高等量子力學-薛定諤方程-繪景變換-海森堡繪景課件

§11運動方程

§11-1薛定諤方程§11-2演化算符§11-3繪景變換薛定諤繪景

§11-4海森伯繪景§11-5連續(xù)性方程*§11-6相互作用繪景§11運動方程§11-1薛定諤方程1§11-1薛定諤方程(11.1)

薛定諤方程適用于粒子有自旋或無自旋以及單粒子或多粒子等所有情況.當單粒子有自旋時,態(tài)矢量和哈密頓分別是位形空間和自旋空間二者的直積空間中的矢量和算符;當系統(tǒng)是多粒子系統(tǒng)時,則是多個單粒子空間的直積空間中的矢量和算符.系統(tǒng)的運動方程取決于系統(tǒng)本身的情況和外部環(huán)境,而外部環(huán)境通常是電磁場和各種模型中的勢場.當系統(tǒng)的線度不大時外加的宏觀電磁場可以看成是均勻的,但可隨時間變化,哈密頓中的明顯含時因素幾乎全部出自外電磁場的變化.§11-1薛定諤方程(11.1)薛定諤2

(11.2)

其中將上式右方的括號展開,可得

(11.2)其中將上式右方的括號展開,可得3(11.3)

(11.3)式右方第二項成為

(11.3)(11.3)式右方第二項成為4從(11.4)式得到一個重要的結(jié)論,即帶電粒子的軌道磁矩算符為

(11.5)

(11.6)

玻爾磁子：

于是單粒子的哈密頓可以寫成

(11.4)

從(11.4)式得到一個重要的結(jié)論,即帶電粒子的軌道磁矩算5

(11.8)

一個電子的自旋磁矩與自己的軌道磁矩的相互作用能,例如對類氫離子中的電子為

(11.9)

討論原子問題時,常在(11.4)式的哈密頓上,加上自旋引起的能量(11.8)和(11.9)式.這些都相當于(11.4)式中的V這一項.電子的自旋磁矩算符為

(11.7)

(11.8)一個電子的自旋磁矩與自己的軌道磁矩的相互作用6高等量子力學-薛定諤方程-繪景變換-海森堡繪景ppt課件7§11-2演化算符(11.11)

(11.12)§11-2演化算符(11.11)(11.12)8(11.13)

(11.13)9即(11.14)

(11.15)

即(11.14)(11.15)10這樣將上式中的積分上限全部寫成t,則有

(11.16)

再定義一個時序算符C,它作用在一系列時間函數(shù)的乘積上,使這一乘積的次序重新排列,時間大的因子排在前邊(左邊),按時間依次排列,時間最小的因子在最右邊,即這樣將上式中的積分上限全部寫成t,則有(11.16)11(11.17)

簡記為如下緊湊的記號:(11.17)簡記為如下緊湊的記號:12§11-3繪景變換薛定諤繪景

量子力學中的各種關(guān)系式,可以直接用矢量和算符表示,也可以取不同的表象,用矩陣表示.不同表象中的矢量和算符,通過一個不含時間的幺正矩陣(4.10)聯(lián)系起來.一個關(guān)系式在不同表象中的形式是完全平行和等價的.§11-3繪景變換薛定諤繪景13改變繪景的目的是選擇適當?shù)暮瑫r幺正變換,使得在新的繪景中為解決某一具體問題帶來一些方便.(11.18)

而算符一般則是不含時的(一些含時的微擾除外,這種情況我們暫不考慮),這樣就有(11.19)

改變繪景的目的是選擇適當?shù)暮瑫r幺正變換,使14在薛定諤繪景中還可以取各種表象,每一種表象都同一組特定的基矢相聯(lián)系，而基矢是不含時的。設(shè)想我們?nèi)タ聪柌乜臻g，我們應(yīng)該看到，描寫狀態(tài)的態(tài)矢量都是按一定規(guī)律運動的,每一組基矢則是靜止的,態(tài)矢量的各種表象,不論寫成矩陣形式或函數(shù)形式,都是隨時間變化的。因為它們是運動的態(tài)矢量在靜止的基矢上的分量.在薛定諤繪景中還可以取各種表象,每一種表象15§11-4海森伯繪景

(11.20)

§11-4海森伯繪景(11.20)16

(11.21)

(11.22)

(11.21)(11.22)17于是得由變換方程(11.21)式可知所以可以將哈密頓算符右上角表示繪景的標記略去.

(11.23)

于是得由變換方程(11.21)式可知所以可以將哈密頓算符右上18或

顯然,不含時的哈密頓H本身是一個守恒量.或顯然,不含時的哈密頓H本身是一個守恒量.19高等量子力學-薛定諤方程-繪景變換-海森堡繪景ppt課件20其中于是證明了守恒量在含時態(tài)中取各值的概率與時間無關(guān).由此性質(zhì)又可以得出下面幾條結(jié)論:其中于是證明了守恒量在含時態(tài)中取各值的概率與時間無關(guān).由此21守恒量A在系統(tǒng)任意狀態(tài)中的平均值不隨時間變化.若守恒量于某一時刻在給定態(tài)中取確定值,則在此后(以及此前)的任意時刻均取相同的確定值.在量子力學中,研究守恒量是非常重要的.守恒量與系統(tǒng)的哈密頓的各種對稱性有密切的關(guān)系,我們將在第四章中詳細研究這個問題.守恒量A在系統(tǒng)任意狀態(tài)中的平均值不隨時間變化.22高等量子力學-薛定諤方程-繪景變換-海森堡繪景ppt課件23

(11.24)

用經(jīng)典力學來比喻,就是我們建立了一個與動矢量相”固連”的動坐標系,觀察者“站在”動坐標系上去觀察那個動矢量,他看到的這個矢量將是靜止的.(11.24)用經(jīng)典力學來比喻,就是我們建立了一個24這時動基矢只是相位在作周期性的變化.但是,對于這種經(jīng)典力學的比喻不能十分認真,這只是一種比喻.因為這里的動基矢框架(11.24)式,并不像動坐標那樣是彼此相固連的,它們雖然按照同一運動規(guī)律運動,但各自的運動是彼此不同的.然而它們卻時時刻刻保持著歸一化和彼此的正交性.這是復空間特有的性質(zhì).這時動基矢只是相位在作周期性的變化.但是,25

(11.25)

在海森伯繪景中,位置算符與動量算符隨時間變化的規(guī)律,根據(jù)(11.23)式及(6.9)式為此二式與經(jīng)典分析力學中的哈密頓正則方程的形式完全一致.

(11.26)

(11.25)在海森伯繪景中,位置26§11-6相互作用繪景

(11.36)

(11.37)

§11-6相互作用繪景(11.36)(11.37)27所用的變換算符為

(11.38)

相互作用繪景中的態(tài)矢量和算符就都是隨時間變化的.它們的運動方程可以對(11.36)和(11.37)二式求導得出:即算符的運動方程為(11.39)

(11.40)

所用的變換算符為(11.38)相互作用繪28式中式中29高等量子力學-薛定諤方程-繪景變換-海森堡繪景ppt課件30例如，在相互作用繪景中，態(tài)矢量的演化關(guān)系為

(11.41)

(11.42)

例如，在相互作用繪景中，態(tài)矢量的演化關(guān)系為(11.41)31(11.43)

這就是相互作用繪景中的能量表象的運動方程.不少教材在討論含時微擾時