正方形的判定

RJ八(下)教學課件第十八章平行四邊形18.2.3正方形第2課時正方形的判定學習目標1．探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.(重點、難點)2．會運用正方形的判定條件進行有關的論證和計算.

(難點)問題1

什么是正方形？正方形有哪些性質？ABCD正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形.正方形性質：①四個角都是直角;②四條邊都相等; ③對角線相等且互相垂直平分.O新課引入問題2

你是如何判斷四邊形是矩形、菱形？平行四邊形矩形菱形四邊形三個角是直角四條邊相等定義四個判定定理定義對角線相等定義對角線垂直思考

怎樣判定一個四邊形是正方形呢？新課引入活動1

準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對角線互相垂直新課講解正方形的判定已知：如圖,在矩形ABCD中,AC、

DB是它的兩條對角線,

AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO

，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四邊形ABCD是正方形.ABCDO對角線互相垂直的矩形是正方形.新課講解證一證活動2

把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯牵^察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角對角線相等新課講解已知：如圖,在菱形ABCD中,AC

、DB是它的兩條對角線,AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.ABCDO對角線相等的菱形是正方形.新課講解證一證正方形判定的幾條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個直角，一組鄰邊相等，對角線相等對角線垂直平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內角是直角歸納總結如圖，在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO新課講解練一練

在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得出四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.新課講解例1在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.新課講解證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB

，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形CEDF是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線，DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理可得，DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形CEDF是正方形.

如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG新課講解例2

如圖，EG、FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證，OE=OF=OG,BACDOEHGF新課講解例3∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.BACBOEHGF新課講解

如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當點E運動到AC中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．（1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°.∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD.在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF

,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.新課講解例4（2）解：當點E運動到AC的中點時四邊形AFBE是正方形.理由如下：∵點E運動到AC的中點，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC.∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF.∵BE=AF，∴四邊形AFBE是平行四邊形AFBE.∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．新課講解思考

前面學菱形時我們探究了順次連結任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.順次連結矩形各邊中點能得到菱形，那么順次連結正方形各邊中點能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH新課講解1.下列命題正確的是（）A.四個角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對角線相等的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形D隨堂即練2.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）D隨堂即練A．當AB=BC時，四邊形ABCD是菱形B．當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形C．當∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形D．當AC=BD時，四邊形ABCD是正方形3.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，請?zhí)砑右粋€條件____________________，可得出該四邊形是正方形．AB=BC(答案不唯一)ABCDO4.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的是_________________（只填寫序號）．②③或①④隨堂即練5.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對角線BD平分

ABC

,

P是BD上一點,過點P作PM

AD

,

PN

CD

,

垂足分別為M、N.(1)求證：

ADB=

CDB;(2)若

ADC=90

,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2.

又∵AB=BC,BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.12隨堂即練CABDPMN（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°.又∵∠ADC=90°，∴四邊形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.

∴DM=PM,DN=PN.∴四邊形NPMD是正方形.隨堂即練6.如圖，△ABC中，D是BC上任意一點，DE∥AC，

DF∥AB．（1）試判斷四邊形AEDF的形狀；（2）連結AD，當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，為什么？解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形.（2）∵四邊形AEDF為菱形，∴AD平分∠BAC，則AD平分∠BAC時，四邊