第1章+平面向量及其應(yīng)用知識點清單 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第二冊

2/2新教材湘教版2019版數(shù)學(xué)必修第二冊第1章知識點清單目錄第1章平面向量及其應(yīng)用1.1向量1.2向量的加法1.3向量的數(shù)乘1.4向量的分解與坐標(biāo)表示1.5向量的數(shù)量積1.6解三角形1.7平面向量的應(yīng)用舉例2/2第1章平面向量及其應(yīng)用1.1向量一、向量的物理背景1.位移是物理學(xué)中的基本量之一，也是幾何研究的重要對象.研究物體運動時，通常

把物體當(dāng)作一個質(zhì)點，用點來表示物體的位置.質(zhì)點從位置A運動到位置B，位置的

改變稱為位移.2.理解位移，要把握三個方面：①位移由方向和大小唯一確定；②位移只與質(zhì)點的起點、終點位置相關(guān)，而與實際運動路線無關(guān)；③兩個位移相等指的是方向相同而且大小相等.3.物理學(xué)中許多需要考慮大小和方向的量，如速度、加速度、力等.二、向量的基本要素及幾何表示1.有向線段像AB這樣具有方向的線段，稱為有向線段，有向線段AB的長度記作|AB|.有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.2.向量像位移這樣既有大小又有方向的量，在數(shù)學(xué)中稱為向量.向量的幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的方向和長度分別代表了向量的方向和大小.向量的字母表示：向量用粗體字母(印刷)或在字母上方標(biāo)箭頭(書寫)來表示，如向量a，b，F(xiàn)，a，b，F(xiàn).3.向量的模向量a的大小，也就是向量a的長度，稱為a的模，記作|a|.三、向量的相等1.相等向量：我們把方向相同、長度相等的向量稱為相等向量.2.相反向量：我們把長度相等、方向相反的向量a，b稱為相反向量，記作b=-a.如果b=-a，則同樣也有a=-b.3.零向量：如果向量a的大小|a|=0，就稱a是零向量，記作0.我們約定，所有的零向量相等，且零向量的方向是任意的.四、向量相等及其應(yīng)用1.向量相等具有傳遞性，即a=b，b=c，則a=c.2.相等向量與向量的起點、終點無關(guān)，只看長度和方向.3.在幾何圖形中尋找相等向量的方法，先找出與表示已知向量的有向線段平行或在同一直線上且長度與已知向量長度相等的線段，再構(gòu)造同向或反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量.1.2向量的加法一、向量的加法1.三角形法則向量的加法法則文字語言已知兩個非零向量a，b，在平面上任取一點O，分別作OA=a，AB=b，則定義從O到B的向量OB為a，b的和，記作a+b.即a+b=OA+AB=OB向量的加法法則圖形表示特殊情形(a與b的方向相同或相反)向量的加法求向量和的運算稱為向量的加法.兩個向量的和仍是一個向量向量加法的三角形法則將兩個向量表示為首尾相接的有向線段來求和的作圖法則叫作

向量加法的三角形法則2.平行四邊形法則條件對于方向既不相同也不相反的非零向量a，b，可用平行四邊形法則求和文字語言從同一點O出發(fā)作有向線段OA=a，OB=b，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則對角線OC就是a與b的和，即OC=a+b圖形表示3.加法運算律(1)加法交換律：a+b=b+a對任意兩個向量a，b成立.(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)對任意三個向量a，b，c成立.4.零向量的加法性質(zhì)任意向量與零向量相加后保持不變，等于這個向量本身，即a+0=0+a=a.如果兩個向量之和為0，即a+b=0，則a與b大小相等，方向相反，即b是a的相反向量，記作b=-a.當(dāng)然a也是b的相反向量，因此a=-b=-(-a).5.n個向量相加如圖所示，在n邊形A1A2…An中，有A1A2+A2A3+…則A1A2+A2A3+二、向量的減法1.向量減法的定義已知兩個向量a，b，求x滿足a+x=b，這樣的運算叫作向量的減法，記為x=b-a，x稱為b與a之差.2.向量的減法法則減去一個向量a，等于加上它的相反向量-a，即b-a=b+(-a).已知向量a與b，在平面上任取一點O，作OA=a，OB=b，則AB=b-a，即b-a表示從向量a的終點指向向量b的終點的向量.三、向量的加減法運算及其應(yīng)用1.利用已知向量表示其他向量的思路解決這類問題時，要根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，正確運用向量加、減法法則和相等向量的定義，同時注意向量的方向及運算式中向量之間的關(guān)系.當(dāng)運用三角形法則時，要注意兩個向量首尾順次相接，當(dāng)兩個向量共起點時，可以考慮用減法.任意一個非零向量一定可以表示為兩個向量的和(差)，即AB=AM+MB，AB=NB-NA(M，N均是同一平面內(nèi)的任意點).四、向量形式的三角不等式(1)當(dāng)向量a，b方向既不相同也不相反時，作OA=a，AB=b，則a+b=OB，如圖1所示.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.?(2)當(dāng)a與b方向相同或a，b中至少有一個為零向量時，如圖2所示，此時|a+b|=|a|+|b|.(3)當(dāng)a與b方向相反或a，b中至少有一個為零向量時，不妨設(shè)|a|≥|b|，如圖3所示，此時|a+b|=||a|-|b||.故對于任意向量a，b，總有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|①.因為|a-b|=|a+(-b)|，所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|，即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|②.將①②兩式結(jié)合，可得||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，我們稱之為向量形式的三角不等式.1.3向量的數(shù)乘一、向量的實數(shù)倍1.向量的數(shù)乘定義求向量的實數(shù)倍的運算稱為向量的數(shù)乘長度|λa|=|λ||a|方向當(dāng)λ≠0且a≠0時，λa的方向

