廣東省江門市克中學校2022年高二數(shù)學理上學期期末試題含解析

廣東省江門市克中學校2022年高二數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．108 B．100 C．92 D．84參考答案：B【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長方體切去一個三棱錐得到的組合體，分別計算長方體和棱錐的體積，相減可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長方體切去一個三棱錐得到的組合體，長方體的體積為：6×6×3=108，棱錐的體積為：××4×3×4=8，故組合體的體積V=108﹣8=100，故選：B【點評】本題考查的知識點是棱柱的體積和表面積，棱錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔．2.讀下面的程序：上面的程序在執(zhí)行時如果輸入6，那么輸出的結(jié)果為

（

）A.6

B.720

C.120

D.1參考答案：B略3.下列說法錯誤的是A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“若，則”的否命題是：“若，則”C．若命題，，則，D．如果命題“”與命題“或”都是命真題，那么命題一定是真命題參考答案：A∵不能推出，反之則?！嗍堑谋匾怀浞謼l件。4.設是等差數(shù)列，若,則數(shù)列前8項的和為（

）

A.128

B.80

C.64

D.56參考答案：C略5.已知角終邊一點，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知F為拋物線y2=ax（a＞0）的焦點，M點的坐標為（4，0），過點F作斜率為k1的直線與拋物線交于A，B兩點，延長AM，BM交拋物線于C，D兩點，設直線CD的斜率為k2，且k1=k2，則a=（）A．8 B．8 C．16 D．16參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），利用k1=k2，可得y1+y2=（y3+y4）設AC所在直線方程為x=ty+4，代入拋物線方程，求出y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，進而可得y1y2=﹣2a，設AB所在直線方程為x=ty+，代入拋物線方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），則k1==，k2=，∵k1=k2，∴y1+y2=（y3+y4）．設AC所在直線方程為x=ty+4，代入拋物線方程，可得y2﹣aty﹣4a=0，∴y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，∴y1+y2=（+），∴y1y2=﹣2a，設AB所在直線方程為x=ty+，代入拋物線方程，可得y2﹣aty﹣=0，∴y1y2=﹣，∴﹣2a=﹣，∴a=8．故選：B7.若不等式x2+ax+1≥0對一切成立，則a的最小值為(

)A．0 B．﹣2 C． D．﹣3參考答案：C【考點】一元二次不等式與二次函數(shù)．【專題】不等式的解法及應用．【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在區(qū)間（0，）恒成立，只要f（x）在區(qū)間（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案．【解答】解：設f（x）=x2+ax+1，則對稱軸為x=若≥，即a≤﹣1時，則f（x）在〔0，〕上是減函數(shù)，應有f（）≥0?﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0時，則f（x）在〔0，〕上是增函數(shù)，應有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，則應有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0綜上，有﹣≤a．故選：C【點評】本題主要考查一元二次函數(shù)求最值的問題．一元二次函數(shù)的最值是高考中必考內(nèi)容，要注意一元二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、端點值．8.已知命題p1是命題“已知A，B為一個三角形的兩內(nèi)角,若，則A=B”的否命題

命題p2：公比大于1的等比數(shù)列是遞增數(shù)列。

則在命題q1：，q2：，q3：和q4：中，真命題是(

)

A.q1，q3

B.q2，q3

C.q1，q4

D.q2，q4參考答案：C9.把顏色分別為紅、黑、白的3個球隨機地分給甲、乙、丙3人，每人分得1個球.事件“甲分得白球”與事件“乙分得白球”是(

)Ａ.對立事件

B.不可能事件

C.互斥事件

D.必然事件參考答案：C略10.如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學生在一次英語聽力測試中的成績。已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為A．2，5

B．5，5

C．5，8

D．8，8參考答案：C根據(jù)中位數(shù)的定義，x＝5，平均數(shù)是解得：y＝8．故選C．考點：1．莖葉圖；2．樣本數(shù)字特征．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積

．參考答案：50π【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是長方體內(nèi)的三棱錐，結(jié)合圖形，求出該三棱錐的外接球的半徑即可．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是頂點與長方體的頂點重合的三棱錐B1﹣ACD1，如圖所示，長方體的長為5，寬為4，高為3，∴該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，該球的直徑為2R=l，∴l(xiāng)2=52+42+32=50，∴外接球的表面積是S球=4πR2=πl(wèi)2=50π．故答案為：50π．12.已知，，若向區(qū)域上隨機投10個點，記落入?yún)^(qū)域的點數(shù)為，則=

．參考答案：1213.下面命題：①O比－i大；②兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)，當且僅當其和為實數(shù)時成立;③x+yi=1+i的充要條件是x=y=1；④如果讓實數(shù)a與ai對應，那么實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應；⑤設z為復數(shù)，則有|z|2=.參考答案：⑤14.與橢圓共焦點，準線為的雙曲線的漸近線方程為

