2022-2023學(xué)年福建省福州市八縣（市）協(xié)作校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合，，則()

A.B.C.D.

2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為()

A.B.C.D.

3.已知，則()

A.B.C.D.

4.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算法商功中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”“三角垛”的最上層即第一層有個球，第二層有個球，第三層有個球，若“三角垛”從第一層到第層的各層的球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則()

A.B.

C.D.

5.已知：，：，則是的條件．()

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

6.已知四邊形是平行四邊形，，若與交于點，且，則()

A.B.C.D.

7.設(shè)點，分別是橢圓：的左、右焦點，點，在上位于第一象限，且點，關(guān)于原點對稱，若，，則的離心率為()

A.B.C.D.

8.已知，，，則()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.對實數(shù)，，，，下列命題中正確的是()

A.若，則

B.若，，則

C.若，，則

D.若，則的最小值是

10.已知圓：和圓：相交于，兩點，點是圓上的動點，定點的坐標為，則下列說法正確的是()

A.圓的圓心為，半徑為B.直線的方程為

C.線段的長為D.的最大值為

11.已知，函數(shù)，下列選項正確的有()

A.若的最小正周期，則

B.當時，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象

C.若在區(qū)間上只有一個零點，則的取值范圍是

D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是

12.在棱長為的正方體中，，分別為，的中點，

則()

A.異面直線與所成角的余弦值為

B.過點，，的平面截正方體所得的截面周長為

C.當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的體積為

D.點為正方形內(nèi)一點，當平面時，的最小值為

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.顧惜同學(xué)和小小老師準備開展高三“喊樓”活動，決定從學(xué)生會文娛部的名男生和名女生中，隨機選取人負責活動的主持工作，則恰好選中一名男生和一名女生的概率為______．

14.請寫出一個同時滿足下列個條件的函數(shù)：______．

；

；

在上單調(diào)遞增．

15.已知向量的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量為______用表示

16.已知函數(shù)存在唯一的極值點，則實數(shù)的取值范圍是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知數(shù)列滿足，．

證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

求數(shù)列落入?yún)^(qū)間的所有項的和．

18.本小題分

為了促進五一假期期間全區(qū)餐飲服務(wù)質(zhì)量的提升，霜寒同學(xué)和他的朋友們需了解游客對餐飲服務(wù)工作的認可程度為此該部門隨機調(diào)查了名游客，根據(jù)這名游客對餐飲服務(wù)工作認可程度給出的評分，分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

求直方圖中的值和第百分位數(shù)；

為了解部分游客給餐飲服務(wù)工作評分較低的原因，該部門從評分低于分的游客中用分層抽樣的方法隨機選取人作進一步調(diào)查，求應(yīng)選取評分在的游客人數(shù)；

若游客的“認可系數(shù)”認可系數(shù)不低于，餐飲服務(wù)工作按原方案繼續(xù)實施，否則需進一步整改根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，結(jié)合“認可系數(shù)”，判斷餐飲服務(wù)工作是否需要進一步整改，并說明理由．

19.本小題分

已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且．

證明：；

若，求的長度．

20.本小題分

如圖，三棱臺中，，是的中點，是棱上的動點．

試確定點的位置，使得平面；

已知平面，且設(shè)直線與平面所成的角為，試在的條件下，求的最大值．

21.本小題分

如圖，正六邊形的邊長為已知雙曲線的焦點分別為，，兩條漸近線分別為直線，．

建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求的方程?/p>

過點的直線與交于，兩點，，若點滿足，證明：點在一條定直線上．

22.本小題分

已知函數(shù)，其中，．

若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

已知，是函數(shù)的兩個零點，且，證明：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由題，，，

則．

故選：．

根據(jù)題意列舉法表示集合，再根據(jù)并集的運算求解即可．

本題主要考查了集合并集運算，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：，

則，虛部為．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：因為，

所以，

可得，

則．

故選：．

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進而利用二倍角的正切公式即可求解的值．

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，有，，，，

則有：，，，，

歸納可得：，D正確；

故，A錯誤；

同時有：，，兩式相減可得：，即，C錯誤；

同時：，

則，B錯誤；

故選：．

根據(jù)題意，分析數(shù)列的前幾項，由此歸納的表達式，由此分析選項可得答案．

本題考查合情推理的應(yīng)用，注意歸納數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，若，則，

