功率譜估計(jì)課件

1第四章功率譜估計(jì)1第四章功率譜估計(jì)2譜估計(jì)的基本任務(wù)是根據(jù)有限個觀測數(shù)據(jù)，估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度。譜：頻譜，功率譜對于我們所研究的信號，隨機(jī)平穩(wěn)信號，功率譜2譜估計(jì)的基本任務(wù)是根據(jù)有限個觀測數(shù)據(jù)，估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功34.1引言時鐘,日歷:經(jīng)驗(yàn)譜棱鏡分解一束光:光譜每一種譜估計(jì)的技術(shù)都可以認(rèn)為是一種模型法，具體地說，就是根據(jù)過程的先驗(yàn)知識，建立一個近似實(shí)際過程的模型；其次利用觀測數(shù)據(jù)或自相關(guān)函數(shù)來估計(jì)函數(shù)的模型參數(shù)，最后做譜估計(jì)。34.1引言時鐘,日歷:經(jīng)驗(yàn)譜4維納——辛欽定理

4維納——辛欽定理5

功率譜的另一種定義5功率譜的另一種定義6當(dāng)信號具有遍歷性時6當(dāng)信號具有遍歷性時7辭海—譜(1)按照事務(wù)的類別或系統(tǒng)編成的表冊，年譜(2)供示范或?qū)z用的圖書、樣本，如棋譜、畫譜、臉譜(3)曲線：樂譜(4)按歌詞作曲，曲譜(5)大致的依據(jù)、打算：心里有譜,做事沒譜(6)左右、大約：三十元之譜7辭?！V(1)按照事務(wù)的類別或系統(tǒng)編成的表冊，年譜8復(fù)雜振動用譜線表示時，代表各振動的頻率和振幅的一系列直線，譜線數(shù)反映了該復(fù)雜振動所包含的諧振動的個數(shù)，各譜線的長短。譜線8復(fù)雜振動用譜線表示時，代表各振動的頻率和振幅的一系列直線，9考慮到是觀測數(shù)據(jù)，是隨機(jī)變量，取統(tǒng)計(jì)平均910二、譜估計(jì)方法的概述10二、譜估計(jì)方法的概述111112頻率分辯率低，這是由于有限個觀測數(shù)據(jù)加窗截斷的影響。主瓣：功率譜向附近頻域擴(kuò)展，譜模糊，頻率分辯率低。旁瓣：譜間干擾，強(qiáng)信號的旁瓣影響弱信號的檢測，淹沒弱信號；或者把旁瓣誤以為信號。經(jīng)典譜估計(jì)的缺點(diǎn)12頻率分辯率低，這是由于有限個觀測數(shù)據(jù)加窗截斷的影響。經(jīng)典13估計(jì)質(zhì)量比經(jīng)典譜估計(jì)質(zhì)量有很大提高，需要針對不同的信號，選擇合適的模型，但目前尚未有任何理論來指導(dǎo)模型的選擇。一般來說，AR模型適合有譜峰的信號，MA模型適合有波谷的信號。現(xiàn)代譜估計(jì)13估計(jì)質(zhì)量比經(jīng)典譜估計(jì)質(zhì)量有很大提高，需要針對不同的信號，144.2經(jīng)典譜估計(jì)144.2經(jīng)典譜估計(jì)15一、BT法15一、BT法161958年，Blackman和Tukey提出，在1965年FFT算法出現(xiàn)之前，BT法一直是最常用的方法。理論基礎(chǔ)：維納——辛欽定理自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)功率譜的估計(jì)161958年，Blackman和Tukey提出，在196517根據(jù)前面的分析已經(jīng)知道，有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)優(yōu)于無偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)17根據(jù)前面的分析已經(jīng)知道，有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)優(yōu)于無偏自相18實(shí)際上，根據(jù)有限個觀測數(shù)據(jù)來估計(jì)自相關(guān)函數(shù)的，假設(shè)信號為，進(jìn)入自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的為，估計(jì)得到得自相關(guān)函數(shù)，則18實(shí)際上，根據(jù)有限個觀測數(shù)據(jù)來估計(jì)自相關(guān)函數(shù)的，假設(shè)信號為1919202021