幾何意義把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小特殊情況當(dāng)λ=0或a=0時，λa=0a=0或λa=λ0=02.向量的線性運算我們把向量的加法、減法、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.向量線性運算的結(jié)果仍是一個向量.二、共線向量1.共線向量的定義當(dāng)非零向量a，b方向相同或相反時，我們既稱a，b共線，也稱a，b平行，并且用符號“∥”來表示它們共線(或平行)，記作a∥b.規(guī)定：零向量與所有的向量平行.2.由向量平行和向量數(shù)乘的定義可以推知：兩個向量平行?其中一個向量是另一個向量的實數(shù)倍.即a∥b?存在實數(shù)λ，使得b=λa或a=λb.3.兩向量的夾角如圖所示，設(shè)a，b是兩個非零向量，任選一點O，作OA=a，OB=b，則射線OA，OB所夾的最小非負(fù)角∠AOB=θ稱為向量a，b的夾角，記作<a，b>，取值范圍規(guī)定為[0，π].在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定了，并有<a，b>=<b，a>.?當(dāng)θ=0時，a，b方向相同；當(dāng)θ=π時，a，b方向相反.這兩種情形下a，b所在直線重合，即a，b共線.當(dāng)0<θ<π時，a，b所在直線相交于點O，即a，b不共線，特別地，當(dāng)θ=π2時，a與b垂直，記作a⊥b.規(guī)定：零向量與任一向量垂直.三、共線向量的運算1.單位向量我們把長度為1的向量稱為單位向量.它的長度等于單位長度.對于任一非零向量a，都可得到與它方向相同的唯一單位向量e=1|a|a2.共線向量的運算一般地，在一條直線上任取單位向量e，則直線上任何向量a都可寫成a=ae，其中實

