一階電路和二階電路課件

第七章一階電路和二階電路7.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件

7.2一階電路的零輸入響應(yīng)7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.4一階電路的全響應(yīng)7.5一階電路的階躍響應(yīng)7.6一階電路的沖激響應(yīng)7.7二階電路的時(shí)域分析第七章一階電路和二階電路7.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條17.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件

由前面已知，電容、電感有記憶的元件，又是儲(chǔ)能元件，它們的電壓與電流的約束關(guān)系是通過導(dǎo)數(shù)或微分表達(dá)的，所以也是動(dòng)態(tài)元件。1、含動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)電路根據(jù)KCL、KVL和元件VCR方程可以列出動(dòng)態(tài)電路的微分方程。由一階微分方程描述的電路，稱為一階電路。由二階微分方程描述的電路，稱為二階電路。一般來說：由n階微分方程描述的電路，稱為n階電路。7.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件由前面已知2例1列出如圖所示電路的一階微分方程。

得到

這是常系數(shù)非齊次一階微分方程，圖(a)是一階電路。

在上式中代入:解：對(duì)于圖(a)所示RC串聯(lián)電路，可以寫出以下方程例1列出如圖所示電路的一階微分方程。得3

對(duì)于圖(b)所示RL并聯(lián)電路，可以寫出以下方程

在上式中代入：

得到這是常系數(shù)非齊次一階微分方程。圖(b)是一階電路。

對(duì)于圖(b)所示RL并聯(lián)電路，可以寫出以下方4當(dāng)電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生變化時(shí)（換路），動(dòng)態(tài)電路會(huì)從一個(gè)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)間的過度過程稱為暫態(tài)。假設(shè)換路都是在t=0時(shí)刻進(jìn)行，把換路前一瞬間記為t=0-，換路后一瞬間記為t=0+。？什么是電路暫態(tài)呢

穩(wěn)態(tài):電路中的激勵(lì)及響應(yīng)均是恒定量或按某種周期規(guī)律變化。當(dāng)電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生變化時(shí)（換路），動(dòng)態(tài)電路5U暫態(tài)暫態(tài)（過渡）過程:舊穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)

t電路暫態(tài)：RkU+_Ct=0開關(guān)K合下電路處于穩(wěn)態(tài)RU+_C++__穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)U暫態(tài)暫態(tài)（過渡）過程:舊穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)t電路暫態(tài)：R6(1)電容電壓的連續(xù)性令t0=0-，t=0+有：(2)電感電流的連續(xù)性

令t0=0-，t=0+有：換路定律(1)電容電壓的連續(xù)性令t0=0-，t=0+有：(2)電72、動(dòng)態(tài)電路的初始條件求解n階微分方程時(shí)，需要知道n個(gè)初始條件。利用電感電流和電容電壓的連續(xù)性，可以求出動(dòng)態(tài)電路在電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)變化(換路)后，電路變量（電壓、電流）的初始值。由于電感中電流恒定時(shí)，電感電壓等于零，電感相當(dāng)于短路；由于電容上電壓恒定時(shí)，電容電流等于零，電容相當(dāng)于開路。我們用短路代替電感以及用開路代替電容后，得到一個(gè)直流電阻電路，由此電路可以求出t=0-的各電壓電流。2、動(dòng)態(tài)電路的初始條件求解n階微分方程時(shí)，需8

在開關(guān)轉(zhuǎn)換后的一瞬間t=0+，根據(jù)電感電流和電容電壓不能躍變的連續(xù)性質(zhì)，我們可以得到此時(shí)刻的電感電流iL(0+)=iL(0-)

和電容電壓uC(0+)=uC(0-)用數(shù)值為iL(0+)的電流源代替電感以及用數(shù)值為uC(0+)的電壓源代替電容后，得到一個(gè)直流電阻電路，由此電路可以求出t=0+時(shí)刻各電壓電流值，根據(jù)這些數(shù)值可以得到求解微分方程所需的初始條件。下面舉例加以說明。在開關(guān)轉(zhuǎn)換后的一瞬間t=0+，根據(jù)電感電流9例2圖(a)所示電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在t=0斷開時(shí)電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)和iL(0+)。

例2圖(a)所示電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在t=0斷開時(shí)10解：由于開關(guān)打開前各電壓電流均為恒定值，電感相當(dāng)于短路；電容相當(dāng)于開路，如圖(b)所示。

