第22章 二次函數(shù)單元測試題（含解析）

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第22章二次函數(shù)單元同步檢測卷

一、選擇題（共36分）

1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

A．B．C．D．

2．拋物線的頂點坐標是（）

A．B．C．D．

3．下列二次函數(shù)的圖象，對稱軸是y軸的二次函數(shù)的表達式是（）

A．B．C．D．

4．已知拋物線的開口向下，頂點坐標為，那么該拋物線有（）

A．最小值－3B．最大值－3C．最小值2D．最大值2

5．拋物線①y=2x2；②y=2（x+1）2﹣5；③y=3（x+1）2；④y=（x+1）2﹣5．其中，形狀相同的是（）

A．①②B．②③④C．②④D．①④

6．平行于x軸的直線與拋物線的一個交點坐標為（-1，2），則另一個交點坐標為（）

A．（1，2）B．（1，-2）C．（5，2）D．（-1，4）

7．已知，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c滿足以下三個條件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，則它的圖象可能是（）

A．B．

C．D．

8．若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點、，則、的大小關系是（）

A．B．C．D．不能確定

9．已知是非零實數(shù)，，在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的大致圖象不可能是（）

A．B．

C．D．

10．長為，寬為的矩形，四個角上剪去邊長為的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為的無蓋的長方體盒子，則y與x的關系式為（）

A．B．

C．D．

11．若二次函數(shù)，當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）

A．B．C．D．

12．一位運動員在距籃筐正下方水平距離處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為時，達到最大高度，然后準確落入籃筐．如圖所示，建立平面直角坐標系，已知籃筐中心到地面的距離為，該運動員身高，在這次跳投中，球在頭頂上方處出手，球出手時，他跳離地面的高度是()

A．B．C．D．

二、填空題（共21分）

13．請任意寫出一個圖象開口向下且頂點坐標為（﹣2，1）的二次函數(shù)解析式：．

14．將二次函數(shù)化成的形式為．

15．將拋物線y＝2x2平移，使頂點移動到點P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新拋物線的表達式是．

16．若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個不同的交點，則m的值為．

17．如圖，拋物線與直線相交于點，，則關于的方程的解為.

18．已知關于x的二次函數(shù)y＝ax2﹣6ax+a2﹣8a+3，當﹣1≤x≤2時，有最大值5，則a的值是．

19．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結論：①；②；③，其中正確的結論有．（填序號）

三、解答題（共43分）

20．（5分）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點是（2，1）且經(jīng)過點（1，﹣2），求此二次函數(shù)解析式．

21．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．

（1）求該二次函數(shù)與x軸的交點坐標和頂點；

（2）在所給坐標系中畫出該二次函數(shù)的大致圖象，并寫出當y＜0時，x的取值范圍．

22．（7分）某電商在購物平臺上銷售一款小電器，其進價為45元/件，每銷售一件需繳納平臺推廣費5元，該款小電器每天的銷售量y（件）與每件的銷售價格x（元）滿足函數(shù)關系：y＝﹣2x+200．為保證市場穩(wěn)定，供貨商規(guī)定銷售價格不得低于75元/件．

（1）寫出每天的銷售利潤w（元）與銷售價格x（元）的函數(shù)關系式（不必寫出x的取值范圍）；

（2）每件小電器的銷售價格定為多少元時，才能使該款小電器每天獲得的利潤是1200元？

23．（8分）如圖，有長為24m的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m），設花圃的寬AB為xm，面積為S．

（1）求S與x的函數(shù)關系式及x值的取值范圍；

（2）要圍成面積為45的花圃，AB的長是多少米？

（3）當AB的長是多少米時，圍成的花圃的面積最大？（結果保留兩位小數(shù)）

24．（8分）如圖，拋物線經(jīng)過點，并與x軸交于點C，點M是拋物線對稱軸l上任意一點（點M，B，C三點不在同一直線上）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線上找出點P，使得以M，C，B，P為頂點的四邊形為平行四邊形，并直接寫出點P的坐標．

25．（9分）如圖，拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于點A（6，0），B（－1，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M為該拋物線對稱軸上一點，當CM+BM最小時，求點M的坐標.