數(shù)a的絕對值|a|代表向量a的模，a的正負(fù)代表a與e的方向相同或相反.反過來，任意給定一個實數(shù)a，我們總能作一個向量a=ae，使它的長度等于這個實數(shù)a的絕對值，方向與實數(shù)a的符號一致.四、數(shù)乘運算律1.數(shù)乘運算律一般地，設(shè)a，b是任意向量，x，y是任意實數(shù)，則如下運算律成立：(1)對實數(shù)加法的分配律：(x+y)a=xa+ya.(2)對實數(shù)乘法的結(jié)合律：x(ya)=(xy)a.(3)對向量加法的分配律：x(a+b)=xa+xb.2.幾個常用結(jié)論(1)表示線段AB中點P位置的向量OP等于表示線段兩個端點A，B位置的向量OA，OB的平均值12(OA+OB)(O為線段AB(2)表示△ABC的重心G的位置的向量OG等于表示三角形三個頂點A，B，C位置的向量OA，OB，OC的平均值13(OA+OB+OC)(O為△ABC五、向量的線性運算1.向量的線性運算是向量的基本運算，運算的結(jié)果還是向量.向量的線性運算可以類比實數(shù)的運算進(jìn)行.用已知向量表示未知向量時，通常要結(jié)合圖形的特點，把未知向量放到三角形或平行四邊形中，適當(dāng)?shù)剡x擇向量的加法、減法和數(shù)乘運算來求解，有時還需借助共線向量來解決.六、共線向量的理解及應(yīng)用1.共線向量定理的理解(1)由于任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量與共線向量是等價的，要注意避免向量平行與平面幾何中的直線平行相混淆.平行直線不包括重合的情況，而平行向量是可以重合的.(2)向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因為零向量平行于任意向量，當(dāng)b=0時，a，c可以是任意向量，所以a與c不一定平行，但若b≠0，則必有a∥b，b∥c?a∥c.因此，解答問題時要看清題目中是任意向量還是任意非零向量.(3)共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量.2.共線向量定理的應(yīng)用(1)判定平面幾何中的共線或平行關(guān)系，可用向量的數(shù)乘運算來描述，即對于線段AB與CD，如果存在實數(shù)λ，使得CD=λAB，則AB與CD共線或平行.(2)一般地，要判斷A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)λ，使得AB=λAC(或BC=λAB等).(3)平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是存在實數(shù)λ，μ，使得OC=λOA+μOB，其中λ+μ=1，點O為平面內(nèi)一點.事實上，若三點A，B，C共線，則一定存在實數(shù)m使得AC=mAB，即OC-OA=m(OB-OA)，從而OC=(1-m)OA+mOB，令λ=1-m，μ=m，則λ+μ=(1-m)+m=1.1.4向量的分解與坐標(biāo)表示一、平面向量基本定理1.設(shè)e1，e2是平面上兩個不共線向量，則(1)平面上每個向量v都可以分解為e1，e2的實數(shù)倍之和，即v=xe1+ye2，其中x，y是實數(shù).(2)實數(shù)x，y由v=xe1+ye2唯一決定.也就是：如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2，則x=x'，y=y'.2.我們稱不共線向量e1，e2組成平面上的一組基{e1，e2}，分解式v=xe1+ye2中的系數(shù)x，y組成的有序數(shù)組(x，y)，稱為v在這組基下的坐標(biāo).取定了平面上一組基{e1，e2}之后，可以將平面上每個向量v用它在這組基下的坐標(biāo)來表示，記為v=(x，y).二、平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示1.正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.2.標(biāo)準(zhǔn)正交基：平面上相互垂直的單位向量組成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基，記作{i，j}.顯然i=(1，0)，j=(0，1).3.平面向量與有序數(shù)對的對應(yīng)關(guān)系(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為起點作OA=a，則點A的位置由向量a唯一確定.設(shè)OA=x'i+y'j，則向量OA的坐標(biāo)(x'，y')就是終點A的坐標(biāo)；反過來，終點A的坐標(biāo)(x'，y')也就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一個有序數(shù)對唯一表示.(2)設(shè)單位向量e1，e2的夾角<e1，e2>=90°，非零向量v的模|v|=r，且<e1，v>=α，則v=(rcosα，rsinα).三、向量線性運算的坐標(biāo)表示1.向量線性運算的坐標(biāo)表示(1)兩個向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的和(或差)的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(或

差)，即a±b=(x1，y1)±(x2，y2)=(x1±x2，y1±y2).(2)一個實數(shù)λ與向量a=(x，y)的積的坐標(biāo)等于這個數(shù)乘以向量相應(yīng)的坐標(biāo)，即λa=λ(x，y)=(λx，λy).(3)在平面直角坐標(biāo)系中，向量PQ的坐標(biāo)等于終點Q的坐標(biāo)(x2，y2)減去起點P的坐標(biāo)(x1，y1)，即PQ=(x2-x1，y2-y1).2.向量平行的坐標(biāo)表示向量AB=(x1，y1)，CD=(x2，y2)平行(也就是共線)，可以直接用(x1，y1)∥(x2，y2)來表示.這意味著其中一個坐標(biāo)是另一個坐標(biāo)的實數(shù)倍，因此x1y2=y1x2成立.即(x1，y1)∥(x2，y2)?x1y2-y1x2=0.3.常用結(jié)論(1)中點向量坐標(biāo)：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，P為AB的中點，則OP=OA+OB2=x(2)三角形的重心向量坐標(biāo)：在△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若△ABC的重心為G，則OG=OA+OB+OC3四、平面向量基本定理的應(yīng)用1.平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用設(shè)a，b是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，x1，x2，y1，y2∈R，若x1a+y1b=x2a+y2b，則x12.用向量求解平面幾何問題的步驟(1)選取適當(dāng)?shù)膬蓚€向量作為一組基；(2)將相關(guān)向量用基表示；(3)通過向量運算得到新的向量關(guān)系式；(4)將新的向量關(guān)系式“翻譯”成幾何關(guān)系.五、利用平面向量的坐標(biāo)運算(代數(shù))解決有關(guān)幾何問題1.向量的坐標(biāo)運算一般是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算，另外，在解題的過程中要注意方程思想的運用.2.利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解.1.5向量的數(shù)量積1.5.1數(shù)量積的定義及計算一、平面向量的數(shù)量積1.設(shè)a，b是任意兩個向量，<a，b>是它們的夾角，則定義a·b=|a||b|cos<a，b>為a與b的數(shù)量積.由平面向量夾角的定義可知，<a，b>=α的取值范圍為[0，π].二、投影向量1.如圖，作向量OA=a，OB=b，兩個向量的夾角為α，過點B作BB1⊥OA于點B1，則OB=OB1+B1B，其中?