當(dāng)開關(guān)斷開時(shí)，電感電流不能躍變；電容電壓不能躍變。解：由于開關(guān)打開前各電壓電流均為恒定值，電感相當(dāng)于短路；電容11初始條件是電路中所求解的變量在

t=0+時(shí)的值。2、利用換路定律求得iL(0+)或uC(0+)3、通過已知的iL(0+)和uC(0+)畫出0+等效電路，求出電路中其它的電流、電壓，稱之為0+等效電路法。0+等效電路：把t=0+時(shí)的電容電壓、電感電流分別用獨(dú)立電壓源uC(0+)和獨(dú)立電流源iL(0+)等效替代，原電路中獨(dú)立源取t=0+時(shí)的值，其它元件照搬。小結(jié)：1、在t=0-時(shí)的等效電路中求得iL(0-)或uC(0-)初始條件是電路中所求解的變量在t=0+時(shí)的值。2、利用換路127.2一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)：外施激勵(lì)(電源)為零，由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)。1、RC電路的零輸入響應(yīng)(C對(duì)R放電)iK(t=0)+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0i=-CuC

+RC=0uC(t)=Aept特征方程

RCp+1=0電路微分方程：其解的形式為：7.2一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)：外施激勵(lì)(電源)為零13初始值

uC

(0+)=uC(0-)=U0

A=U0令=RC,

具有時(shí)間的量綱,稱

為時(shí)間常數(shù)量綱：歐法=歐庫/伏=歐安秒/伏=秒I0tic0U0tuc0

越大，過渡過程時(shí)間越長(zhǎng)（放電的速度越慢）。初始值uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0令14CRC不斷釋放能量被R吸收,直到全部消耗完畢.t023

5

U00.368U00.135U00.05U00.007U0能量關(guān)系：理論上過渡過程需很長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)穩(wěn)態(tài)，工程上一般認(rèn)為就可認(rèn)為電路已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。CRC不斷釋放能量被R吸收,直到全部消耗完畢.t0152、RL電路的零輸入響應(yīng)iK(t=0)USL+–uLR2R1iL(0+)=iL(0-)=uL=L其解的形式為：

i(t)=Aept

特征方程

Lp+R=0L+Ri=0i(0+)=i(0-)=I0i(0+)=A=I0電路微分方程：2、RL電路的零輸入響應(yīng)iK(t=0)USL+–uLR2R116uL=L量綱：L/R=亨/歐=韋/安*歐=韋/伏=伏*秒/伏=秒令

=L/R,稱為RL電路的時(shí)間常數(shù)一般認(rèn)為，t=3

-5

過渡過程結(jié)束。I0tiL0-I0RuLtuL=L量綱：L/R=亨/歐=韋/安*歐=韋/伏=伏17t=0時(shí),打開開關(guān)K,iL

(0+)=iL(0-)=1A=I0uV=-RViLuV

(0+)=-10000V

造成V擊穿。例3iLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V現(xiàn)象：電壓表燒壞電壓表量程：50VV(t>0)t=0時(shí),打開開關(guān)K,iL(0+)=iL(0-)=1A=18零狀態(tài)響應(yīng)：動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能為零，電路在外施激勵(lì)（電源）作用下，產(chǎn)生的響應(yīng)。iK(t=0)US+–uRC+–uCRRC+uC=US特解：

uC'=US1、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)電路微分方程：uC(0-)=07.3

一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)非齊次線性常微分方程解答形式為：特解通解零狀態(tài)響應(yīng)：動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能為零，電路在外施激勵(lì)（電源）作用19=US+AeuC

(0+)=A+US=0

A=-USuC"=Ae對(duì)應(yīng)齊次方程通解

uC“

自由分量(暫態(tài)分量)RC+uC=0全解uC=uC"+uC'tuc-UsuC'uC"UsuC(0-)=0強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài))自由分量(暫態(tài))=US+AeuC(0+)=A+US=0A=-U20i=CAit0能量關(guān)系：RC電源提供能量一部分消耗在電阻上，一部分儲(chǔ)存在電容中，且WC=WR充電效率為50%i=CAit0能量關(guān)系：RC電源提供能量一部分消耗在電阻21iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U01.全響應(yīng)：非零初始狀態(tài)的電路受到激勵(lì)時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)7.4一階電路的全響應(yīng)全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)RC+uC=US電路微分方程：=US+Ae全解：uC=uC"+uC'由初始條件有：uC

(0+)=A+US=U0iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0122(t>0)強(qiáng)制（穩(wěn)態(tài)）分量自由（暫態(tài)）分量也可表示為：2.