反之，當，時，滿足，但，

故是的充分不必要條件．

故選：．

根據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)證明充分性，舉出反例說明不必要，綜合可得答案．

本題考查充分必要條件的判定，涉及不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由四邊形是平行四邊形，且，

可知∽，且，

所以

，

則．

故選：．

根據(jù)為邊上三等分點，可得三角形與三角形的相似比為：，從而得到與的關(guān)系，進而利用向量線性運算進行代換即可求得．

本題考查平面向量線性運算，屬基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：，分別是橢圓：的左、右焦點，

又點，在上位于第一象限，且點，關(guān)于原點對稱，且，

根據(jù)對稱性可知四邊形為矩形，又，

，又，

，，又，，

，

，

，

．

故選：．

根據(jù)對稱性可知四邊形為矩形，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)，勾股定理，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：設(shè)，，

則，，則在上單調(diào)遞增，

所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，則，即，

設(shè)，，

則，所以在上單調(diào)遞增，

則，即，所以，即，所以，

則．

故選：．

設(shè)，，然后利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，進而可以比較，；設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，進而可以比較，，由此即可求解．

本題考查了三角函數(shù)值比較大小的問題，涉及到函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于，若，，則，故A錯誤；

對于，若，，則，

所以，故B正確；

對于，若，，則，

所以，故C正確；

對于，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

若，則，故D錯誤．

故選：．

利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法逐個判斷各個選項即可．

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，考查了作差法比較大小，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，圓：，其圓心為，半徑，

圓：，即，

其圓心為，半徑，故A錯誤；

聯(lián)立圓：和圓：，消去二次項，

可得直線的方程為，故B正確；

圓：的圓心為，半徑，

圓心到直線的距離為，

所以線段的長為，故C正確；

，則的最大值為，D正確．

故選：．

根據(jù)題意，由圓的方程分析兩圓的圓心和半徑，由此依次分析個選項，即可得答案．

本題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：，函數(shù)，

若的最小正周期，則，故A正確．

當時，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，

得到的圖象，故B錯誤．

當時，，

在區(qū)間上只有一個零點，

，解得，則的取值范圍是，故C正確．

當時，，

若在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，，解得，

的取值范為，故D錯誤．

故選：．

由題意，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別判斷各選項即可得出結(jié)論．

本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對于，由于，又，

所以與所成角的余弦值為，A正確；

對于，過點，，的平面截正方體所得的截面如下圖五邊形，

其中為線段上靠近的的三等分點，為線段上靠近的三等分點，，

根據(jù)幾何關(guān)系可得，，，

所以五邊形的周長為，B正確．

對于，如下圖可知三棱錐的外接球半徑即為棱長分別為，，的長方體的體對角線的一半，

球的半徑為，球的體積為，C錯誤；

對于，如下圖，以為原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，所以平面的一個法向量，

設(shè)，則，

令，即，所以有，

所以，

當且僅當時等號成立，

所以，D正確．

故選：．

根據(jù)立體幾何知識，結(jié)合圖形對各選項進行分析即可．

本題主要考查立體幾何相關(guān)計算，屬中檔題．

13.【答案】

【解析】解：由題意，從名男生和名女生中，隨機選取人，

恰好選中一名男生和一名女生的概率為．

故答案為：．

由古典概型公式直接可得．

本題考查古典概型及其概率計算，屬基礎(chǔ)題．

14.【答案】答案不唯一．

【解析】解：根據(jù)題意，若，則為偶函數(shù)，

若，則是周期為的周期函數(shù)，

又由在上單調(diào)遞增，則可以為余弦函數(shù)的變形形式，如．

故答案為：答案不唯一．

根據(jù)題意，分析可得的周期和奇偶性，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．

本題考查函數(shù)的解析式求法，涉及函數(shù)的周期、奇偶性的分析，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：向量，的夾角為，且，