.參考答案：15.在中，角的對邊分別為，若成等差數(shù)列，，的面積為，則

參考答案：16.在中，，AB=4，AC=2，D是BC上的一點，DC=2BD，則________________________參考答案：-8略17.已知函數(shù)y=f（x）（x∈R），對函數(shù)y=g（x）（x∈R），定義g（x）關于f（x）的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h（x）（x∈R），y=h（x）滿足：對任意x∈R，兩個點（x，h（x）），（x，g（x））關于點（x，f（x））對稱．若h（x）是g（x）=關于f（x）=3x+b的“對稱函數(shù)”，且h（x）＞g（x）恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是

．參考答案：（2，+∞）【考點】函數(shù)恒成立問題；奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)對稱函數(shù)的定義，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關系，即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)“對稱函數(shù)”的定義可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，則等價為6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，設y1=3x+b，y2=，作出兩個函數(shù)對應的圖象如圖，當直線和上半圓相切時，圓心到直線的距離d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，則b＞2，即實數(shù)b的取值范圍是（2，+∞），故答案為：（2，+∞）【點評】本題主要考查對稱函數(shù)的定義的理解，以及不等式恒成立的證明，利用直線和圓的位置關系是解決本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（I）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（I）由PC⊥底面ABCD，可得PC⊥AC．由AB=2，AD=CD=1，利用勾股定理的逆定理可得：AC⊥BC，因此AC⊥平面PBC，即可證明平面EAC⊥平面PBC．（II）取AB的中點F，兩角CF，則CF⊥AB，以點C為原點，建立空間直角坐標系，可得設P（0，0，a）（a＞0），可取=（1，﹣1，0），利用向量垂直與數(shù)量積的關系可得：為平面PAC的法向量．設=（x，y，z）為平面EAC的法向量，則，可得，由于二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，可得==，解得a=4．設直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=||=即可得出．【解答】（I）證明：∵PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴PC⊥AC．∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（II）解：取AB的中點F，兩角CF，則CF⊥AB，以點C為原點，建立空間直角坐標系，可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），設P（0，0，a）（a＞0），則E，=（1，1，0），=（0，0，a），=，取=（1，﹣1，0），則=0，∴為平面PAC的法向量．設=（x，y，z）為平面EAC的法向量，則，即，取=（a，﹣a，﹣4），∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，∴===，解得a=4，∴=（4，﹣4，﹣4），=（1，1，﹣4）．設直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=||===，∴直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．19.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，.（1）求Sn；（2）求數(shù)列的前n項和Tn.參考答案：（1）（2）【分析】（1）直接利用公式解方程得到答案.（2）由（1）知，再利用裂項求和得到答案.【詳解】（1）設的公差為，則，∴，，的前項和（2）由（1）知，∴的前項和【點睛】本題考查了等差數(shù)列前項和，裂項求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.20.設，.（1）設，求的值；（2）求的值；（3），化簡.參考答案：(1)32.（2）.（3）.【分析】（1）利用賦值法求解，令和，兩式相加可得；（2）利用可求；（3）結(jié)合式子特點構(gòu)造可求.【詳解】（1）令，得

①令，得

②①+②得；（2）因所以；（3）.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)，側(cè)重考查數(shù)學解題模型的構(gòu)建能力.21.（16分）已知函數(shù)f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）解方程：f（2x）﹣f（x+1）=8；（Ⅱ）設a∈R，求函數(shù)g（x）=f（x）+a?4x在區(qū)間[0，1]上的最大值M（a）的表達式；（Ⅲ）若f（x1）+f（x2）=f（x1）f（x2），f（x1）+f（x2）+f（x3）=f（x1）f（x2）f（x3），求x3的最大值．參考答案：（Ⅰ）所給的方程即（2x）2﹣2?2x﹣8=0，可得2x=4或2x=﹣2（舍去），所以x=2．（Ⅱ）由于g（x）=2x+a?4x，x∈[0，1]，令t=2x，則t∈[1，2]，①當a=0時，M（a）=2；②當a≠0時，令，若a＞0，則M（a）=h（2）=4a+2，若a＜0，當，即時，M（a）=h（1）=a+1，當，即時，M（a）=h（2）=4a+2，當，即時，，綜上，．（Ⅲ）由題意知：，化簡可得，所以，其中，所以t≥4，由知的最大值是，又y=2x單調(diào)遞增，所以．（Ⅰ）所給的方程即（2x）2﹣2?2x﹣8=0，可得2x=4或2x=﹣2（舍去），從而求得x的值．（Ⅱ）由于g（x）=2x+a?4x，x∈[0，1]，令t=2x，