三要素法分析一階電路iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0解為:更一般形式為零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)(t>0)強(qiáng)制（穩(wěn)態(tài)）分量自由（暫態(tài)）分量也可表示為：2.23RL電路：

=L/RRC電路：=RC

是在經(jīng)典法的基礎(chǔ)上總結(jié)出來的一種快捷的方法。只適用于一階電路。分析方法三要素法經(jīng)典法由列解微分方程，求未知量的時(shí)間函數(shù)式。一階電路暫態(tài)過程的分析方法:RL電路：=L/RRC電路：=RC是24例41、求起始值:已知各電路參數(shù)，t=0時(shí)開關(guān)閉合；換路前求開關(guān)閉合后、、、的變化規(guī)律。CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uCt=0+時(shí)的電路:CUs+_R1uR1R2i2i1uC例41、求起始值:已知各電路參數(shù)，t=0時(shí)開關(guān)閉合252、求穩(wěn)態(tài)值：激勵(lì)為直流,令C開路。例4已知各電路參數(shù)，t=0時(shí)開關(guān)閉合；換路前求開關(guān)閉合后、、、的變化規(guī)律。CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uCCUs+_R1uR1R2i2i1uC2、求穩(wěn)態(tài)值：激勵(lì)為直流,令C開路。例4已知各電路參263、求時(shí)間常數(shù):已知各電路參數(shù)，t=0時(shí)開關(guān)閉合；換路前求開關(guān)閉合后、、、的變化規(guī)律。CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC3、求時(shí)間常數(shù):已知各電路參數(shù)，t=0時(shí)開關(guān)閉合；換274、求開關(guān)閉合后、、、的變化規(guī)律。將各量的三要素代入一般表達(dá)式：CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求開關(guān)閉合后、、、的變化規(guī)律。將各量的三要284、求開關(guān)閉合后、、、的變化規(guī)律。ttUsuR1、iR2、uR2

的波形圖:CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求開關(guān)閉合后、、、的變化規(guī)律。ttUsuR29例5電路如圖所示，開關(guān)合在1時(shí)已達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時(shí)，開關(guān)由1合向2，求t0時(shí)的電壓uL。解：換路后，應(yīng)用戴維南定理得出其等效電路，其中例5電路如圖所示，開關(guān)合在1時(shí)已達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時(shí)，開關(guān)30例5電路如圖所示，開關(guān)合在1時(shí)已達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時(shí)，開關(guān)由1合向2，求t0時(shí)的電壓uL。例5電路如圖所示，開關(guān)合在1時(shí)已達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時(shí)，開關(guān)317.5一階電路的階躍響應(yīng)1、單位階躍函數(shù)1）定義K+–uC1VRC2）延遲單位階躍函數(shù)t

(t-t0)t0t

(t)10EE7.5一階電路的階躍響應(yīng)1、單位階躍函數(shù)1）定義K+–u32延遲單位階躍函數(shù)可以起始任意函數(shù)f(t)t0tf(t)

(t-t0)t0t1t0tf(t)t0t-

(t-t0)

(t)延遲單位階躍函數(shù)可以起始任意函數(shù)f(t)t0tf(t)(33求圖示電路中電流iC(t）例610k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0等效求圖示電路中電流iC(t）例610k10kus+ic10034應(yīng)用疊加定理5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F階躍響應(yīng)為：應(yīng)用疊加定理5k+ic100F5k+ic100F5k+i35由齊次性和疊加性得實(shí)際響應(yīng)為：5k+-ic100F5k+-ic100F由齊次性和疊加性得實(shí)際響應(yīng)為：5k+ic100F5k+ic367.6一階電路的沖激響應(yīng)1、單位沖激函數(shù)1）單位脈沖函數(shù)δ(t)

1/

tf(t)7.6一階電路的沖激響應(yīng)1、單位沖激函數(shù)1）單位脈沖函數(shù)372）定義k(t)3）

函數(shù)的篩分性

f(0)

