功率譜估計課件

1第四章功率譜估計1第四章功率譜估計2譜估計的基本任務(wù)是根據(jù)有限個觀測數(shù)據(jù)，估計平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度。譜：頻譜，功率譜對于我們所研究的信號，隨機平穩(wěn)信號，功率譜2譜估計的基本任務(wù)是根據(jù)有限個觀測數(shù)據(jù)，估計平穩(wěn)隨機過程的功34.1引言時鐘,日歷:經(jīng)驗譜棱鏡分解一束光:光譜每一種譜估計的技術(shù)都可以認為是一種模型法，具體地說，就是根據(jù)過程的先驗知識，建立一個近似實際過程的模型；其次利用觀測數(shù)據(jù)或自相關(guān)函數(shù)來估計函數(shù)的模型參數(shù)，最后做譜估計。34.1引言時鐘,日歷:經(jīng)驗譜4維納——辛欽定理

4維納——辛欽定理5

功率譜的另一種定義5功率譜的另一種定義6當信號具有遍歷性時6當信號具有遍歷性時7辭?！V(1)按照事務(wù)的類別或系統(tǒng)編成的表冊，年譜(2)供示范或?qū)z用的圖書、樣本，如棋譜、畫譜、臉譜(3)曲線：樂譜(4)按歌詞作曲，曲譜(5)大致的依據(jù)、打算：心里有譜,做事沒譜(6)左右、大約：三十元之譜7辭?！V(1)按照事務(wù)的類別或系統(tǒng)編成的表冊，年譜8復(fù)雜振動用譜線表示時，代表各振動的頻率和振幅的一系列直線，譜線數(shù)反映了該復(fù)雜振動所包含的諧振動的個數(shù)，各譜線的長短。譜線8復(fù)雜振動用譜線表示時，代表各振動的頻率和振幅的一系列直線，9考慮到是觀測數(shù)據(jù)，是隨機變量，取統(tǒng)計平均910二、譜估計方法的概述10二、譜估計方法的概述111112頻率分辯率低，這是由于有限個觀測數(shù)據(jù)加窗截斷的影響。主瓣：功率譜向附近頻域擴展，譜模糊，頻率分辯率低。旁瓣：譜間干擾，強信號的旁瓣影響弱信號的檢測，淹沒弱信號；或者把旁瓣誤以為信號。經(jīng)典譜估計的缺點12頻率分辯率低，這是由于有限個觀測數(shù)據(jù)加窗截斷的影響。經(jīng)典13估計質(zhì)量比經(jīng)典譜估計質(zhì)量有很大提高，需要針對不同的信號，選擇合適的模型，但目前尚未有任何理論來指導(dǎo)模型的選擇。一般來說，AR模型適合有譜峰的信號，MA模型適合有波谷的信號?，F(xiàn)代譜估計13估計質(zhì)量比經(jīng)典譜估計質(zhì)量有很大提高，需要針對不同的信號，144.2經(jīng)典譜估計144.2經(jīng)典譜估計15一、BT法15一、BT法161958年，Blackman和Tukey提出，在1965年FFT算法出現(xiàn)之前，BT法一直是最常用的方法。理論基礎(chǔ)：維納——辛欽定理自相關(guān)函數(shù)的估計功率譜的估計161958年，Blackman和Tukey提出，在196517根據(jù)前面的分析已經(jīng)知道，有偏自相關(guān)函數(shù)的估計優(yōu)于無偏自相關(guān)函數(shù)的估計17根據(jù)前面的分析已經(jīng)知道，有偏自相關(guān)函數(shù)的估計優(yōu)于無偏自相18實際上，根據(jù)有限個觀測數(shù)據(jù)來估計自相關(guān)函數(shù)的，假設(shè)信號為，進入自相關(guān)函數(shù)估計的為，估計得到得自相關(guān)函數(shù)，則18實際上，根據(jù)有限個觀測數(shù)據(jù)來估計自相關(guān)函數(shù)的，假設(shè)信號為1919202021

