材料力學“衡水賽”一等獎

第2章軸向拉伸和壓縮§2-1軸向拉伸和壓縮的概念

§2-2內(nèi)力·截面法·及軸力圖§2-3應力·拉(壓)桿內(nèi)的應力

§2-4拉(壓)桿的變形·胡克定律§2-5拉(壓)桿內(nèi)的應變能§2-6材料在拉伸和壓縮時的力學性能§2-7強度條件·安全因數(shù)·許用應力

§2-8應力集中的概念

1§2-1軸向拉伸和壓縮的概念工程中有很多構(gòu)件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長或縮短。屋架結(jié)構(gòu)簡圖2受軸向外力作用的等截面直桿——拉桿和壓桿桁架的示意圖（未考慮端部連接情況）3§2-2內(nèi)力·截面法·及軸力圖材料力學中所研究的內(nèi)力——物體內(nèi)各質(zhì)點間原來相互作用的力由于物體受外力作用而改變的量。也就是由于外力作用于構(gòu)件而產(chǎn)生的附加內(nèi)力。Ⅰ.內(nèi)力根據(jù)可變形固體的連續(xù)性假設，內(nèi)力在物體內(nèi)連續(xù)分布。

通常把物體內(nèi)任一截面兩側(cè)相鄰部分之間分布內(nèi)力的合力和合力偶簡稱為該截面上的內(nèi)力(實為分布內(nèi)力系的合成)。4Ⅱ.截面法·軸力及軸力圖(1)假想地截開指定截面；(2)用內(nèi)力代替另一部分對所取分離體的作用力；(3)根據(jù)分離體的平衡求出內(nèi)力值。步驟：FN=F5橫截面m-m上的內(nèi)力FN其作用線與桿的軸線重合(垂直于橫截面并通過其形心)——這種力內(nèi)就稱為軸力。取橫截面m-m的左邊或右邊為分離體均可.

軸力的正負按所對應的縱向變形為伸長或縮短規(guī)定:當軸力背離截面產(chǎn)生伸長變形為正；反之，當軸力指向截面產(chǎn)生縮短變形為負。軸力背離截面FN=+F6用截面法求內(nèi)力的過程中，在截取分離體前，作用于物體上的外力(荷載)不能任意移動或用靜力等效的相當力系替代。軸力指向截面FN=-F7軸力圖(FN圖)——顯示橫截面上軸力與橫截面位置的關(guān)系的圖形。即用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置,用垂直于軸線的坐標表示橫截面上軸力的數(shù)值.F(f)(c)F8試作圖a所示桿的軸力圖。例題2-191.用截面法分別求各段桿的軸力。為求軸力方便，先求出約束力

FR=10kN。在AB段用1-1截面將桿截開，以左端桿為分離體（圖c），由SFx=0得FN1=10kN(拉力)10kN例題2-1解:10以圖d為分離體，由SFx=0，得FN2=50kN(拉力)10kN40kN例題2-111取截面3－3右邊為分離體（圖e），假設軸力為拉力。同理，F(xiàn)N4=20kN

(拉力)由SFx=0，得FN3=-5kN

（壓力）。(e)25kN20kN例題2-112由軸力圖可見2.以橫坐標表示橫截面位置，縱坐標表示軸力的大小，由以上結(jié)果作軸力圖如圖所示。例題2-113§2-3應力·拉(壓)桿內(nèi)的應力Ⅰ應力的概念受力桿件(物體)某一截面的M點附近微面積DA上分布內(nèi)力的平均集度即平均應力，，其方向和大小一般而言，隨所取DA的大小而不同。14該截面上M點處分布內(nèi)力的集度為，其方向一般既不與截面垂直，也不與截面相切，稱為總應力。(2-1)15總應力p法向分量切向分量正應力s切應力t某一截面上法向分布內(nèi)力在某一點處的集度某一截面上切向分布內(nèi)力在某一點處的集度應力量綱：ML-1T-2應力單位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。16Ⅱ拉(壓)桿橫截面上的應力

