【微專題】2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常考點微專題提分精練（人教版）一線三等角模型證相似（原卷版）

一線三等角模型證相似1．如圖，在邊長為的等邊中，為上一點，且，在上，，則的長為．A． B． C．7 D．62．如圖，邊長為的正方形中，有一個小正方形，其中、、分別在、、上，若，則小正方形的面積等于．3．已知等邊，，分別在邊、上，將沿折疊，點落在邊上的處．（1）求證：；（2）若時，求．4．如圖有一塊三角尺，，，，，用一張面積最小的正方形紙片將這個三角尺完全覆蓋．求出這個正方形的面積．5．已知：如圖，是等邊三角形，點、分別在邊、上，．（1）求證：；（2）如果，，求的長．6．如圖，在矩形中，，，是邊上的任意一點與、不重合），作，交于點．（1）判斷與是否相似，并說明理由．（2）連接，若，試求出此時的長．7．如圖1，在中，，，點在邊上從向運動．以為頂點作，射線交邊于點，過點作交射線于點，連接．（1）求證：．（2）當時（如圖，求和的長．（3）設(shè)點在邊上從向運動的過程中，直接寫出點運動的路徑長．8．在中，點、在邊上，點在邊上，連接、，，（1）如圖1，點、重合，時①若平分，求證：；②若，則；（2）如圖2，點、不重合．若，，，求的值．9．已知：在中，，，且點，分別在矩形的邊，上．（1）如圖1，填空：當點在上，且，，則；（2）如圖2，若是的中點，與相交于點，連接，求證：；（3）如圖3，若，，分別交于點，，求證：．10．在中，，，點為直線上一動點（不與點、重合），連接，將線段所在的直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，再將線段所在的直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，直線與直線相交于點．（1）當點在線段上，當時，如圖1，直接判斷的大小；（2）當點在線段上，當時，如圖2，試判斷線段的大小，并說明理由；（3）當點在直線上，當，，時，請利用備用圖探究面積的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）．11．如圖，在中，已知，，且，將與重合在一起，不動，運動，并滿足：點在邊上沿到的方向運動，且始終經(jīng)過點，與交于點．（1）求證：；（2）當時，①求的長；②直接寫出重疊部分的面積；（3）在運動過程中，當重疊部分構(gòu)成等腰三角形時，求的長．12．如圖，直線與雙曲線的交點為，與軸的交點為．（1）求的度數(shù)；（2）求的長；（3）已知點為雙曲線上的一點，當時，求點的坐標．13．【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點，連結(jié)，過點作交于點．易證：．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點，連結(jié)，過點作交于點．（1）求證：．（2）若，，為的中點，求的長．【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點（點不與點、重合），連結(jié)，過點作交于點．當為等腰三角形時，的長為．14．如圖1，已知正方形在直線的上方，在直線上，是射線上一點，以為邊在直線的上方作正方形．（1）連接，觀察并猜測的值，并說明理由；（2）如圖2，將圖1中正方形改為矩形，，，為常數(shù)），是射線上一動點（不含端點，以為邊在直線的上方作矩形，使頂點恰好落在射線上，當點沿射線運動時，請用含，的代數(shù)式表示的值．15．如圖1，在矩形中，，，點是邊上的動點，點從點出發(fā)，運動到點停止，是邊上一動點，在運動過程中，始終保持，設(shè)，．（1）直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）先完善表格，然后在平面直角坐標系中（如圖利用描點法畫出此拋物線，直接寫出；23456782332（3）結(jié)合圖象，指出、在運動過程中，當達到最大值時，的值是；并寫出在整個運動過程中，點運動的總路程．16．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，直線過點，分別過、兩點作，，垂足分別為、．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，是上一點，過作的垂線交于點．若，，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形中，在上取點，使得，若，，，求平行四邊形的面積．17．感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，，由，，可得；又因為，可得，進而得到我們把這個模型稱為“一線三等角”模型．應(yīng)用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，如圖，在