:若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等;
逆:若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等,則這兩個(gè)三角形全等;
不難發(fā)現(xiàn),上述命題中的命題(1)和它的逆命題都是真命題;命題(2)是真命題,但它的逆命題是假命題.
問題導(dǎo)入
思考1:下列“若,則”形式的命題中,哪些命題與它們的逆命題都是真命題?
(3)若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則;
(4)若是空集,則與均是空集.
逆:若,則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
逆:若與均是空集,則是空集.
不難發(fā)現(xiàn),上述命題中的命題(4)和它的逆命題都是真命題;命題(3)是假命題,但它的逆命題是真命題.
新知探索
如果“若,則”和它的逆命題“若,則”均是真命題,即既有,又有,就記作.此時(shí),既是的充分條件,也是的必要條件,我們就說(shuō)是的充分必要條件,簡(jiǎn)稱為充要條件.顯然,如果是的充要條件,那么也是的充要條件.
概括地說(shuō),如果,那么與互為充要條件.上述命題(1)(4)中的與互為充要條件.
例析
例3.下列各題中,哪些是的充要條件?
(1):四邊形是正方形,四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分;
(2):兩個(gè)三角形相似,兩個(gè)三角形三邊成比例;
解:(1)因?yàn)閷?duì)角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形(為什么),
所以,所以不是的充要條件.
(2)因?yàn)椤叭?則”是相似三角形的性質(zhì)定理,
“若,則”是相似三角形的判定定理,所以它們均為真命題,
即,所以是的充要條件.
例析
例3.下列各題中,哪些是的充要條件?
(3):,
(4):是一元二次方程的一個(gè)根,.
解:(3)因?yàn)闀r(shí),不一定成立(也可以是,),
所以,所以不是的充要條件.
(4)因?yàn)椤叭?則”與“若,則”均為真命題,
即,所以是的充要條件.
新知探索
思考2:通過上面的學(xué)習(xí),你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎?
可以發(fā)現(xiàn),“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”和“四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”既是“四邊形是平行四邊形”的充分條件,又是必要條件.
另外,我們?cè)倏雌叫兴倪呅蔚亩x:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形,它表明“四邊形的兩組對(duì)邊分別平行”也是“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充要條件.
新知探索
上面的這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個(gè)概念,據(jù)此我們可以給出平行四邊形的其他定義形式.
例如:
兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形;
對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形.
類似地,利用“兩個(gè)三角形全等”的充要條件,可以給出“三角形全等”的其他定義形式,而且這些定義是相互等價(jià)的;同樣,利用“兩個(gè)三角形相似”的充要條件,可以給出“相似三角形”其他定義形式,這些定義也是相互等價(jià)的;等等.
例析
例4.已知:的半徑為,圓心到直線的距離為.求證:是直線與相切的充要條件.
證明:設(shè):直線與相切.
(1)充分性():如圖,作于點(diǎn),則若則點(diǎn)在上.在直線上任取一點(diǎn)(易于點(diǎn)),連接在中,所以,除點(diǎn)外直線上的點(diǎn)都在的外部,即直線與僅有一個(gè)公共點(diǎn).所以直線與相切.
(2)必要性():若直線與相切,不妨設(shè)切點(diǎn)為,則因此,.
由(1)(2)可得,是直線與相切的充要條件.
練習(xí)
題型一:充要條件的判斷
例1.(多選)下列各題中,是的充要條件的有().
A.為二次函數(shù)
B.
C.四邊形是正方形,四邊形的對(duì)角線互相垂直平分
D.或
答案:AD.
解:對(duì)于A,當(dāng)時(shí),可得為二次函數(shù),當(dāng)為二次函數(shù)時(shí),可得故是的充要條件,故A正確.
對(duì)于B,當(dāng)時(shí),或故是的不必要條件,故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C,當(dāng)四邊形對(duì)角線互相平分時(shí),不能推出四邊形是正方形,故是的不必要條件,故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D,當(dāng)或時(shí),兩邊同時(shí)平方可得解得或故是的充要條件,故D正確.
練習(xí)
變1.下列各題中,哪些是的充要條件?
(1)且;
(2)三角形是等腰三角形,三角形是等邊三角形;
(3)
解:(1)∵
∴是的充要條件.
(2)∵等邊三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定是等邊三角形
∴不是的充要條件,是的必要不充分條件..
(3)∵,
∴是的充要條件.
練習(xí)
方法技巧:
判斷充分、必要條件的步驟
認(rèn)清
找推式
下結(jié)論
分清哪個(gè)是條件,哪個(gè)是結(jié)論
判斷“若,則”及“若,則”的真假
根據(jù)推論及定義下結(jié)論
練習(xí)
題型二:利用充分、必要條件求參數(shù)
例2.已知
(1)當(dāng)為何值時(shí),是的充分不必要條件?
解:(1)∵是的充分不必要條件,
∴,
∴.
∴當(dāng)時(shí),
∴是的充分不必要條件.
練習(xí)
題型二:利用充分、必要條件求參數(shù)
例2.已知
(2)當(dāng)為何值時(shí),是的必要不充分條件?
∴.
∴當(dāng)時(shí),是的必要不充分條件.
解:(2)∵是的必要不充分條件,
∴,
練習(xí)
題型二:利用充分、必要條件求參數(shù)
例2.已知
(3)當(dāng)為何值時(shí),是的充要條件?
解:(3)∵是的充要條件,
∴,此時(shí)
∴當(dāng)時(shí),是的充要條件.
練習(xí)
變2.已知
(1)當(dāng)為何值時(shí),是的充分不必要條件?
解:(1)若是的充分不必要條件,
即但,亦即是的必要不充分條件,
∴,∴.
∴當(dāng)時(shí),是的必要不充分條件,即是的充分不必要條件.
練習(xí)
變2.已知
(2)當(dāng)為何值時(shí),是的必要不充分條件?
解:(2)若是的必要不充分條件,
即但,亦即是的充分不必要條件,
∴,
∴.∴當(dāng)時(shí),
∴是的充分不必要條件,即是的必要不充分條件.
練習(xí)
方法技巧:
由條件關(guān)系求參數(shù)的值(范圍)的步驟
(1)根據(jù)條件關(guān)系建立條件構(gòu)成的集合之間的關(guān)系.
(2)根據(jù)集合端點(diǎn)或數(shù)形結(jié)合列方程或不等式(組)求解.
練習(xí)
題型三:充要條件的證明與探究
例3.求證:一元二次方程有一正根和一負(fù)根的充要條件是
證明:證明必要性:若“一元二次方程有一正根和一負(fù)根”成立,由韋達(dá)定理可得,∴成立.
證明充分性:若“”成立,此時(shí)一元二次方程有一正根和一負(fù)根.所以“一元二次方程有一正根和一負(fù)根”的充要條件是“”.
練習(xí)
變3.關(guān)于的方程的所有根的和為2的充要條件是______.
解:當(dāng)時(shí),方程為解得:
當(dāng)時(shí),方程為一元二次方程,設(shè)是方程的解,則
若解方程解得:或1;
當(dāng)或1時(shí),即當(dāng)或1時(shí),方程無(wú)解,
故時(shí)符合題意.
練習(xí)
方法技巧:
充要條件的證明思路
根據(jù)充要條件的定義,證明充要條件對(duì)要從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明.一般地,證明“成立的充要條件為”
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