(1)與軸力相應的只可能是正應力s，與切應力無關(guān)；

(2)s在橫截面上的變化規(guī)律橫截面上各點處s

相等時可組成通過橫截面形心的法向分布內(nèi)力的合力——軸力FN；橫截面上各點處s

不相等時，特定條件下也可組成軸力FN。17為此：

(1)觀察等直桿表面上相鄰兩條橫向線在桿受拉(壓)后的相對位移：兩橫向線仍為直線，仍相互平行，且仍垂直于桿的軸線。

(2)設想橫向線為桿的橫截面與桿的表面的交線。平截面假設——原為平面的橫截面在桿變形后仍為平面，對于拉(壓)桿且仍相互平行，仍垂直于軸線。18

(3)推論：拉(壓)桿受力后任意兩個橫截面之間縱向線段的伸長(縮短)變形是均勻的。根據(jù)對材料的均勻、連續(xù)假設進一步推知，拉(壓)桿橫截面上的內(nèi)力均勻分布，亦即橫截面上各點處的正應力s都相等(即為常量)。

(4)等截面拉(壓)桿橫截面上正應力的計算公式。(2-2)19注意：

(1)上述正應力計算公式來自于平截面假設；對于某些特定桿件,例如鍥形變截面桿，受拉伸(壓縮)時，平截面假設不成立，故原則上不宜用上式計算其橫截面上的正應力。

(2)即使是等直桿，在外力作用點附近，橫截面上的應力情況復雜，實際上也不能應用上述公式。

(3)圣維南(Saint-Venant)原理：“力作用于桿端方式的不同，只會使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響”。20q=F/AqF/2F/2F/2F/2FFFFFFFF(a)(b)這一原理雖被許多實驗所證實，但沒有經(jīng)過嚴格的理論證明，也沒有確切的數(shù)學表達式，因此不能隨便使用。上圖為不能應用圣維南(Saint-Venant)原理的例子（詳見奚紹中編《材料力學精講》，P15)。21試求圖a所示正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應力。已知F=50kN。例題2-2221.作軸力圖如圖所示。分別求各段柱的工作應力。Ⅰ段柱橫截面上的正應力

Ⅱ段柱橫截面上的正應力(壓應力)(壓應力)例題2-323結(jié)果表明，最大工作應力為smax=s2=-1.1MPa

(壓應力）

例題2-324試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向截面上的拉應力。已知：d=200mm，d=5mm，p=2MPa。

例題2-425薄壁圓環(huán)(δ<<d)在內(nèi)壓力作用下，徑向截面上的拉應力可認為沿壁厚均勻分布，故在求出徑向截面上的法向力FN后，用式s=FN/(bδ)求拉應力。

例題2-4解:26用徑向截面將薄壁圓環(huán)截開，取其上半部分為分離體，如圖b所示。分布力的合力為由SFy=0，得徑向截面上的拉應力為例題2-427Ⅲ.拉(壓)桿斜截面上的應力斜截面上的內(nèi)力：變形假設：兩平行的斜截面在桿受拉(壓)而變形后仍相互平行。兩平行的斜截面之間的所有縱向線段伸長變形相同。28斜截面上的總應力：

推論：斜截面上各點處軸向分布內(nèi)力的集度相同，即斜截面上各點處的總應力pa相等。

式中，為拉(壓)桿橫截面上(a

=0)的正應力。

29斜截面上的正應力(normalstress)和切應力(shearingstress)：

正應力和切應力的正負規(guī)定：

30§2-4拉(壓)桿的變形·胡克定律拉(壓)桿的縱向變形

基本情況下(等直桿，兩端受軸向力)：

縱向總變形Dl=l1-l

（反映絕對變形量）

縱向線應變（反映變形程度）31x截面處沿x方向的縱向平均線應變?yōu)?/p>

圖示一般情況下在不同截面處桿的橫截面上的軸力不同，故不同截面的變形不同。沿桿長均勻分布的荷載集度為f軸力圖微段的分離體32線應變的正負規(guī)定：伸長時為正，縮短時為負。一般情況下，桿沿x方向的總變形

x截面處沿x方向的縱向線應變?yōu)?/p>

又如沿桿長均勻分布的荷載集度為f時軸力圖微段的分離體(2-4)33橫向變形——與桿軸垂直方向的變形在基本情況下橫向應變34胡克定律(Hooke’slaw)工程中常用材料制成的拉(壓)桿，當應力不超過材料的某一特征值(“比例極限”)時，實驗證明存在以下比例關(guān)系:引進比例常數(shù)E，且注意到F=FN，有