?我們把OB1稱為OB在方向上的投影向量，投影向量的長度|OB1|OB|cosα刻畫了投影向量的大小和方向，稱為OB在OA方向上的投影.2.數(shù)量積的幾何意義一般地，a與b的數(shù)量積等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cosα的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上的投影|a|cosα的乘積.由此得到利用數(shù)量積計算b在a方向上的投影|b|cosα的公式：|b|cosα=a?b|a|三、數(shù)量積的性質(zhì)1.設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b=0.(3)當(dāng)a與b同向時，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b=-|a||b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a?a.(4)|a·b|≤|a||b|.2.性質(zhì)拓展(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2；(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2；(3)cosθ=a?b|a||b|.四、數(shù)量積的運算律1.設(shè)a，b，c是任意向量，λ是任意實數(shù)，則如下運算律成立：(1)交換律：a·b=b·a；(2)與數(shù)乘的結(jié)合律：a·(λb)=λ(a·b)；(3)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.五、向量數(shù)量積的運算1.求向量的數(shù)量積時，需明確兩個關(guān)鍵點：模和夾角.若相關(guān)向量是兩個或兩個以上向量的線性運算，則需先利用向量數(shù)量積的運算律進(jìn)行化簡.2.解決幾何圖形中向量數(shù)量積的運算問題，要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知模的向量.六、向量數(shù)量積的應(yīng)用1.根據(jù)公式cosθ=a?b|a||b|計算非零向量a，b2.對于非零向量a，b，a⊥b?a·b=0，可以用來解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直的問題.3.a·a=a2=|a|2和|a|=a?a是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).4.對于平面向量a，b，可以利用公式a·b=14[(a+b)2-(a-b)2兩個向量的“和向量”和“差向量”，再進(jìn)行計算求解.1.5.2數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計算一、數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計算1.數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=(x1，y1)·(x2，y2)=x1x2+y1y2.2.向量的長度的計算公式若a=(x，y)，則向量a的模(即長度)的公式為|a|=a?a=x23.夾角余弦值的計算公式已知兩個非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則兩向量夾角余弦值的公式為cos<a，b>=a?b|a||b|=x4.垂直條件已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.5.共線條件已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a∥b?x1y2-x2y1=0.二、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算1.進(jìn)行向量的數(shù)量積運算時，通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，然后直接進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運算；二是直接依據(jù)已知條件計算.2.對于以平面圖形為背景的向量數(shù)量積運算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)即可求解.3.與向量有關(guān)的最值問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決，特別是二次函數(shù)與三角函數(shù)，借助向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求出最值.三、平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運算的應(yīng)用1.利用向量可以解決與長度、角度、垂直、平行等有關(guān)的幾何問題，其解題關(guān)鍵在于把其他語言轉(zhuǎn)化為向量語言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.2.解決投影向量問題的方法已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a在b方向上的投影向量為a?b|b|·b|b|=x1x2+y11.6解三角形一、余弦定理文字語言三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方

和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍符號語言a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC其他形式cosA=b2+c2二、正弦定理及常見變形文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等符號語言asinA=bsinB=csinC=2R(R常見變形a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，a+b+csinA+sinB+sinC=2R(R為△ABC三、三角形解的個數(shù)的確定1.在△ABC中，已知a，b和A，以點C為圓心，邊長a為半徑畫弧，則此弧與除去頂點A的射線AB的公共點個數(shù)即為三角形解的個數(shù).圖形關(guān)系式解的情況A為銳角(1)a=bsinA(2)a≥b一解bsinA<a<b兩解a<bsinA無解A為鈍角或直角a>b一解a≤b無解四、三角形的面積公式△ABC的面積S=12absinC=12bcsinA=五、解三角形實際問題的一般步驟六、利用正、余弦定理解三角形1.三角形共有六個元素，當(dāng)已知條件較復(fù)雜時，需要我們辨別條件，恰當(dāng)?shù)剡x擇定理來求解.2.常見情況(1)當(dāng)已知條件以邊與正弦值之比的關(guān)系出現(xiàn)時，選擇正弦定理；(2)當(dāng)已知條件涉及正弦或外接圓半(直)徑時，選擇擴充的正弦定理；(3)當(dāng)已知條件涉及邊的平方或者兩邊的積時，選擇余弦定理；(4)如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，要考慮用正弦定理.以上特征都不明顯時，兩個定理都有可能用到.七、利用正、余弦定理解決實際