（3）若拋物線在第一象限的圖象上有一點P，求△ACP面積S的最大值．

參考答案

1．A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如(a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)，直接判斷即可．

【詳解】解：A、符合二次函數(shù)的定義，本選項符合題意；

B、是一次函數(shù)，不符合題意；

C、是反比例函數(shù)，不符合題意；

D、不是二次函數(shù)，不符合題意；

故選：A．

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關鍵．

2．A

【分析】根據(jù)頂點式的頂點坐標為求解即可．

【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，

故選：A．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)頂點式的頂點坐標為，掌握頂點式求頂點坐標是解題的關鍵．

3．B

【分析】根據(jù)形如二次函數(shù)的函數(shù)圖像及性質(zhì)解答即可．

【詳解】解：∵的對稱軸為y軸，

∴的對稱軸為y軸，

故選：B．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握形如二次函數(shù)的函數(shù)圖像及性質(zhì)是解題的關鍵．

4．D

【分析】根據(jù)拋物線開口向下和其頂點坐標為，可直接做出判斷．

【詳解】∵拋物線開口向下，其頂點坐標為，

∴該拋物線有最大值2，

故選：D．

【點睛】本題考查了求二次函數(shù)最大值的方法，解答本題的關鍵是熟練掌握求二次函數(shù)最大值的3種方法，分別為：第一種可由圖像直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．

5．A

【分析】根據(jù)題意，可以二次函數(shù)中的二次項系數(shù)相同，則形狀相同，從而可以解答本題．

【詳解】解：∵y=2x2的二次項系數(shù)是2，y=2（x+1）2﹣5的二次項系數(shù)是2，y=3

（x+1）2的二次項系數(shù)是3，y=（x+1）2﹣5的二次項系數(shù)是1，

∴y=2x2與y=2（x+1）2﹣5的形狀相同，故選A．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

6．C

【分析】先把點（-1，2）代入拋物線求出a的值，再令y=2求出x的值即可．

【詳解】解：把點(1，2)代入拋物線，

解得a=，

∴拋物線解析式為，

令y＝2，

則，

解得，

∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為(5，2)．

故選C．

7．D

【分析】由拋物線滿足②a-b+c＜0，③b＜c，可得出a＜0，只能在C、D中選擇，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

【詳解】∵a-b+c＜0，b＜c

∴a＜b-c＜0

拋物線開口向下，故A、B不符合題意

C.∵對稱軸直線x＝﹣>0，a-4,

所以，y1>y2

故選C

【點睛】理解二次函數(shù)的基本性質(zhì).

9．D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）可以求得它們的交點坐標為（﹣，0）或點（1，a+b），然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷a、b的正負情況，進一步即可判斷﹣與a+b的正負情況，進而可得答案．

【詳解】解：解方程組：，得：或，

故二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐標系中的交點在x軸上為（﹣，0）或點（1，a+b）．

在A選項中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故選項A有可能；

在B選項中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，則a+b＞0，故選項B有可能；

在C選項中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故選項C有可能；

在D選項中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，則a+b＜0，故選項D不可能．

故選D．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的性質(zhì)．

10．C

【分析】利用現(xiàn)有一塊長20cm、寬10cm的矩形，將它的四個角各剪去一個邊長為xcm的小正方形，則底面長與寬均減少2xcm，表示出無蓋的長方體盒子底邊的長，進而得出y與x之間的函數(shù)關系式．

【詳解】解：設小正方形邊長為xcm，由題意知：

現(xiàn)在底面長為（20-2x）cm，寬為（10-2x）cm，

則y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），

故選：C．

【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式，表示出長方體盒子底邊的長與寬是解題關鍵．

11．C

【詳解】分析：根據(jù)二次函數(shù)的解析式的二次項系數(shù)判定該函數(shù)圖象的開口方向、根據(jù)頂點式方程確定其圖象的頂點坐標，從而知該二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：∵二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=（x-m）2-1的二次項系數(shù)是1，

∴該二次函數(shù)的開口方向是向上；

又∵該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（m，-1），

∴該二次函數(shù)圖象在x＜m上是減函數(shù)，即y隨x的增大而減小，且對稱軸為直線x=m，

而已知中當x≤1時，y隨x的增大而減小，

∴x≤1，

∴m≥1．

故選C．

12．A

【分析】設拋物線的表達式為y=ax2+3.5，依題意可知圖像經(jīng)過的坐標，由此可得a的值，設球出手時，他跳離地面的高度為hm，則可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．