胡克定律(Hooke’slaw),適用于拉(壓)桿。

式中：E稱為彈性模量(modulusofelasticity)，由實驗測定，其量綱為ML-1T-2，單位為Pa；EA——

桿的拉伸(壓縮)剛度。(2-5)35胡克定律的另一表達形式：

低碳鋼(Q235)：

←單軸應力狀態(tài)下的胡克定律

(2-6)或:即應力與應變成正比.36低碳鋼(Q235)：n

=0.24~0.28。

亦即

橫向變形因數(shù)(泊松比)(Poisson’sratio)單軸應力狀態(tài)下，當應力不超過材料的比例極限時，某一方向的線應變e

與和該方向垂直的方向(橫向)的線應變e'的絕對值之比為一常數(shù)，此比值稱為橫向變形因數(shù)或泊松比(Poisson’sratio)：(2-7)37求例題2-4中所示薄壁圓環(huán)的直徑改變量Dd。已知E=210GPa，d=200mm，d=5mm，p=2MPa。例題2-438解:1.由例題2-4已求出圓環(huán)徑向截面上的正應力為例題2-4392.因為p<<s，所以在計算變形時可忽略內(nèi)壓力的影響，則薄壁圓環(huán)沿圓環(huán)切向的線應變e（周向應變）與徑向截面上的正應力s

的關(guān)系符合單軸應力狀態(tài)下的胡克定律，即由(2-6)式

例題2-440圓環(huán)直徑的改變量(增大)由上式得3.圓環(huán)的周向應變e與圓環(huán)直徑的相對改變量ed有如下關(guān)系：例題2-441圖示桿系中，荷載

P=100kN。試求結(jié)點A的位移DA。已知：a=30°，l=2m，兩桿直徑均為d=25mm，材料的彈性模量為E=210GPa。例題2-542求拉（壓）桿系節(jié)點位移的關(guān)鍵在于確定變形后節(jié)點的位置。本例中，解除鉸鏈A

的約束，設1，2

桿的伸長量分別為Dl1和Dl2，

分別以B和C為圓心，以l1

+Dl1和l2+Dl2為半徑畫圓弧，兩圓弧的交點A'為變形后A點的精確位置。但在小變形時，

Dl1<<l1，Dl2<<l2，可近似用A1B和A2C的垂線代替圓弧，得到交點A'作為變形后A點的位置。再根據(jù)位移圖所示的幾何關(guān)系求A的位移。Dl1Dl2(b)例題2-543由胡克定律(2-5)式得

其中

解:1.分別求1，2兩桿的軸力及伸長由結(jié)點A的平衡方程得例題2-5442.求A點的位移

由圖b可見位移量因為Dl1=Dl2，所以DAx=0Dl1Dl2(b)例題2-545在小變形情況下，確定桿系變形后的位置時，用桿端垂線代替圓弧線是本題的重點也是難點，一定要掌握。2.桿系節(jié)點A的位移是因桿件變形所引起，但兩者雖有聯(lián)系但又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個標量；位移是指結(jié)點位置的移動，是個矢量，它除了與桿件的變形有關(guān)以外，還與各桿件所受約束有關(guān)。例題2-546§2-5拉(壓)桿內(nèi)的應變能

應變能(strainenergy)——彈性體受力而變形時所積蓄的能量。

彈性變形時認為，積蓄在彈性體內(nèi)的應變能Ve在數(shù)值上等于外力所作功W，

Ve=W。

應變能的單位為J（1J=1N·m）。47拉桿(壓桿)在線彈性范圍內(nèi)的應變能或外力F所作功：

桿內(nèi)應變能：(2-9)48亦可寫作(體積)或或應變能密度

ve——單位體積內(nèi)的應變能。

應變能密度的單位為J/m3。(2-10)49又如沿桿長均勻分布的荷載集度為f時軸力圖微段的分離體由(2-9)式可列得:積分得:其軸力為x函數(shù)50求如圖所示桿系的應變能，并按彈性體的功能原理(Vε=W)求結(jié)點A的位移DA。已知：P=100kN，桿長

l=2m，桿的直徑

d=25mm，a

=30°，材料的彈性模量E=210GPa。例題2-651利用Vε=W只能求P力的作用點沿P力方向的位移。本題中由對稱性可知，A點的水平位移DAx=0，只有豎直位移DAy

，即DA=DAy所以可用重力在位移過程中所作的功1/2PDA=

Vε求DA。例題2-6521.

