湖南省長沙市宗第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省長沙市宗第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線C2：的右焦點(diǎn)的連線在第一象限內(nèi)與C1交于點(diǎn)M，若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線方程，求出C1：x2=2py在x取直線與拋物線交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與p的關(guān)系，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求得p的值．【解答】解：由拋物線C1：x2=2py（p＞0），可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，）．由雙曲線C2：得a=，b=1，c=2．所以雙曲線的右焦點(diǎn)為（2，0）．則拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線所在直線方程為px+4y﹣2p=0①．設(shè)該直線交拋物線于M（x0，），則C在點(diǎn)M處的切線的斜率為．由題意可知=，得x0=p，代入M點(diǎn)得M（p，p）把M點(diǎn)代入①得：p×p+4×p﹣2p=0．解得p=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．2.一個(gè)袋子里裝有紅、黃、綠三種顏色的球各2個(gè)，這6個(gè)球除顏色外完全相同，從中摸出2個(gè)球，則這2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】先求出基本事件總數(shù)n=，這2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的對(duì)立事件是這2個(gè)球都不是紅球，由此能求出這2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的概率．【解答】解：一個(gè)袋子里裝有紅、黃、綠三種顏色的球各2個(gè)，這6個(gè)球除顏色外完全相同，從中摸出2個(gè)球，基本事件總數(shù)n=，這2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的對(duì)立事件是這2個(gè)球都不是紅球，這2個(gè)球中至少有1個(gè)是紅球的概率是p=1﹣=1﹣=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．3.在區(qū)間中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓（x﹣3）2+y2=1相交”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】利用圓心到直線的距離小于半徑可得到直線與圓相交，可求出滿足條件的k，最后根據(jù)幾何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圓（x﹣3）2+y2=1的圓心為（3，0），半徑為1．要使直線y=kx與圓（x﹣3）2+y2=1相交，則圓心到直線y=kx的距離＜1，解得﹣＜k＜．在區(qū)間中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓（x﹣2）2+y2=1相交”發(fā)生的概率為=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何概型的概率，以及直線與圓相交的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵弄清概率類型，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.中國古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，如圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．34參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案．【解答】解：∵輸入的x=2，n=2，當(dāng)輸入的a為2時(shí)，S=2，k=1，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)再次輸入的a為2時(shí)，S=6，k=2，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)輸入的a為5時(shí)，S=17，k=3，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的S值為17，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時(shí)，可采用模擬程序法進(jìn)行解答．5.若則(

)

A．a(chǎn)<b<c

B．a(chǎn)<c<b

C．c<a<b

D．b<c<a參考答案：B6.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有、種

、種

、種

、種參考答案：A7.函數(shù)的圖象大致是A. B.C.

D.參考答案：A本題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查了分析問題與解決問題的能力.由函數(shù)的奇偶性的定義可知，函數(shù)是奇函數(shù)，故排除C；令x=2，y>0,排除D；令,y<0,排除B，故答案為A.8.觀察下列各式：，，則的末兩位數(shù)字為（

）A.01 B.43 C.07 D.49參考答案：B9.已知集合，且、都是全集的子集，則右圖韋恩圖中陰影部分表示的集合為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知0＜a＜1，x=loga+loga，y=loga5，z=loga﹣loga，則(

)A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】先化簡x、y、z然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小即可．【解答】解：x=loga+loga=loga，y=loga5=loga，z=loga﹣loga=loga，∵0＜a＜1，又＜＜，∴l(xiāng)oga＞loga＞loga，即y＞x＞z．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)的化簡，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（幾何證明選講）如圖，已知是⊙的切線，是切點(diǎn)，直線交⊙于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長交⊙于點(diǎn)，若，則

．參考答案：12.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是

參考答案：試題分析：不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖，設(shè)，則的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率，由，得，即，此時(shí)的斜率由，得，即，此時(shí)的斜率，則，故的答案為考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用13.如圖，平行四邊形的兩對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).若，，且，則

.參考答案：略14.對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(X),若存在閉區(qū)間和常數(shù)c，使得對(duì)任意x1,都有，且對(duì)任意x2D,當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù).給出下列說法：①“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值；②函數(shù)為R上的“平頂型”函數(shù)；③函數(shù)f(x)=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù)；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)，是區(qū)間上的“平頂型”函數(shù).其中正確的是________.(填上你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)）參考答案：①④15.若α∈，且sinα＝，則sin＋cos＝

