江西省豐城四中2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的表面涂上顏色，將其適當(dāng)分割成棱長(zhǎng)為的小正方體，全部放入不透明的口袋中，攪拌均勻后，從中任取一個(gè)，取出的小正方體表面僅有一個(gè)面涂有顏色的概率是（）A． B． C． D．2．定積分的值為()A． B． C． D．3．傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，分別位于軸的左、右兩側(cè)），，則的值是（）A． B． C． D．4．一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，若從中任取2個(gè)球，則這2個(gè)球中有白球的概率是A． B． C． D．5．三棱錐的棱長(zhǎng)全相等，是中點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的正弦值為（）A． B． C． D．6．當(dāng)取三個(gè)不同值時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A． B．C． D．7．在區(qū)域內(nèi)任意取一點(diǎn)，則的概率是（）A．0 B． C． D．8．已知變量，之間的一組數(shù)據(jù)如下表：13572345由散點(diǎn)圖可知變量，具有線(xiàn)性相關(guān)，則與的回歸直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A． B． C． D．9．設(shè)集合，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．10．已知，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．011．若直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線(xiàn)的傾斜角為()A． B． C． D．12．已知函數(shù)，的圖象分別與直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則的最小值為

A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，有______．14．已知是等腰直角三角形，斜邊，是平面外的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______．15．記為虛數(shù)集，設(shè)，則下列類(lèi)比所得的結(jié)論正確的是__________．①由，類(lèi)比得②由，類(lèi)比得③由，類(lèi)比得④由，類(lèi)比得16．《左傳.僖公十四年》有記載:“皮之不存,毛將焉附?"”這句話(huà)的意思是說(shuō)皮都沒(méi)有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基礎(chǔ),就不能存在.皮之不存,毛將焉附?則“有毛”是“有皮”的__________條件(將正確的序號(hào)填入空格處).①充分條件②必要條件③充要條件④既不充分也不必要條件三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，且取相等的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)的參數(shù)方程是（是參數(shù)），設(shè)點(diǎn)．(Ⅰ)將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程；(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，求的值．18．（12分）一個(gè)口袋內(nèi)有個(gè)不同的紅球，個(gè)不同的白球，（1）從中任取個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個(gè)紅球記分，取一個(gè)白球記分，從中任取個(gè)球，使總分不少于分的取法有多少種？19．（12分）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求四邊形的面積.20．（12分）用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成五位數(shù).（1）求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)的個(gè)數(shù).21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，且，證明：.22．（10分）若二面角的平面角是直角，我們稱(chēng)平面垂直于平面，記作.（1）如圖，已知，，，且，求證：；（2）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線(xiàn)翻折，使平面平面，求此時(shí)直線(xiàn)與平面所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由在27個(gè)小正方體中選一個(gè)正方體，共有27種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個(gè)面涂有顏色，有6種結(jié)果，根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解．【詳解】由題意，在27個(gè)小正方體中，恰好有三個(gè)面都涂色有顏色的共有8個(gè)，恰好有兩個(gè)都涂有顏色的共12個(gè)，恰好有一個(gè)面都涂有顏色的共6個(gè)，表面沒(méi)涂顏色的1個(gè)，可得試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從27個(gè)小正方體中選一個(gè)正方體，共有27種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個(gè)面涂有顏色，有6種結(jié)果，所以所求概率為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中解答根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得出基本事件的總數(shù)和所求事件所包含基本事件的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

根據(jù)微積分基本定理，可知求解，即可.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理，屬于較易題.3、D【解析】

設(shè)，則，由拋物線(xiàn)的定義，得，，進(jìn)而可求BE、AE，最后由可求解.【詳解】設(shè)，則A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為AC、BD，由拋物線(xiàn)的定義可知：，過(guò)A作，垂足為E..故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.4、B【解析】