求結(jié)構(gòu)的應變能由節(jié)點A的平衡方程求得FN1=FN2=P/2cosa雙桿結(jié)構(gòu)的應變能為單桿結(jié)構(gòu)的兩倍例題2-6即由(2-9)式可列得:532.求結(jié)點A的位移例題2-6

可見用應變能的方法求出的結(jié)果與例2-5用求變形量的方法所求的結(jié)果相同.由前面所求的結(jié)果可列得54§2-6材料在拉伸和壓縮時的力學性能Ⅰ.材料的拉伸和壓縮試驗

圓截面試樣：l=10d或l=5d(工作段長度稱為標距)。

矩形截面試樣：或。

拉伸試樣

55試驗設備：(1)萬能試驗機：強迫試樣變形并測定試樣的抗力。

(2)變形儀：將試樣的微小變形放大后加以顯示的儀器。

圓截面短柱(用于測試金屬材料的力學性能)

正方形截面短柱(用于測試非金屬材料的力學性能)

壓縮試樣

56實驗裝置（萬能試驗機）57拉伸試驗錄象58Ⅱ.低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學性能

拉伸圖

縱坐標——試樣的抗力F(通常稱為荷載)

橫坐標——試樣工作段的伸長量59低碳鋼試樣在整個拉伸過程中的四個階段：

(1)階段Ⅰ——彈性階段變形完全是彈性的，且Dl與F成線性關(guān)系，即此時材料的力學行為符合胡克定律。60

(2)階段Ⅱ——屈服階段

在此階段伸長變形急劇增大，但抗力只在很小范圍內(nèi)波動。此階段產(chǎn)生的變形是不可恢復的所謂塑性變形；在拋光的試樣表面上可見大約與軸線成45°的滑移線(，當α=±45°時ta

的絕對值最大)。61(3)階段Ⅲ——強化階段

62卸載及再加載規(guī)律

若在強化階段卸載，則卸載過程中F-Dl關(guān)系為直線?？梢娫趶娀A段中，

l=Dle+Dlp。

卸載后立即再加載時，F(xiàn)-Dl關(guān)系起初基本上仍為直線(cb)，直至當初卸載的荷載——冷作硬化現(xiàn)象。試樣重新受拉時其斷裂前所能產(chǎn)生的塑性變形則減小。63

(4)階段Ⅳ——局部變形階段試樣上出現(xiàn)局部收縮——頸縮，并導致斷裂。

64低碳鋼的應力—應變曲線(s

-e曲線)為消除試件尺寸的影響，將低碳鋼試樣拉伸圖中的縱坐標和橫坐標換算為應力s和應變e，即，其中：A——試樣橫截面的原面積，l——試樣工作段的原長。65低碳鋼

s-e曲線上的特征點：比例極限sp(proportionallimit)

彈性極限se(elasticlimit)屈服極限ss(屈服的低限)

(yieldlimit)強度極限sb(拉伸強度)(ultimatestrength)

Q235鋼的主要強度指標：ss

=240MPa，sb

=390MPa66低碳鋼拉伸試件圖片低碳鋼拉伸試件破壞斷口圖片67低碳鋼的塑性指標：伸長率斷面收縮率：A1——斷口處最小橫截面面積。Q235鋼：y≈60%Q235鋼：

(通常d

>5%的材料稱為塑性材料)68注意：

(1)低碳鋼的ss，sb都還是以相應的抗力除以試樣橫截面的原面積所得，實際上此時試樣直徑已顯著縮小，因而它們是名義應力。

(2)低碳鋼的強度極限sb是試樣拉伸時最大的名義應力，并非斷裂時的應力。

(3)超過屈服階段后的應變還是以試樣工作段的伸長量除以試樣的原長而得，

因而是名義應變(工程應變)。69

(4)伸長率是把拉斷后整個工作段的均勻塑性伸長變形和頸縮部分的局部塑性伸長變形都包括在內(nèi)的一個平均塑性伸長率。70Ⅲ.其他金屬材料在拉伸時的力學性能

71由s－e曲線可見：

伸長率√√×局部變形階段√√√強化階段×××屈服階段√√√彈性階段退火球墨鑄鐵強鋁錳鋼材料72sp0.2(規(guī)定非比例伸長應力，屈服強度)對于無屈服階段的塑性材料,通常將對應于塑性應變時相應的應力定義為:規(guī)定非比例伸長應力或屈服強度并以表示.73鑄鐵拉伸破壞試驗74割線彈性模量用于基本上無線彈性階段的脆性材料脆性材料拉伸時的唯一強度指標：

