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第四章不定積分第四章不定積分例定義:一、原函數(shù)與不定積分的概念
不定積分的概念與性質(zhì)下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例定義:一、原函數(shù)與不定積分的概念不定積分的概念與性原函數(shù)存在定理:簡(jiǎn)言之:連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題:(1)原函數(shù)是否唯一?例(為任意常數(shù))(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系?下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理:簡(jiǎn)言之:連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題:(1)關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明:(1)若,則對(duì)于任意常數(shù),(2)若和都是的原函數(shù),則(為任意常數(shù))證(為任意常數(shù))下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明:(1)若任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義:被積表達(dá)式積分變量下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)不定積分的定義任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義:被積表達(dá)式積分變量下頁(yè)例1
求解解例2
求下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例1例2
例1求解解例2求下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例1例2例3
設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2)所求曲線方程為下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例3例3設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等顯然,求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義,可知結(jié)論:微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)顯然,求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義,可知結(jié)論實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式?結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的,因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式?結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分基本積分表
是常數(shù));說(shuō)明:簡(jiǎn)寫為下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)基本積分表基本積分表是常數(shù));說(shuō)明:簡(jiǎn)寫為下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)基本積分表下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)基本積分表下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)基本積分表下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)基本積分表下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)基本積分表例4
求積分解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例4例4求積分解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例4證等式成立.(此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況)三、不定積分的性質(zhì)下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)證等式成立.(此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況)三、不例5
求積分解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例5例5求積分解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例5例6
求積分解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例6例6求積分解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例6例7
求積分解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例7例7求積分解下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例7例8
求積分解說(shuō)明:以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形,才能使用基本積分表.下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例8例8求積分解說(shuō)明:以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變解所求曲線方程為下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例9
解所求曲線方程為下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)例9基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)
原函數(shù)的概念:不定積分的概念:求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念:不定積分的概念思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)?為什么?下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)思考題思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯(cuò)誤所以在內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論每一個(gè)含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù).下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)思考題解答思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯(cuò)誤所以練習(xí)題下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)練習(xí)題練習(xí)題下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)練習(xí)題下頁(yè)上頁(yè)首頁(yè)練習(xí)題
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