實對稱矩陣的標準型課件

§9.6實對稱矩陣的標準形（一）

引言§9.6實對稱矩陣的標準形（一）引言1一、實對稱矩陣的一些性質(zhì)引理1

設A是實對稱矩陣，則A的特征值皆為實數(shù)．證：設是A的任意一個特征值，則有非零向量滿足一、實對稱矩陣的一些性質(zhì)引理1設A是實對稱矩陣，則A的特征2其中為的共軛復數(shù)，令又由A實對稱，有其中為的共軛復數(shù)，令又由A實對稱，有3由于是非零復向量，必有故

考察等式，由于是非零復向量，必有故考察等式，4引理2

設A是實對稱矩陣，在

n

維歐氏空間上定義一個線性變換如下：則對任意有

或引理2設A是實對稱矩陣，在n維歐氏空間上定義一個線5證：取的一組標準正交基，則在基下的矩陣為A，即任取證：取的一組標準正交基，則在基6即于是又是標準正交基，即于是又是標準正交基，7即有又注意到在中

二、對稱變換1．定義則稱為對稱變換．設為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足

即有又注意到在中二、對稱變換1．定義則稱為對稱變81）n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標準正交基下是相互確定的：

2．基本性質(zhì)①

實對稱矩陣可確定一個對稱變換．

一組標準正交基．事實上，設為V的定義V的線性變換：則即為V的對稱變換．1）n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標準正交基下是9②對稱變換在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣．為V的一組標準正交基，事實上，設為n維歐氏空間V上的對稱變換，為

在這組基下的矩陣，即或②對稱變換在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣．為V的一組標準10于是即所以A為對稱矩陣．由是對稱變換，有于是即所以A為對稱矩陣．由是對稱變換，有112）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補也是它的不變子空間．對任取即證明：設是對稱變換，W為的不變子空間．

要證即證由W是子空間，有因此故也為的不變子空間．2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補也是它的不變子空間121．(引理4)實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于的特征向量．

則

三、實對稱矩陣的正交相似對角化是正交的．

正交基下的矩陣，證：設實對稱矩陣A為上對稱變換的在標準是A的兩個不同特征值，由1．(引理4)實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于13又即正交．(定理7)對總有正交矩陣T，使有即２．又即正交．(定理7)對總14證：設A為上對稱變換在標準正交基下的矩陣．由實對稱矩陣和對稱變換互相確定的關(guān)系，只需證有n個特征向量作成的標準正交基即可．n=1時，結(jié)論是顯然的．

對的維數(shù)n用歸納法．

有一單位特征向量，其相應的特征值為，即假設n－1時結(jié)論成立，對設其上的對稱變換證：設A為上對稱變換在標準正交基下的矩陣．由實對稱矩15設子空間顯然W是子空間，則也是子空間，且

又對有所以是上的對稱變換．由歸納假設知有n－1個特征向量構(gòu)成的一組標準正交基．設子空間顯然W是子空間，則也是16從而就是的一組標準正交基，又都是的特征向量．即結(jié)論成立．3．實對稱矩陣正交相似實對角矩陣步驟設

(i)

求出A的所有不同的特征值：其重數(shù)必滿足;

(ii)

對每個，解齊次線性方程組

從而就是的一組標準正交基，又都是17求出它的一個基礎解系：它是A的屬于特征值的特征子空間的一組基．正交基把它們按正交化過程化成的一組標準(iii)因為互不相同，且就是V的一組標準正交基．所以求出它的一個基礎解系：它是A的屬于特征值的特征子空間18則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，使為對角形．例1．設

求一正交矩陣T使成對角形．則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，19解：先求A的特征值．A的特征值為（三重）,解：先求A的特征值．A的特征值為（三重）20其次求屬于的特征向量，即求解方程組得其基礎解

其次求屬于的特征向量，即求解方程組得其21把它正交化，得

再單位化，得把它正交化，得再單位化，得22這是特征值(三重)的三個單位正交特征向量，也即是特征子空間的一組標準正交基．這是特征值(三重)的三個單位正交特征向量，也23再求屬于的特征向量，即解方程組得其基礎解

再求屬于的特征向量，即解方程組得其基礎解24再單位化得

這樣構(gòu)成的