先計(jì)算從中任取2個(gè)球的基本事件總數(shù)，然后計(jì)算這2個(gè)球中有白球包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這2個(gè)球中有白球的概率．【詳解】解：一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，將4紅球編號(hào)為1，2，3，4；2個(gè)白球編號(hào)為5，1．從中任取2個(gè)球，基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“兩個(gè)球中有白球”這一事件，則A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9個(gè)，這2個(gè)球中有白球的概率是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5、C【解析】分析：取中點(diǎn)，連接，由三角形中位線(xiàn)定理可得，直線(xiàn)與所成的角即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角，利用余弦定理及平方關(guān)系可得結(jié)果.詳解：如圖，取中點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，則為三角形的中位線(xiàn)，，直線(xiàn)與所成的角即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角，三棱錐的棱長(zhǎng)全相等，設(shè)棱長(zhǎng)為，則，在等邊三角形中，為的中點(diǎn)，為邊上的高，，同理可得，在三角形中，，，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的正弦值為，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查異面直線(xiàn)所成的角，屬于中檔題題.求異面直線(xiàn)所成的角的角先要利用三角形中位線(xiàn)定理以及平行四邊形找到，異面直線(xiàn)所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對(duì)值.6、A【解析】分析：由題意結(jié)合正態(tài)分布圖象的性質(zhì)可知，越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，據(jù)此即可確定的大小.詳解：由正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)知，當(dāng)一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由確定，越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，所以.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布圖象的性質(zhì)，系數(shù)對(duì)正態(tài)分布圖象的影響等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7、C【解析】

求得區(qū)域的面積，x2+y2＜1表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內(nèi)部的面積，由幾何概型的計(jì)算公式，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區(qū)域?yàn)橐哉叫蜲ABC的內(nèi)部及邊界，其面積為1；x2+y2＜1表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，在正方形OABC的內(nèi)部的面積為，由幾何概型的計(jì)算公式，可得點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足x2+y2＜1的概率是；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是將不等式（組）轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的圖形的面積，進(jìn)而由其公式計(jì)算．8、C【解析】

由表中數(shù)據(jù)求出平均數(shù)和即可得到結(jié)果.【詳解】由表中數(shù)據(jù)知，，，則與的回歸直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸分析的基本思想及應(yīng)用，理解并掌握回歸直線(xiàn)方程必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】分析：先根據(jù)解分式不等式得集合N，再根據(jù)數(shù)軸判斷集合M,N之間包含關(guān)系，以及根據(jù)交集定義求交集.詳解：因?yàn)?，所?因此，，選B.點(diǎn)睛：集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提．(2)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．10、B【解析】

由題意可作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】可由題意在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出f(x)=2lnx，的圖象，其中紅色的為f(x)=2lnx的圖象，由圖象可知：函數(shù)f(x)和g(x)的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，即h(x)=f(x)?g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題通常采用數(shù)形結(jié)合方法，畫(huà)出圖像即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于中等題.11、D【解析】

將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程，求出斜率，進(jìn)而得到傾斜角?！驹斀狻吭O(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，將直線(xiàn)的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，即，所以直線(xiàn)的斜率所以直線(xiàn)的傾斜角，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化以及直線(xiàn)的傾斜角，屬于簡(jiǎn)單題。12、B【解析】由題意，，其中，，且，所以.令，則，為增函數(shù).令，得.所以.時(shí)，時(shí),所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時(shí),.故選B.點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是將要求的量用一個(gè)變量來(lái)表示，進(jìn)而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性求最值，本題中有以下幾個(gè)難點(diǎn)：（1）多元問(wèn)題一元化，本題中涉及的變量較多，設(shè)法將多個(gè)變量建立等量關(guān)系，進(jìn)而得一元函數(shù)式；（2）含絕對(duì)值的最值問(wèn)題，先研究絕對(duì)值內(nèi)的式子的范圍，最后再加絕對(duì)值處理.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意可知，假設(shè)，代入可得到，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，化簡(jiǎn)即可求解出結(jié)果。【詳解】由題可知，，，所以．故答案為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式過(guò)程中的歸納遞推步驟。14、【解析】