sb←基本上就是試樣拉斷時橫截面上的真實應力。鑄鐵拉伸時的應力應變曲線75Ⅳ.金屬材料在壓縮時的力學性能

低碳鋼拉、壓時的ss基本相同。低碳鋼壓縮時s-e的曲線

76低碳鋼材料軸向壓縮時的試驗現(xiàn)象77鑄鐵壓縮時的sb和d均比拉伸時大得多,因而這種材料宜用作受壓構(gòu)件.不論拉伸和壓縮時,其曲線中的直線部分都很短因此在較低應力下其力學行為也只近似符合胡克定律。如圖為灰口鑄鐵壓縮時的s-e曲線與塑性材料不同脆性材料在壓縮和拉伸時的力學性能有較大的區(qū)別.78試樣壓縮時沿著與橫截面大致成50°~55°的斜截面發(fā)生錯動而破壞。材料按在常溫(室溫)、靜荷載(徐加荷載)下由拉伸試驗所得伸長率區(qū)分為塑性材料和脆性材料。即伸長率的為塑性材料伸長率的為脆性材料79鑄鐵壓縮破壞斷口鑄鐵壓縮破壞80Ⅴ幾種非金屬材料的力學性能

(1)混凝土壓縮時的力學性能

使用標準立方體試塊測定端面潤滑時的破壞形式端面未潤滑時的破壞形式81壓縮強度sb及破壞形式與端面潤滑情況有關(guān)?；炷恋膹椥阅Ａ恳詓-e曲線上s=0.4sb的點與原點連線的斜率來確定，稱為“割線彈性模量”?；炷恋臉颂栂蹈鶕?jù)其壓縮強度標定，如C20混凝土是指經(jīng)28天養(yǎng)護后立方體強度不低于20MPa的混凝土。壓縮強度遠大于拉伸強度。82木材的力學性能具有方向性，為各向異性材料。如認為木材任何方面的力學性能均可由順紋和橫紋兩個相互垂直方向的力學性能確定，則又可以認為木材是正交異性材料。松木在順紋拉伸、壓縮和橫紋壓縮時的s

-e曲線如圖。(2)木材拉伸和壓縮時的力學性能木材的橫紋拉伸強度很低(圖中未示)，工程中也避免木材橫紋受拉。木材的順紋拉伸強度受木節(jié)等缺陷的影響大。83(3)玻璃鋼（玻璃纖維與熱固性樹脂粘合而成的復合材料）纖維單向排列的玻璃鋼沿纖維方向拉伸時的s-e曲線如圖中(c)，纖維增強復合材料所用的纖維尚有碳纖維、硼纖維等。84§2-7強度條件·安全因數(shù)·許用應力Ⅰ.拉(壓)桿的強度條件

強度條件——保證拉(壓)桿在使用壽命內(nèi)不發(fā)生強度破壞的條件：其中：smax——拉(壓)桿的最大工作應力，[s]——材料拉伸(壓縮)時的許用應力。(2-12)85Ⅱ

材料的拉、壓許用應力塑性材料：脆性材料：其中，ns——對應于屈服極限的安全因數(shù)其中，nb——對應于拉、壓強度的安全因數(shù)許用拉應力86常用材料的許用應力約值

(適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下的拉桿和壓桿）170230160－200710.31017023034－540.440.66.4Q23516MnC20C30低碳鋼低合金鋼灰口鑄鐵混凝土混凝土紅松（順紋）

許用應力/MPa牌號材料名稱軸向拉伸軸向壓縮87Ⅲ.關(guān)于安全因數(shù)的考慮

(1)考慮強度條件中一些量的變異。如極限應力(ss，sp0.2，sb，sbc)的變異，構(gòu)件橫截面尺寸的變異，荷載的變異，以及計算簡圖與實際結(jié)構(gòu)的差異。

(2)考慮強度儲備。計及使用壽命內(nèi)可能遇到意外事故或其它不利情況，也計及構(gòu)件的重要性及破壞的后果。安全因數(shù)的大致范圍：靜荷載(徐加荷載)下，88Ⅳ強度計算的三種類型

(3)計算許可荷載已知拉(壓)桿材料和橫截面尺寸，按強度條件確定桿所能容許的最大軸力，進而計算許可荷載。FN,max=A[s]，由FN,max計算相應的荷載。

(2)截面選擇已知拉(壓)桿材料及所受荷載，按強度條件求桿件橫截面面積或尺寸。

(1)強度校核已知拉(壓)桿材料、橫截面尺寸及所受荷載，檢驗能否滿足強度條件對于等截面直桿即為(2-13)89試選擇如圖(a)所示桁架的鋼拉桿DI的直徑d。已知：F=16kN，[s]=120MPa。例題2-9901.用m-m截面將桁架截開由圖中(b)所示分離體的平衡方程SMA=0，