【詳解】∵當球運行的水平距離為時，達到最大高度，∴拋物線的頂點坐標為，∴設拋物線的解析式為．由題意知圖像過點，∴，解得，拋物線的解析式為．設球出手時，他跳離地面的高度為．

∵拋物線的解析式為，球出手時，球的高度為．

∴，∴．

故選：A．

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，建立合適的平面直角坐標系是解決本題的突破點，求得二次函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．

13．y=﹣（x+2）2+1（答案不唯一）

【分析】寫出一個拋物線開口向下，經(jīng)過已知點坐標即可．

【詳解】設拋物線解析式為y=（x+2）2+1，

故答案為y=（x+2）2+1（答案不唯一）

【點睛】本題考查的知識點是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是熟練的掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

14．

【分析】利用配方法整理即可得解．

【詳解】解：，

所以．

故答案為．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：為常數(shù))；

(2)頂點式：；

(3)交點式(與軸)：．

15．y＝2（x+3）2+1

【分析】由于拋物線平移前后二次項系數(shù)不變，然后根據(jù)頂點式寫出新拋物線解析式．

【詳解】拋物線y＝2x2平移，使頂點移到點P（﹣3，1）的位置，所得新拋物線的表達式為y＝2（x+3）2+1．

故答案為y＝2（x+3）2+1

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．

16．-2或-1或0或1

【分析】由題意函數(shù)與坐標軸有兩個交點，要分兩種情況：①函數(shù)為一次函數(shù)時；②函數(shù)為二次函數(shù)，分兩種情況進行討論，即當拋物線經(jīng)過原點時，此時拋物線與x軸還有一個除原點以外的交點；若拋物線不經(jīng)過原點，則拋物線必與x軸有一個交點，此時Δ=0，求出m的值即可．

【詳解】解：∵函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個不同的交點，

①當函數(shù)為一次函數(shù)時，則m+1=0即m=-1，

此時y=-2x-，與坐標軸有兩個交點；

②當函數(shù)為二次函數(shù)時m+1≠0，即m≠-1，分兩種情況：

當拋物線經(jīng)過原點時，y==0，即m=0，

此時=x(x-2)，

則一個交點在原點，與x軸的另一個交點為(2，0)；

當拋物線不經(jīng)過原點時，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0，

解得：m=-2或1．

綜上，m=-1或0或-2或1時，函數(shù)與坐標軸有兩個交點，

故答案為：-2或-1或0或1．

【點睛】此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關系，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，若方程無根說明函數(shù)與x軸無交點，其圖象在x軸上方或下方，兩者互相轉化，要充分運用這一點來解題．

17．x1＝﹣3，x2＝1

【分析】關于x的方程ax2+bx=mx+n的解為拋物線y=ax2+bx與直線y=mx+n交點的橫坐標，由此即可得到答案．

【詳解】∵拋物線y=ax2+bx與直線y=mx+n相交于點A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴關于x的方程ax2+bx=mx+n的解為x1=﹣3，x2=1．

故答案為x1=﹣3，x2=1．

【點睛】本題考查了拋物線與直線的交點問題：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．

18．或2．

【分析】分類討論：a＜0，a＞0，根據(jù)函數(shù)的增減性，可得答案．

【詳解】當a＜0，x＝2時，y最大值＝4a﹣12a+a2﹣8a+3＝5，

解得：a1＝8+（不合題意舍去），a2＝8﹣（不合題意舍去），

當a＞0，x＝﹣1時，y最大值＝a+6a+a2﹣8a+3＝5，

解得：a＝2或a＝﹣1（舍去）．

綜上所述，a的值是2．

故答案是：或2．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，函數(shù)的頂點坐標是最大值，利用函數(shù)的增減性得出函數(shù)的最值，分類討論是解題關鍵．

19．①②

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、與x軸、y軸的交點坐標以及最大值和最小值進行綜合判斷即可．