是由于截斷數(shù)據(jù)而產(chǎn)生的，為了減少截斷的影響，通常要增加一個窗函數(shù)進行平滑處理。設(shè)平滑窗為

.21是由于截斷數(shù)據(jù)而產(chǎn)生的，為了減少截斷的影響，22功率譜22功率譜23設(shè)的持續(xù)時間為，需要注意的是，考慮到功率的非負性，在選擇窗函數(shù)的時候，一定要保證功率譜是一個非負值。23設(shè)的持續(xù)時間為24誤差分析24誤差分析25可以看出，方差小M小偏移小M大主瓣窄，頻率分辯率高通常Ｍ取數(shù)據(jù)長度的．i.e.25可以看出，方差小M小26二．周期圖法26二．周期圖法27忽略求統(tǒng)計平均運算1.原理：用DFT計算功率譜27忽略求統(tǒng)計平均運算1.原理：用DFT計算功率譜282.與BT法的關(guān)系282.與BT法的關(guān)系29周期圖的譜估計與有偏自相關(guān)函數(shù)的估計等價序列后面加零，F(xiàn)FT譜線變密，頻率分辨率并沒有提高。29周期圖的譜估計與有偏自相關(guān)函數(shù)的估計等價303.周期圖譜估計的

性能分析303.周期圖譜估計的

性能分析31(1)均值31(1)均值32其中，

BT法譜估計32其中，BT法譜估計33由(1)式可知因此，周期圖是有偏估計當時，，其頻譜趨近于函數(shù)，周期圖的估計屬于漸近無偏估計33由(1)式可知34（2）方差34（2）方差35假設(shè)x(n)是實的、零均值、正態(tài)白噪聲信號，方差為，則功率譜為常數(shù)。令N為數(shù)據(jù)長度35假設(shè)x(n)是實的、零均值、正態(tài)白噪聲信號，方差為36這里假設(shè)信號是實的白噪聲信號，周期圖估計是無偏估計。36這里假設(shè)信號是實的白噪聲信號，周期圖估計是無偏估計。37要計算周期圖的均方值，先計算37要計算周期圖的均方值，先計算383839394040414142當N→∞時周期圖是非一致估計42當N→∞時43上面的推導(dǎo)是以為依據(jù)進行推導(dǎo)的，其定性結(jié)果在一個相當寬的范圍內(nèi)立。43上面的推導(dǎo)是以44若，k，l均為整數(shù)，則44若45當且k+l不是N的整數(shù)倍時,

以的整數(shù)倍為頻率間距的周期圖是不相關(guān)的 協(xié)方差為零的功率譜樣本之間的間距↓，周期圖的起伏增快。45當且k+l不是N的整數(shù)倍時,464647BT法和周期圖法的主要優(yōu)點計算量小功率譜估計值正比于正弦波的功率是一種良好的實用模型47BT法和周期圖法的主要優(yōu)點計算量小48主要缺點:弱信號被強信號的旁瓣淹沒頻率分辯率約為數(shù)據(jù)長度的倒數(shù)，且與數(shù)據(jù)的特征或信噪比無關(guān)出現(xiàn)旁瓣，使譜失真需采用某種平滑或平均措施以改善譜估計的統(tǒng)計特性某些加窗的相關(guān)函數(shù)會使功率譜估計值出現(xiàn)負值48主要缺點:弱信號被強信號的旁瓣淹沒49經(jīng)典譜估計不可能獲得良好的譜估計m↑，參與求和項數(shù)↓，平均效果↓，m=N-1，只有一項。→滯后量以較大的是不可靠的，估計方差大。49經(jīng)典譜估計不可能獲得良好的譜估計m↑，參與求和項數(shù)↓，平50經(jīng)典譜估計不可能獲得良好的譜估計周期圖法用到了m=0~N-1的全部相關(guān)函數(shù)的估計值方差較大，BT法雖然可以通過使相關(guān)函數(shù)的最大滯后量M<N-1來去掉那些不可靠的相關(guān)函數(shù)估計值，但M↓,將FT的求和范圍縮短，變換式本身的近似程度↑。50經(jīng)典譜估計不可能獲得良好的譜估計周期圖法用到了m=0~N51三.經(jīng)典譜估計方法的改進51三.經(jīng)典譜估計方法的改進52窗口處理法：（FFT出現(xiàn)以前）選擇適當?shù)拇昂瘮?shù)作為加權(quán)平均。平均周期圖法：數(shù)據(jù)分段求出各段的平均周期圖取平均

