江西省豐城四中2023年高二數學第二學期期末聯考試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在一個棱長為的正方體的表面涂上顏色，將其適當分割成棱長為的小正方體，全部放入不透明的口袋中，攪拌均勻后，從中任取一個，取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色的概率是（）A． B． C． D．2．定積分的值為()A． B． C． D．3．傾斜角為的直線經過拋物線：的焦點，且與拋物線交于，兩點（點，分別位于軸的左、右兩側），，則的值是（）A． B． C． D．4．一個袋子中有4個紅球，2個白球，若從中任取2個球，則這2個球中有白球的概率是A． B． C． D．5．三棱錐的棱長全相等，是中點，則直線與直線所成角的正弦值為（）A． B． C． D．6．當取三個不同值時，正態(tài)曲線的圖象如圖所示，則下列選項中正確的是（）A． B．C． D．7．在區(qū)域內任意取一點，則的概率是（）A．0 B． C． D．8．已知變量，之間的一組數據如下表：13572345由散點圖可知變量，具有線性相關，則與的回歸直線必經過點（）A． B． C． D．9．設集合，則下列結論正確的是()A． B． C． D．10．已知，，則函數的零點個數為（）A．3 B．2 C．1 D．011．若直線的參數方程為（為參數），則直線的傾斜角為()A． B． C． D．12．已知函數，的圖象分別與直線交于兩點，則的最小值為

A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，用數學歸納法證明時，有______．14．已知是等腰直角三角形，斜邊，是平面外的一點，且滿足，，則三棱錐外接球的表面積為________．15．記為虛數集，設，則下列類比所得的結論正確的是__________．①由，類比得②由，類比得③由，類比得④由，類比得16．《左傳.僖公十四年》有記載:“皮之不存,毛將焉附?"”這句話的意思是說皮都沒有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基礎,就不能存在.皮之不存,毛將焉附?則“有毛”是“有皮”的__________條件(將正確的序號填入空格處).①充分條件②必要條件③充要條件④既不充分也不必要條件三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，且取相等的單位長度，建立平面直角坐標系，直線的參數方程是（是參數），設點．(Ⅰ)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的參數方程化為普通方程；(Ⅱ)設直線與曲線相交于兩點，求的值．18．（12分）一個口袋內有個不同的紅球，個不同的白球，（1）從中任取個球，紅球的個數不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？19．（12分）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求四邊形的面積.20．（12分）用0，1，2，3，4五個數字組成五位數.（1）求沒有重復數字的五位數的個數；（2）求沒有重復數字的五位偶數的個數.21．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數的單調區(qū)間和極值；（2）若對于任意，都有成立，求實數的取值范圍；（3）若，且，證明：.22．（10分）若二面角的平面角是直角，我們稱平面垂直于平面，記作.（1）如圖，已知，，，且，求證：；（2）如圖，在長方形中，，，將長方形沿對角線翻折，使平面平面，求此時直線與平面所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由在27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結果，根據古典概型及其概率的計算公式，即可求解．【詳解】由題意，在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個，可得試驗發(fā)生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結果，所以所求概率為．故選：C．【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應用，其中解答根據幾何體的結構特征，得出基本事件的總數和所求事件所包含基本事件的個數是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．2、C【解析】

根據微積分基本定理，可知求解，即可.【詳解】故選：C【點睛】本題考查微積分基本定理，屬于較易題.3、D【解析】

設，則，由拋物線的定義，得，，進而可求BE、AE，最后由可求解.【詳解】設，則A、B兩點到準線的距離分別為AC、BD，由拋物線的定義可知：，過A作，垂足為E..故選：D【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了轉化思想，屬于中檔題.4、B【解析】

先計算從中任取2個球的基本事件總數，然后計算這2個球中有白球包含的基本事件個數，由此能求出這2個球中有白球的概率．【詳解】解：一個袋子中有4個紅球，2個白球，將4紅球編號為1，2，3，4；2個白球編號為5，1．從中任取2個球，基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15個，而且這些基本事件的出現是等可能的．用A表示“兩個球中有白球”這一事件，則A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9個，這2個球中有白球的概率是．故選B．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、C【解析】分析：取中點，連接，由三角形中位線定理可得，直線與所成的角即為直線與直線所成角，利用余弦定理及平方關系可得結果.詳解：如圖，取中點，連接，分別為的中點，則為三角形的中位線，，直線與所成的角即為直線與直線所成角，三棱錐的棱長全相等，設棱長為，則，在等邊三角形中，為的中點，為邊上的高，，同理可得，在三角形中，，，直線與直線所成角的正弦值為，故選C.點睛：本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結果一定要取絕對值.6、A【解析】分析：由題意結合正態(tài)分布圖象的性質可知，越小，曲線越“瘦高”，據此即可確定的大小.詳解：由正態(tài)曲線的性質知，當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，所以.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查正態(tài)分布圖象的性質，系數對正態(tài)分布圖象的影響等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.7、C【解析】

求得區(qū)域的面積，x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內部的面積，由幾何概型的計算公式，可得答案．【詳解】根據題意，設O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區(qū)域為以正方形OABC的內部及邊界，其面積為1；x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，在正方形OABC的內部的面積為，由幾何概型的計算公式，可得點P（x，y）滿足x2+y2＜1的概率是；故選C．【點睛】本題考查幾何概型的計算，解題的關鍵是將不等式（組）轉化為平面直角坐標系下的圖形的面積，進而由其公式計算．8、C【解析】