(t)t2）定義k(t)3）函數(shù)的篩分性f(0)(t)t38零狀態(tài)h(t)沖激響應(yīng)：激勵(lì)為時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)方法1：分成二個(gè)時(shí)段來考慮，求iL(0+)、uC(0+)1）

t在0-___0+間2）t>0+4）

(t)和

(t)的關(guān)系2、分析沖激響應(yīng)零狀態(tài)h(t)沖激響應(yīng)：激勵(lì)為時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)方法1：分成二個(gè)391）t在0-___0+間uc不可能是沖激函數(shù)=0=1分析1icisRC+uc—1）t在0-___0+間uc不可能是沖激函40icRC+uc—2）

t>0+

零輸入響應(yīng)（RC放電）分析1icisRC+uc—電容電壓發(fā)生越變icRC+2）t>0+零輸入響應(yīng)（RC放電41tuc(V)0tic分析1icisRC+uc—tuc(V)0tic分析1icisRC+42L+-iLRus分析21）t在0-___0+間iL不可能是沖激函數(shù)電感電流發(fā)生越變L+iLRus分析21）t在0-___0+間i43tuLtiL02）t>0+零輸入響應(yīng)（RL放電）RLiLL+-iLRus分析2tuLtiL02）t>0+零輸入響應(yīng)（RL放電）RL44方法2：利用階躍響應(yīng)求沖激響應(yīng)零狀態(tài)h(t)零狀態(tài)s(t)對(duì)于一個(gè)線性電路，可先求電路的階躍響應(yīng)s(t)，再對(duì)s(t)求一階導(dǎo)數(shù)得沖激響應(yīng)h(t)。方法2：利用階躍響應(yīng)求沖激響應(yīng)零狀態(tài)h(t)零狀態(tài)s(t)45求

iL和uL的沖激響應(yīng)。法1解：由戴維南定理將電路等效變換為-+

(t)1

1H+-uLiL1）

t

在0-

___0+間iL不可能是沖激函數(shù)iL+-uL2

(t)A1

1

2

1H例7求iL和uL的沖激響應(yīng)。法1解：由戴維南定理將電路等效變462）t>0+零輸入響應(yīng)1

1H+-uLiL法2解：先求激勵(lì)為時(shí)的響應(yīng)求

iL和uL的沖激響應(yīng)。iL+-uL2

(t)A1

1

2

1H例72）t>0+零輸入響應(yīng)11H+uLiL法247法2解：先求激勵(lì)為時(shí)的響應(yīng)。由戴維南定理將電路等效變換為-+

(t)1

1H+-uLiL激勵(lì)為的響應(yīng)求

iL和uL的沖激響應(yīng)。iL+-uL2

(t)A1

1

2

1H例7法2解：先求激勵(lì)為時(shí)的響應(yīng)。由戴維南定理將電487.7二階電路1二階電路的零輸入響應(yīng)

2二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng)

*3二階電路的沖激響應(yīng)

7.7二階電路1二階電路的零輸入響應(yīng)491二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路含二個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的電路，用二階常微分方程所描述的電路。uc(0-)=U0i(0-)=0已知：1二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路含二個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的電50零狀態(tài)響應(yīng)的三種情況:過阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)的三種情況:過阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)51設(shè)|P2|>|P1|過阻尼狀態(tài)，非振蕩衰減過程設(shè)|P2|>|P1|過阻尼狀態(tài)，非振蕩衰減過程52t=0+

ic=0,t=ic=0ic>0t=tm時(shí)ic

最大tU0uctm2tmuLic0<t<tm

i增加,uL>0t>tmi減小,uL

<0t=2tm時(shí)

uL

最大設(shè)|P2|>|P1|t=0+ic=0,t=ic=0ic53tm為uL=0時(shí)的t,計(jì)算如下:由duL/dt可確定uL為極小時(shí)的

t.tm為uL=0時(shí)的t,計(jì)算如下:由duL/dt可確定uL為54能量轉(zhuǎn)換關(guān)系tU0uctm2tmuLic0<t<tmuc減小

，i增加，電感吸收能量。t

>tmuc減小

，i減小，電感釋放能量，磁場(chǎng)逐漸衰減。電容在整個(gè)過程中一直釋放儲(chǔ)存的電能,是非振蕩放電過程。能量轉(zhuǎn)換關(guān)系tU0uctm2tmuLic0<55特征根為一對(duì)共軛復(fù)根uc的解答形式：欠阻尼狀態(tài)，振蕩衰減過程特征根為一對(duì)共軛復(fù)根uc的解答形式：欠阻尼狀態(tài)，振蕩衰減過程56A1，A2為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)A1，A2為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)57經(jīng)常寫為：A，

為待定常數(shù)B1，B2為待定常數(shù)δωω0