【詳解】解：由圖可知，x＝1時，a+b+c＜0，故①正確；

∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正確；

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a＜0，故③錯誤；

綜上所述，結論正確的是①②．

故答案為：①②．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．

20．

【分析】用頂點式表達式，把點（1，-2）代入表達式求得a即可．

【詳解】解：用頂點式表達式：y=a（x﹣2）2+1，把點（1，﹣2）代入表達式，解得：a=﹣3，

∴函數(shù)表達式為：y=﹣3（x﹣2）2+1=﹣3x2+12x﹣11．

【點睛】考查的是求函數(shù)表達式，本題用頂點式表達式較為簡便．

21．（1）二次函數(shù)與x軸的交點坐標為（1，0）（3，0），拋物線的頂點坐標為（2，﹣1）；

（2）圖見詳解；當y＜0時，1＜x＜3．

【分析】（1）令y=0，可求出x的值，即為與x軸的交點坐標；將二次函數(shù)化為頂點式即可得出頂點坐標

（2）根據(jù)與x軸的交點坐標，頂點坐標，與y軸的交點即可畫出圖像，再根據(jù)圖像信息即可得出x的取值范圍.

【詳解】（1）當y＝0時，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，

所以該二次函數(shù)與x軸的交點坐標為（1，0）（3，0）；

因為y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，

所以拋物線的頂點坐標為（2，﹣1）；

（2）函數(shù)圖象如圖：

由圖象可知，當y＜0時，1＜x＜3．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵.

22．（1）w＝﹣2x2+300x﹣10000；（2）每件小電器的銷售價格定為80元時，才能使該款小電器每天獲得的利潤是1200元．

【分析】（1）直接利用銷量×每件的利潤＝總利潤進而得出函數(shù)關系式；

（2）利用總利潤＝1200，進而解方程得出答案．

【詳解】（1）由題意可得：w＝（x﹣50）（﹣2x+200）＝﹣2x2+300x﹣10000；

（2）由題意可得：1200＝﹣2x2+300x﹣10000，

解得：x1＝70（不合題意舍去），

x2＝80，

答：每件小電器的銷售價格定為80元時，才能使該款小電器每天獲得的利潤是1200元．

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用以及二次函數(shù)的應用，正確得出函數(shù)關系式是解題關鍵．

23．（1）S=，≤x＜8；（2）AB=5米；（3）46.67．

【分析】（1）用含x的代數(shù)式表示BC的長，后根據(jù)長方形的面積公式計算即可，確定x的范圍時從BC大于0且BC≤10，兩個角度確定；

（2）轉化成x的一元二次方程求解，注意根的大小必須滿足（1）的取值范圍；

（3）配成頂點式，根據(jù)x的范圍，函數(shù)的增減性計算即可．

【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF是矩形，四邊形EFCD是矩形，

∴AB=CD=EF=x，

∴BC=24-3x，

∴S=AB×BC=x（24-3x）=，

∵24-3x＞0，24-3x≤10，

∴≤x＜8，

∴S=，≤x＜8；

（2）根據(jù)題意，得=45，

解得，

∵≤x＜8，

∴舍去，

∴AB=5（米）；

（3）∵S=

=，

∴對稱軸為直線x=4，

∵≤x＜8，且在對稱軸右側y隨x的增大而減小，

∴當x=時，S有最大值，

∴S=≈46.67．

即當AB=米時，S的最大值為46.67．

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，拋物線的對稱軸，增減性，熟練掌握拋物線的增減性是解題的關鍵．

24．（1）y=x2-x-2；（2）點P坐標為或或．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式；

（2）分3種情況：①如圖1中，當四邊形PCBM是平行四邊形時；②如圖2中，當四邊形PMCB是平行四邊形時；③當BC為對角線時．利用平移變換以及平行四邊形的性質(zhì)解決問題即可．

【詳解】解：（1）把代入拋物線中，得

，解得，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2；

（2）∵y=x2-x-2＝(x-)2-，

∴對稱軸是直線x=.

①如圖1，當四邊形是平行四邊形時，，且，

∵點B向右平移個單位到點M橫坐標位置，

∴由點C向右平移個單位到點P橫坐標位置，

∵點,

∴，

當時，，

∴；

②如圖2中，當四邊形是平行四邊形時，

∵點C向左平移2個單位到B橫坐標，

∴點M向左平移2個單位到點P橫坐標，

∴點P的橫坐標為．

當