由表中數據求出平均數和即可得到結果.【詳解】由表中數據知，，，則與的回歸直線必經過點.故選：C．【點睛】本題主要考查回歸分析的基本思想及應用，理解并掌握回歸直線方程必經過樣本中心點，屬基礎題.9、B【解析】分析：先根據解分式不等式得集合N，再根據數軸判斷集合M,N之間包含關系，以及根據交集定義求交集.詳解：因為，所以,因此，，選B.點睛：集合的基本運算的關注點(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖．10、B【解析】

由題意可作出函數f(x)和g(x)的圖象，圖象公共點的個數即為函數h(x)=f(x)?g(x)的零點個數．【詳解】可由題意在同一個坐標系中畫出f(x)=2lnx，的圖象，其中紅色的為f(x)=2lnx的圖象，由圖象可知：函數f(x)和g(x)的圖象有2個公共點，即h(x)=f(x)?g(x)的零點個數為2，故選：B．【點睛】本題考查函數的零點問題，屬于函數與方程思想的綜合運用，求零點個數問題通常采用數形結合方法，畫出圖像即可得到交點個數，屬于中等題.11、D【解析】

將直線的參數方程化為普通方程，求出斜率，進而得到傾斜角?！驹斀狻吭O直線的傾斜角為，將直線的參數方程（為參數）消去參數可得，即，所以直線的斜率所以直線的傾斜角，故選D.【點睛】本題考查參數方程和普通方程的互化以及直線的傾斜角，屬于簡單題。12、B【解析】由題意，，其中，，且，所以.令，則，為增函數.令，得.所以.時，時,所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以時,.故選B.點睛：本題的解題關鍵是將要求的量用一個變量來表示，進而利用函數導數得到函數的單調性求最值，本題中有以下幾個難點：（1）多元問題一元化，本題中涉及的變量較多，設法將多個變量建立等量關系，進而得一元函數式；（2）含絕對值的最值問題，先研究絕對值內的式子的范圍，最后再加絕對值處理.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據題意可知，假設，代入可得到，當時，，兩式相減，化簡即可求解出結果?！驹斀狻坑深}可知，，，所以．故答案為?！军c睛】本題主要考查利用數學歸納法證明不等式過程中的歸納遞推步驟。14、【解析】

在平面的投影為的外心，即中點，設球半徑為，則，解得答案.【詳解】，故在平面的投影為的外心，即中點，故球心在直線上，，，設球半徑為，則，解得，故.故答案為：.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.15、③【解析】分析：在數集的擴展過程中，有些性質是可以傳遞的，但有些性質不能傳遞，因此，要判斷類比的結果是否正確，關鍵是要在新的數集里進行論證，當然要想證明一個結論是錯誤的，也可直接舉一個反例，要想得到本題的正確答案，可對3個結論逐一進行分析，不難解答．詳解：A：由a?b∈R，不能類比得x?y∈I，如x=y=i，則xy=﹣1?I，故①不正確；B：由a2≥1，不能類比得x2≥1．如x=i，則x2＜1，故②不正確；C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可類比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故③正確；D：若x，y∈I，當x=1+i，y=﹣i時，x+y＞1，但x，y是兩個虛數，不能比較大?。盛苠e誤故4個結論中，C是正確的．故答案為：③．點睛：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．但類比推理的結論不一定正確，還需要經過證明．16、①【解析】分析：根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．詳解：由題意知“無皮”?“無毛”，所以“有毛”?“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分條件．故答案為：①．點睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為：，直線的參數方程化為普通方程為：（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用兩角和的余弦公式化簡曲線的極坐標方程，然后兩邊乘以轉化為直角坐標方程.利用加減消元法消掉參數，求得直線的普通方程.(Ⅱ)寫出直線標準的參數方程，代入曲線的直角坐標方程，化簡后根據直線參數方程的幾何意義，求得的值.【詳解】解：(Ⅰ)曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為：，即；直線的參數方程化為普通方程為：．(Ⅱ)直線的參數方程化為標準形式為，①將①式代入，得：，②由題意得方程②有兩個不同的根，設是方程②的兩個根，由直線參數方程的幾何意義知：．【點睛】本小題主要考查極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查參數方程轉化為普通方程，考查直線標準參數方程的求法，考查直線參數方程的幾何意義，屬于中檔題.18、（1）115（2）186【解析】

（1）從中任取4個球，紅球的個數不比白球少的取法，紅球4個，紅球3個和白球1個，紅球2個和白球2個，紅球4個，取法有種，紅球3個和白球1個，取法有種；紅球2個和白球2個，取法有種；根據分類計數原理，紅球的個數不比白球少的取法有種．（2）使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.第一種，4紅1白，取法有種；第二種，3紅2白，取法有種，第三種，2紅3白，取法有種，根據分類計數原理，總分不少于7分的取法有19、（1）（2）【解析】

（1）在中由余弦定理得，再由正弦定理能求出；（2），四邊形ABCD的面積，由此能求出結果．【詳解】（1）在平面四邊形中，，，，．中，由余弦定理可得：，∵，∴．（2）中，，【點睛】本題考查角的正弦值、四邊形面積的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、（1）96（2）60【解析】分析：（1）首位有種選法，后四位所剩四個數任意排列有種方法根據分部乘法計數原理，可求沒有重復數字的五位數的個數；（2）由題意，分2類：末尾是0的五位偶數；末尾不是0的五位偶數，最后根據分類加法計數原理，可求沒有重復數字的五位偶數個數.詳解：（I）首位有種選法，后四位所剩四個數任意排列有種方法根據分部乘法計數原理，所求五位數個數為（II）由題意，分2類末尾是0的五位偶數個數有個末尾不是0的五位偶數個數有個∴根據分類加法計數原理，沒有重復數字的五位偶數個數為個點睛：本題考查排列組合知識的綜合應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．21、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解析】

（1），①時，因為，