在平面的投影為的外心，即中點(diǎn)，設(shè)球半徑為，則，解得答案.【詳解】，故在平面的投影為的外心，即中點(diǎn)，故球心在直線(xiàn)上，，，設(shè)球半徑為，則，解得，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.15、③【解析】分析：在數(shù)集的擴(kuò)展過(guò)程中，有些性質(zhì)是可以傳遞的，但有些性質(zhì)不能傳遞，因此，要判斷類(lèi)比的結(jié)果是否正確，關(guān)鍵是要在新的數(shù)集里進(jìn)行論證，當(dāng)然要想證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，也可直接舉一個(gè)反例，要想得到本題的正確答案，可對(duì)3個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行分析，不難解答．詳解：A：由a?b∈R，不能類(lèi)比得x?y∈I，如x=y=i，則xy=﹣1?I，故①不正確；B：由a2≥1，不能類(lèi)比得x2≥1．如x=i，則x2＜1，故②不正確；C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可類(lèi)比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故③正確；D：若x，y∈I，當(dāng)x=1+i，y=﹣i時(shí)，x+y＞1，但x，y是兩個(gè)虛數(shù)，不能比較大?。盛苠e(cuò)誤故4個(gè)結(jié)論中，C是正確的．故答案為：③．點(diǎn)睛：類(lèi)比推理的一般步驟是：（1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．但類(lèi)比推理的結(jié)論不一定正確，還需要經(jīng)過(guò)證明．16、①【解析】分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．詳解：由題意知“無(wú)皮”?“無(wú)毛”，所以“有毛”?“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分條件．故答案為：①．點(diǎn)睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為：，直線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程為：（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，然后兩邊乘以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.利用加減消元法消掉參數(shù)，求得直線(xiàn)的普通方程.(Ⅱ)寫(xiě)出直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程，代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)后根據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義，求得的值.【詳解】解：(Ⅰ)曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為：，即；直線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程為：．(Ⅱ)直線(xiàn)的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，①將①式代入，得：，②由題意得方程②有兩個(gè)不同的根，設(shè)是方程②的兩個(gè)根，由直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義知：．【點(diǎn)睛】本小題主要考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的求法，考查直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題.18、（1）115（2）186【解析】

（1）從中任取4個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法，紅球4個(gè)，紅球3個(gè)和白球1個(gè)，紅球2個(gè)和白球2個(gè)，紅球4個(gè)，取法有種，紅球3個(gè)和白球1個(gè)，取法有種；紅球2個(gè)和白球2個(gè)，取法有種；根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有種．（2）使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.第一種，4紅1白，取法有種；第二種，3紅2白，取法有種，第三種，2紅3白，取法有種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，總分不少于7分的取法有19、（1）（2）【解析】

（1）在中由余弦定理得，再由正弦定理能求出；（2），四邊形ABCD的面積，由此能求出結(jié)果．【詳解】（1）在平面四邊形中，，，，．中，由余弦定理可得：，∵，∴．（2）中，，【點(diǎn)睛】本題考查角的正弦值、四邊形面積的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20、（1）96（2）60【解析】分析：（1）首位有種選法，后四位所剩四個(gè)數(shù)任意排列有種方法根據(jù)分部乘法計(jì)數(shù)原理，可求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）由題意，分2類(lèi)：末尾是0的五位偶數(shù)；末尾不是0的五位偶數(shù)，最后根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可求沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)個(gè)數(shù).詳解：（I）首位有種選法，后四位所剩四個(gè)數(shù)任意排列有種方法根據(jù)分部乘法計(jì)數(shù)原理，所求五位數(shù)個(gè)數(shù)為（II）由題意，分2類(lèi)末尾是0的五位偶數(shù)個(gè)數(shù)有個(gè)末尾不是0的五位偶數(shù)個(gè)數(shù)有個(gè)∴根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)點(diǎn)睛：本題考查排列組合知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．21、(1)答案見(jiàn)解析；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】

（1），①時(shí)，因?yàn)椋?/p>