陜西省安康市漢濱區(qū)七校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試卷（含解析）

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學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題

1、已知i是虛數(shù)單位，則等于()

A.B.C.D.

2、用分析法證明：要使①，只需②，這里①是②的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3、如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為BC延長線上一點(diǎn)，，則()

A.B.C.D.

4、“猜想”又稱“角谷猜想”、“克拉茨猜想”、“冰雹猜想”，它是指對于任意一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n是奇數(shù)，就將它乘3加1，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，最終總能夠得到1.已知正整數(shù)數(shù)列滿足上述變換規(guī)則，即：.若，則()

A.1B.2C.3D.16

5、動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則動點(diǎn)P的軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線C.雙曲線的一支D.拋物線

6、設(shè)雙曲線：的離心率為，則C的漸近線方程為()

A.B.C.D.

7、如圖，陰影部分的面積是()

A.B.C.D.

8、函數(shù)的圖象大致是()

A.B.C.D.

9、王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學(xué)生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個學(xué)習(xí)小組的釘釘群，群的成員由學(xué)生、家長、老師共同組成.已知該釘釘群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該釘釘群人數(shù)的最小值為()

A.-18B.20C.22D.28

10、已知，直線與曲線相切，則()

A.B.-1C.-2D.-e

11、如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)時，其離心率，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率()

A.B.C.D.

12、已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若在上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.B.C.D.

二、填空題

13、命題“，”的否定是“________”.

14、北京冬奧會短道速滑隊(duì)組織甲、乙、丙等6名隊(duì)員參加選拔賽，已知比賽結(jié)果沒有并列名次，記“甲得第一名”為p，“乙得第一名”為q，“丙得第一名”為r，若是真命題，是真命題，則得第一名的是________.

15、已知空間向量，，兩兩夾角均為，其模均為1，則________.

16、設(shè)，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足，則的面積是________.

三、解答題

17、已知復(fù)數(shù)（，i是虛數(shù)單位）.

（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；

（2）設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的取值范圍.

18、計(jì)算：，；所以；又計(jì)算：，，；所以，.

（1）分析以上結(jié)論，試寫出一個一般性的命題；

（2）判斷該命題的真假，若為真，請用分析法給出證明；若為假，請說明理由.

19、已知數(shù)列中，.

（1）求，，的值；

（2）猜測的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

20、已知四棱錐的底面ABCD是等腰梯形，，，，，.

（1）證明：平面平面ABCD；

（2）求二面角的余弦值.

21、已知橢圓C：的離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l經(jīng)過C的左焦點(diǎn)且與C相交于B、D兩點(diǎn)，以線段BD為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)，求l的方程.

22、已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，是否恒成立，并說明理由.

參考答案

1、答案：A

解析：已知i是虛數(shù)單位，則

故選A

2、答案：B

解析：分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論成立的充分條件成立，即，所以①是②的必要條件，故選B.

3、答案：B

解析：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接，

則且，

四邊形是平行四邊形

且，，

又，

，故選B.

4、答案：D

解析：根據(jù)題意，止整數(shù)經(jīng)過4次運(yùn)算后得到1，

所以正整數(shù)經(jīng)過3次運(yùn)算后得到2，

經(jīng)過2次運(yùn)算后得到4，

經(jīng)過1次運(yùn)算后得到8或1(不符合題意，舍去)，

可得正整數(shù)的值為16，

故選:D

5、答案：D

解析：依題意可知動點(diǎn)在直線的右側(cè)，設(shè)P到直線的距離為d，則，所以動點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，其軌跡為拋物線.

6、答案：C

解析：由題意，雙曲線的離心率為，即，所以，所以C的漸近線方程為.故選:C.

7、答案：C

解析：試題分析:直線與拋物線，解得交點(diǎn)為和，拋物線與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)，設(shè)陰影部分的面積為

，故選C.

8、答案：A

解析：令，得，解得.因此選項(xiàng)D，C中的圖象不正確;，令，得，解得，因此，是函數(shù)的唯一的極大值點(diǎn).因此，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故B錯誤，A正確.故選A.

9、答案：C

解析：設(shè)教師人數(shù)為x，家長人數(shù)為y，女學(xué)生人數(shù)為z，男學(xué)生人數(shù)為t，則，，，則，又教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)，，，當(dāng)時，，此時總?cè)藬?shù)最少，為22.

10、答案：B

解析：因?yàn)橹本€與曲線相切，

所以設(shè)切點(diǎn)為，則，

因?yàn)椋裕?/p>

則切線方程為，

因?yàn)檫^點(diǎn)，代入可得.

令，則在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，且，所以切點(diǎn)為，

則，故選B.

11、答案：B

解析：如圖所示，設(shè)雙曲線方程為，

則，，，所以，.又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?舍去).

12、答案：C

解析：由在上有解，可得，在上有解，

令，則，

則，

則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)時，函數(shù)取德最小值.

故.

故選:C.

13、答案：，

解析：全稱命題“，”的否定是“，”，所以命題“，”的否定是“，”

14、答案：乙

解析：因?yàn)榈谝幻挥幸粋€，所以由是真命題，可得命題p與命題q有且只有一個為真命題，則r必為假命題，又因?yàn)槭钦婷}，則為真命題，故p為假命題，故q為真命題.故答案為:乙.

15、答案：

解析：

16、答案：4

解析：如圖:

由得，，

，，

由題意:，

，

所以，

故答案為:4

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）.

因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以且，解得.

（2）因?yàn)槭莦的共軛復(fù)數(shù)，所以.

所以.

因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，

所以

解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

18、答案：（1）答案見解析

（2）答案見解析

解析：（1）一般性的命題：n是正整數(shù)，則

（2）命題是真命題.

要證：，

只需證明：

只需證明：

整理得：

只需證明：

只需證明：，而此式顯然成立，所以原不等式成立.

19、答案：（1），，

（2）

解析：（1）因?yàn)椋?/p>

所以，

同理，，

即，，；

（2）猜想，

證明如下：

①當(dāng)時，，顯然滿足題意，

②設(shè)，（且）時，，

則，

即當(dāng)時，等式也成立，

綜上可得.

20、答案：（1）證明見解析

（2）

解析：（1）在等腰梯形ABCD中，，

，

，所以，即，

又因?yàn)?，且，平面PBD，平面PBD.所以平面PBD，

又因?yàn)槠矫鍭BCD，因此平面平面ABCD.

（2）如圖，連接PO，由（1）知，平面PBD，所以，

所以，

所以，即，

又，以O(shè)A，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)平面PAD的法向量為，因?yàn)?，?/p>

所以即

令，則，，所以平面PAD的一個法向量，

平面PBD，平面PBD的一個法向量，

所以，

所以二面角的余弦值為.

21、答案：（1）

（2）或

解析：（1）由題意得，，，解得，

橢圓C的方程為；

（2）由題目可知l不是直線，且、，

設(shè)直線l的方程為，點(diǎn)、，

代入橢圓方程，整理得：，

①，②，

由，得：③，④，

，，由題