是由于截斷數(shù)據(jù)而產(chǎn)生的，為了減少截斷的影響，通常要增加一個窗函數(shù)進(jìn)行平滑處理。設(shè)平滑窗為

.21是由于截斷數(shù)據(jù)而產(chǎn)生的，為了減少截斷的影響，22功率譜22功率譜23設(shè)的持續(xù)時間為，需要注意的是，考慮到功率的非負(fù)性，在選擇窗函數(shù)的時候，一定要保證功率譜是一個非負(fù)值。23設(shè)的持續(xù)時間為24誤差分析24誤差分析25可以看出，方差小M小偏移小M大主瓣窄，頻率分辯率高通常Ｍ取數(shù)據(jù)長度的．i.e.25可以看出，方差小M小26二．周期圖法26二．周期圖法27忽略求統(tǒng)計(jì)平均運(yùn)算1.原理：用DFT計(jì)算功率譜27忽略求統(tǒng)計(jì)平均運(yùn)算1.原理：用DFT計(jì)算功率譜282.與BT法的關(guān)系282.與BT法的關(guān)系29周期圖的譜估計(jì)與有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)等價序列后面加零，F(xiàn)FT譜線變密，頻率分辨率并沒有提高。29周期圖的譜估計(jì)與有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)等價303.周期圖譜估計(jì)的

性能分析303.周期圖譜估計(jì)的

性能分析31(1)均值31(1)均值32其中，

BT法譜估計(jì)32其中，BT法譜估計(jì)33由(1)式可知因此，周期圖是有偏估計(jì)當(dāng)時，，其頻譜趨近于函數(shù)，周期圖的估計(jì)屬于漸近無偏估計(jì)33由(1)式可知34（2）方差34（2）方差35假設(shè)x(n)是實(shí)的、零均值、正態(tài)白噪聲信號，方差為，則功率譜為常數(shù)。令N為數(shù)據(jù)長度35假設(shè)x(n)是實(shí)的、零均值、正態(tài)白噪聲信號，方差為36這里假設(shè)信號是實(shí)的白噪聲信號，周期圖估計(jì)是無偏估計(jì)。36這里假設(shè)信號是實(shí)的白噪聲信號，周期圖估計(jì)是無偏估計(jì)。37要計(jì)算周期圖的均方值，先計(jì)算37要計(jì)算周期圖的均方值，先計(jì)算383839394040414142當(dāng)N→∞時周期圖是非一致估計(jì)42當(dāng)N→∞時43上面的推導(dǎo)是以為依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo)的，其定性結(jié)果在一個相當(dāng)寬的范圍內(nèi)立。43上面的推導(dǎo)是以44若，k，l均為整數(shù)，則44若45當(dāng)且k+l不是N的整數(shù)倍時,

以的整數(shù)倍為頻率間距的周期圖是不相關(guān)的 協(xié)方差為零的功率譜樣本之間的間距↓，周期圖的起伏增快。45當(dāng)且k+l不是N的整數(shù)倍時,464647BT法和周期圖法的主要優(yōu)點(diǎn)計(jì)算量小功率譜估計(jì)值正比于正弦波的功率是一種良好的實(shí)用模型47BT法和周期圖法的主要優(yōu)點(diǎn)計(jì)算量小48主要缺點(diǎn):弱信號被強(qiáng)信號的旁瓣淹沒頻率分辯率約為數(shù)據(jù)長度的倒數(shù)，且與數(shù)據(jù)的特征或信噪比無關(guān)出現(xiàn)旁瓣，使譜失真需采用某種平滑或平均措施以改善譜估計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性某些加窗的相關(guān)函數(shù)會使功率譜估計(jì)值出現(xiàn)負(fù)值48主要缺點(diǎn):弱信號被強(qiáng)信號的旁瓣淹沒49經(jīng)典譜估計(jì)不可能獲得良好的譜估計(jì)m↑，參與求和項(xiàng)數(shù)↓，平均效果↓，m=N-1，只有一項(xiàng)。→滯后量以較大的是不可靠的，估計(jì)方差大。49經(jīng)典譜估計(jì)不可能獲得良好的譜估計(jì)m↑，參與求和項(xiàng)數(shù)↓，平50經(jīng)典譜估計(jì)不可能獲得良好的譜估計(jì)周期圖法用到了m=0~N-1的全部相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值方差較大，BT法雖然可以通過使相關(guān)函數(shù)的最大滯后量M<N-1來去掉那些不可靠的相關(guān)函數(shù)估計(jì)值，但M↓,將FT的求和范圍縮短，變換式本身的近似程度↑。50經(jīng)典譜估計(jì)不可能獲得良好的譜估計(jì)周期圖法用到了m=0~N51三.經(jīng)典譜估計(jì)方法的改進(jìn)51三.經(jīng)典譜估計(jì)方法的改進(jìn)52窗口處理法：（FFT出現(xiàn)以前）選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)作為加權(quán)平均。平均周期圖法：數(shù)據(jù)分段求出各段的平均周期圖取平均