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；兩角和與差的正弦函數(shù).C2,C5【答案解析】解析：解：∵，且，∴cosα=﹣,又=cosα∴=×（﹣）=故答案為【思路點(diǎn)撥】由題設(shè)條件知本題是一個(gè)三角化簡求值題，可先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出角α的余弦，再由正弦的和角公式，余弦的和角公式將展開成用角α的余弦，正弦表示，代入值即可求得答案16.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于________．參考答案：17.一個(gè)圓錐與一個(gè)球的體積相等且圓錐的底面半徑是球半徑的2倍，若圓錐的高為1，則球的表面積為．參考答案：4π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】設(shè)出球的半徑，求出球的體積，利用圓錐與球的體積相等，圓錐的高為1，求出球的半徑，然后求出球的表面積．【解答】解：設(shè)球的半徑為：r，則球的體積為：．∵圓錐與球的體積相等，圓錐的高為1，∴=，∴r=1，∴球的表面積為：4πr2=4π．故答案為：4π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐與球的表面積與體積，考查計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax+1nx（a∈R），g（x）=ex．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)a=0時(shí)，g（x）＞f（x）+2．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出f（x）的定義域是（0，+∞），導(dǎo)函數(shù)，通過10當(dāng)a≥0時(shí)；20當(dāng)a＜0時(shí)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）求出函數(shù)的定義域，化簡令F（X）=ex﹣lnx，求出導(dǎo)函數(shù)，通過二次求導(dǎo)，求出函數(shù)的最值，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值即可．【解答】（本小題滿分12分）解（1）f（x）的定義域是（0，+∞），10當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，所以在（0，+∞）單調(diào)遞增；20當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0，解得．則當(dāng)時(shí)．f'（x）＞0，所以f（x）單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）增區(qū)間是，減區(qū)間是．

…（2）f（x）=lnx，f（x）與g（x）的公共定義域?yàn)椋?，+∞），令F（X）=ex﹣lnx，，，所以F'（x）單調(diào)遞增因?yàn)?，所以存在唯一使得，∴且?dāng)x∈（0，x0）時(shí)F'（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)F'（x）＞0，F(xiàn)（x）當(dāng)遞增；所以故g（x）＞f（x）+2．

…19.(本小題滿分13分)某學(xué)校在一次慶?；顒?dòng)中組織了一場知識(shí)競賽，該競賽設(shè)有三輪，前兩輪各有四題，只有答正確其中三題，才能進(jìn)入下一輪，否則將被淘汰。最后第三輪有三題，這三題都答對(duì)的同學(xué)獲得獎(jiǎng)金500元．某同學(xué)參與了此次知識(shí)競賽，且該同學(xué)前兩輪每題答正確的概率均為，第三輪每題答正確的概率，各題正確與否互不影響．在競賽過程中，該同學(xué)不放棄所有機(jī)會(huì)．（1）求該同學(xué)能進(jìn)入第三輪的概率；（2）求該同學(xué)獲得500元獎(jiǎng)金的概率.參考答案：（1）設(shè)該同學(xué)能進(jìn)入第三輪為事件A，則高考資源網(wǎng)

（2）該同學(xué)獲得500元獎(jiǎng)金的概率.=

=

20.坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線:（t為參數(shù)），圓:

(為參數(shù))，（Ⅰ)當(dāng)=時(shí)，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）過坐標(biāo)原點(diǎn)作的垂線，垂足為,為的中點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.

參考答案：（1）連接、，則

又是BC的中點(diǎn)，所以

又，

所以.。。。。。。。。。。。3分

所以

所以、、、四點(diǎn)共圓

。。。。。。。5分

（2）延長交圓于點(diǎn)

因?yàn)?。。。。。7分

所以所以。。。。。。。。。。10分略21.（13分）解析：已知定圓圓心為A，動(dòng)圓M過點(diǎn)B(1,0)且和圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡記為C.

（I）求曲線C的方程；

（II）若點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，求證：直線與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn).參考答案：

解析：（I）解：圓A的圓心為，設(shè)動(dòng)圓M的圓心由|AB|=2，可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，故|MA|=r1—r2，即|MA|+|MB|=4，所以，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為，由故曲線C的方程為

…………6分

（II）解：當(dāng)，消去

①由點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，于是方程①可以化簡為

解得，綜上，直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為.

…………1322.在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A的直線與其外接圓交于點(diǎn)P，交BC延長線于點(diǎn)D．（1）求證：；（2）若AC=3，求AP?AD的值．參考答案：考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定．專題：計(jì)算題；證明題．分析：（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