Welch法：改進的Bartlett法52窗口處理法：（FFT出現(xiàn)以前）選擇適當?shù)拇昂瘮?shù)作為加權(quán)平531.平均周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)，第組：531.平均周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)，545455三角窗長度的減少，主瓣變寬，頻率分辨率減少，因此平均周期圖法是以犧牲頻率分辨率換取方差的減小。信號的功率譜55三角窗長度的減少，主瓣變寬，頻率分辨率減少，因此平均周期56如果數(shù)據(jù)是不相關(guān)的（白噪聲），其偏移量、方差如上面的兩式所示。但實際信號存在關(guān)聯(lián)性，因此，在一般情況下，估計方差的減小少于。

當，功率譜越平滑。估計的偏移量與方差是一對矛盾。偏移大小反映的是頻率分辨率。當N確定，，方差減小，頻率分辨率降低。56如果數(shù)據(jù)是不相關(guān)的（白噪聲），其偏移量、方差如上面的兩式57方差減小有明顯效果57方差減小有明顯效果582.窗函數(shù)法582.窗函數(shù)法59選擇一個適當?shù)拇昂瘮?shù)與周期圖卷積，平滑周期圖。59選擇一個適當?shù)拇昂瘮?shù)與周期圖卷積，平滑60由于的長度M<數(shù)據(jù)長度N，因此窗函數(shù)平滑周期圖相當于加了一個短的截斷窗，使得頻率分布率降低，偏移量上升，換取方差的減小。60由于的長度M<數(shù)據(jù)長度N，因此窗613.修正周期圖法（Welch法）613.修正周期圖法（Welch法）62（1）選擇適當?shù)拇昂瘮?shù)，在計算各組周期圖之前加進去。優(yōu)點：無論什么樣的窗函數(shù)，均可使Welch法對Bartlett法做了兩方面的修正62（1）選擇適當?shù)拇昂瘮?shù)，在計算各組周期圖之前加進去。We63歸一化因子63歸一化因子642）在分組時，可使各組數(shù)據(jù)有重疊。方差重疊最高可達50％。642）在分組時，可使各組數(shù)據(jù)有重疊。方差重疊最高65小結(jié)周期圖法直接對有限長序列的觀測值進行FFT，再取模平方，忽略了集合平均。譜估計的結(jié)果仍時一個隨機變量。缺點：不是一致估計，方差較大。增加序列長度并不能改善估計效果。65小結(jié)周期圖法直接對有限長序列的觀測值進行FFT，再取模平66自相關(guān)函數(shù)法

隨機序列值自相關(guān)函數(shù)

PSD隱含的存在一個矩形窗，缺點與周期圖法類似。66自相關(guān)函數(shù)法隨機序列值67當信號具有遍歷性時67當信號具有遍歷性時68忽略求統(tǒng)計平均運算1.原理：用DFT計算功率譜68忽略求統(tǒng)計平均運算1.原理：用DFT計算功率譜69當且k+l不是N的整數(shù)倍時,

以的整數(shù)倍為頻率間距的周期圖是不相關(guān)的 協(xié)方差為零的功率譜樣本之間的間距↓，周期圖的起伏增快。69當且k+l不是N的整數(shù)倍時,701.平均周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)，第組：701.平均周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)，712.窗函數(shù)法712.窗函數(shù)法72（1）選