Welch法：改進(jìn)的Bartlett法52窗口處理法：（FFT出現(xiàn)以前）選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)作為加權(quán)平531.平均周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)，第組：531.平均周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)，545455三角窗長度的減少，主瓣變寬，頻率分辨率減少，因此平均周期圖法是以犧牲頻率分辨率換取方差的減小。信號的功率譜55三角窗長度的減少，主瓣變寬，頻率分辨率減少，因此平均周期56如果數(shù)據(jù)是不相關(guān)的（白噪聲），其偏移量、方差如上面的兩式所示。但實(shí)際信號存在關(guān)聯(lián)性，因此，在一般情況下，估計(jì)方差的減小少于。

當(dāng)，功率譜越平滑。估計(jì)的偏移量與方差是一對矛盾。偏移大小反映的是頻率分辨率。當(dāng)N確定，，方差減小，頻率分辨率降低。56如果數(shù)據(jù)是不相關(guān)的（白噪聲），其偏移量、方差如上面的兩式57方差減小有明顯效果57方差減小有明顯效果582.窗函數(shù)法582.窗函數(shù)法59選擇一個適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)與周期圖卷積，平滑周期圖。59選擇一個適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)與周期圖卷積，平滑60由于的長度M<數(shù)據(jù)長度N，因此窗函數(shù)平滑周期圖相當(dāng)于加了一個短的截斷窗，使得頻率分布率降低，偏移量上升，換取方差的減小。60由于的長度M<數(shù)據(jù)長度N，因此窗613.修正周期圖法（Welch法）613.修正周期圖法（Welch法）62（1）選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，在計(jì)算各組周期圖之前加進(jìn)去。優(yōu)點(diǎn)：無論什么樣的窗函數(shù)，均可使Welch法對Bartlett法做了兩方面的修正62（1）選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，在計(jì)算各組周期圖之前加進(jìn)去。We63歸一化因子63歸一化因子642）在分組時，可使各組數(shù)據(jù)有重疊。方差重疊最高可達(dá)50％。642）在分組時，可使各組數(shù)據(jù)有重疊。方差重疊最高65小結(jié)周期圖法直接對有限長序列的觀測值進(jìn)行FFT，再取模平方，忽略了集合平均。譜估計(jì)的結(jié)果仍時一個隨機(jī)變量。缺點(diǎn)：不是一致估計(jì)，方差較大。增加序列長度并不能改善估計(jì)效果。65小結(jié)周期圖法直接對有限長序列的觀測值進(jìn)行FFT，再取模平66自相關(guān)函數(shù)法

隨機(jī)序列值自相關(guān)函數(shù)

PSD隱含的存在一個矩形窗，缺點(diǎn)與周期圖法類似。66自相關(guān)函數(shù)法隨機(jī)序列值67當(dāng)信號具有遍歷性時67當(dāng)信號具有遍歷性時68忽略求統(tǒng)計(jì)平均運(yùn)算1.原理：用DFT計(jì)算功率譜68忽略求統(tǒng)計(jì)平均運(yùn)算1.原理：用DFT計(jì)算功率譜69當(dāng)且k+l不是N的整數(shù)倍時,

以的整數(shù)倍為頻率間距的周期圖是不相關(guān)的 協(xié)方差為零的功率譜樣本之間的間距↓，周期圖的起伏增快。69當(dāng)且k+l不是N的整數(shù)倍時,701.平均周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)，第組：701.平均周期圖分L組，每組有M個數(shù)據(jù)，712.窗函數(shù)法712.窗函數(shù)法72（1）選