，

，

向量在向量上的投影向量為．

故答案為：．

根據(jù)已知條件，先求出的值，即可推出的值，再結(jié)合投影向量的公式，即可求解．

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：因為，，

所以，

依題意可得存在唯一的變號正實根，

即存在唯一的變號正實根，

當時，，方程只有唯一變號正實根，符合題意，

當，方程，即沒有除之外的正實根，

令，則，

所以當時，，當時，，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

綜上可得

故答案為：

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意存在唯一的變號正實根，即存在唯一的變號正實根，當符合題意，當時參變分離可得沒有除之外的正實根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出的取值范圍．

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查分類討論思想以及運算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：證明：，

，

是以為首項，為公比的等比數(shù)列；

，

；

令，

即，

由于，

則，

又數(shù)列的前項和為，

則數(shù)列落入?yún)^(qū)間的所有項的和為．

【解析】將數(shù)列的遞推公式變形，可得，即可得到結(jié)論，進而可求數(shù)列的通項，再求數(shù)列的通項公式；

易知此時，由此可求得答案．

本題考查數(shù)列通項的求法以及數(shù)列的求和，由數(shù)列的遞推公式，通過構(gòu)造新的等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式，是?？贾R點，正確變形是關(guān)鍵，屬于中檔題．

18.【答案】解：由圖可知：，解得，

設(shè)第百分位數(shù)為，則，解得，

即第百分位數(shù)為；

低于分的游客中三組游客的人數(shù)比例為：：：：，

則應(yīng)選取評分在的游客人數(shù)為：；

由圖可知，認可程度平均分為：

，

餐飲服務(wù)工作工作需要進一步整改．

【解析】由頻率分布直方圖中所有頻率和為可求得，在頻率分布直方圖中頻率對應(yīng)的數(shù)為第分位數(shù)；

由低于分的游客中三組游客的人數(shù)比例進行計算；

由頻率分布直方圖求出平均值后比較可得．

本題考查頻率分布直方圖，百分位數(shù)，分層抽樣等知識，屬基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：證明：在三角形中，，

則，

整理可得：，

由正弦定理及余弦定理可得，

整理可得：；

即證得成立；

，，

由余弦定理可得，即，

即，而，，

可得，因為，

所以，

所以．

所以的長度為．

【解析】在三角形中，由正余弦定理可證得結(jié)論；

由余弦定理及可得，的值，由向量的運算性質(zhì)可得的大?。?/p>

本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，向量的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

20.【答案】解：連接，，

三棱臺中，，是的中點，是棱上的動點，

，，

四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面，

又平面，且，平面，，

平面平面，

又平面平面，平面平面，，

是中點，是的中點，

在的中點處，平面；

平面，平面，

，又，，

平面，

平面，，

由知是的中點，是的中點，

，，

連接，，，四邊形是平行四邊形，

，平面，平面，

，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，

則，，，，，，

，，

設(shè)平面的法向量為，

則，取，則，

又，

，，

當且僅當，即時，取等號，

的最大值為．

【解析】根據(jù)線線平行可得四邊形為平行四邊形，進而可得平面，又得平面平面由面面平行的性質(zhì)即可得線線平行，即可求解；

根據(jù)線線垂直可得線面垂直，即可建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可得，結(jié)合基本不等式即可求解．

本題主要考查線面平行的判定，直線與平面所成角的求法，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：依題意，以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，

因為在正六邊形中，為正三角形，，，

設(shè)雙曲線的方程