燕山大學彈性力學

2009~2010燕山大學年第二學期期末考試試卷（A）卷題號四五六七八九十總分評分評卷教師一．名詞解釋（共10分，每小題5分）彈性力學：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、應變和位移。圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同對于同一點的主矩也相同），那么近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。二．填空（共20分，每空1分）邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應力與面力 之間的關系式，它可以分為位移邊界條件、 應力邊界條件和，混合邊界條件。體力是作用于物體體積內的力，以單位體積力來度量，體力分量的量綱為一L2MT2 ；面力是作用于物體表面上力，以單位表面面積上的力度量，面力的量綱為L-1MT-2 .；體力和面力符號的規(guī)定為以沿坐標軸正向為正，屬外力；應力是作用于截面單位面積的力，屬內 力，應力的量綱為L-1MT-2，應力符號的規(guī)定為: 正面正向、負面負向為正，反之為負 。小孔口應力集中現象中有兩個特點：一是孔附近的應力高度集中 ，即孔附近的應力遠大于遠處的應力，或遠大于無孔時的應力。二是應力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起的應力擾動范圍主要集中在距孔邊1?5倍孔口尺寸的范圍內。彈性力學中，正面是指__外法向方向沿坐標軸正向—的面，負面是指外法向方向沿坐標軸負向的面。利用有限單元法求解彈性力學問題時，簡單來說包含結構離散化、 單元分析、整體分析三個主要步驟。三．繪圖題（共10分，每小題5分）分別繪出圖3-1六面體上下左右四個面的正的應力分量和圖3-2極坐標下扇面正的應力分量。四．簡答題（24分）（8分）彈性力學中引用了哪五個基本假定？五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么用途？答：彈性力學中主要引用的五個基本假定及各假定用途為：（答出標注的內容即可給滿分）1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應力、應變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數來表示他們的變化規(guī)律。2） 完全彈性假定：這一假定包含應力與應變成正比的含義，亦即二者呈線性關系，復合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3） 均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內部各點的物理性質顯然都是相同的。因此，反應這些物理性質的彈性常數（如彈性模量E和泊松比“等）就不隨位置坐標而變化。4） 各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質在各個方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數也不隨方向變化。5） 小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將它們的二次幕或乘積略去不計，使得彈性力學的微分方程都簡化為線性微分方程。（8分）彈性力學平面問題包括哪兩類問題？分別對應哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？答：彈性力學平面問題包括平面應力問題和平面應變問題兩類，兩類問題分別對應的彈性體和特征分別為：平面應力問題：所對應的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于穢平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應力分量b,◎ 存在，且僅為x,y的函數。xyxy平面應變問題：所對應的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于巧平面，外力沿z軸無變化，只有平面應變分量￡,￡，丫存在，且僅為x,y的函數。xyxy（8分）常體力情況下，按應力求解平面問題可進一步簡化為按應力函數①求解，應力函數①必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程：V他二0

[C+mT)=f/ )(2)應力邊界條件(假定全部為應力邊界條件，s=s)：\(xyx)上 [在s=s上丿b I'me+It丿=f bIy xysy3)若為多連體，還須滿足位移單值條件。五．問答題(36)1.(12分)試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。(板厚5=1)1.圖5-1°h/2h/2.ql1.解：在主要邊界y=±h2上，應精確滿足下列邊界條件：C圖5-1°h/2h/2.ql1.解：在主要邊界y=±h2上，應精確滿足下列邊界條件：C) =-qxl，( ) =0； C)yy=-h2 yxy=-h2 yy=+h2在次要邊界x=0上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件，當板厚5=1時，=0,()=-qyxy=+h2 1J+h2(b)dy=-F， ydy=-M，J+h2C)dy=—F-h2 x x=0 N -h2 x x=0 -h2 xy x=0 S在次要邊界X=l上，有位移邊界條件：C) =0，(v) =0。這兩個位移邊界條件可以改用三x=l個積分的應力邊界條件代替：x=l\+h2C)dy=-F+ql，嚴)ydy=_M-Fl-竺+也，\+h2()dy=-F-坐_h2 x x=o n1 -h2 x x=o S6 2 -h2 xyx=o s22.(10分)試考察應力函數①二cxy3,c>0，能滿足相容方程，并求出應力分量(不計體力)，畫出圖5-2所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢和主矩。圖5-2h/2-h/2p I ”L 十d4① d4① d4①解：(1)相容條件：將①二cxy3代入相容方程 +2 + =0，顯然滿足。CX4 ox2cy2cy4d2①應力分量表達式：b= =6cxy,d2①應力分量表達式：b= =6cxy,b二0,x cy2 y邊界條件：在主要邊界y=±2上，即上下邊，在次要邊界x二0,x二l上，面力的主失和主矩為J+h，2(b)dy=0-h2xx=0<J+h2(b)ydy=0-h2xx=0J+h2()dy=-J+h23cy2dy=--h3、-h2xyx=0 -h2 4t=-3cy2xy面力為() =±3chx,yy=±h2xyy=±h2J+h2G)dy=\+h26clydy=0-h2xx=l -h2=-4ch2J+h2G)ydy=J+h26cly2dy=比-h2xx=l -h2 2J+h2()dy=、-h2xyx=0-\+h23cy2dy=--h3-h2 4彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界x=0,x=l上面力的主失量和主矩如解圖所示。（14分）設有矩形截面的長豎柱，密度為P，在一邊側面上受均布剪力q,如圖5-3所示，試求應力分量。（提示：采用半逆解法，因為在材料力學彎曲的基本公式中，假設材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設應力分量b=0）x圖5-3解：采用半逆解法，因為在材料力學彎曲的基本公式中，假設材料符合簡單的胡克定律，故可認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設應力分量b=0，x（1）假設應力分量的函數形式。b=0x⑵推求應力函數的形式。此時，體力分量為f=0,f=⑵推求應力函數的形式。此時，體力分量為f=0,f=Pg。將b=0代入應力公式bC2①x cy2::=f6)，(a)①二yf（x）+厶（￥）。(b)xxyC2①有b= =0對x積分，得x Cy2其中fO，f]C）都是x的待定函數。（3）由相容方程求解應力函數。將式（b）代入相容方程①4=0，得yd4f(xLd4fi(x)=0dx4 dx4這是y的一次方程，相容方程要求它有無數多的根(全部豎柱內的y值都應該滿足)，可見它的d4fOcd4f(x)系數和自由項都必須等于零。 =0, —=0，兩個方程要求dx4dx4f(x)=Ax3+Bx2+Cx，f(x)=Dx3+Ex2fC)中的常數項，f1(x)中的一次和常數項已被略去，因為這三項在①的表達式中成為y的一次和常數項，不影響應力分量。得應力函數①=yClx3+Bx2+Cx)+(Dx3+Ex2)(c)(d)4)由應力函數求應力分量。G=比①一xf=0,x Qy2 x(e)d2①G= -yf=6Axy+2By+6Dx+2E-pgy，yQx2 y(f)T=— =—3Ax2―2Bx-C.xy QxQy(g)(5)考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數先來考慮左右兩邊x=±b2的主要邊界條件：G) =0，() =0，() =qoxx=±b2 xyx=—b2 xyx=+b2將應力分量式(e)和(g)代入，這些邊界條件要求:)xyx=—b2G) =o,xx=±b2自然滿足；Ab2+Bb-C=04(h))xyx=+b2=—3Ab2—Bb-C=q4(i)yyy=0J+b2C)xdx=卜2(6Dx+2E)xdx= =0,—b2yy=0 —b2 2卜2()dx=-b2 xyy=0由(h)(i)考察次要邊界y=