北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第一章勾股定理知識點歸納及例題

北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第一章勾股定理知識點歸納及例題北師大版八年級上冊第一章勾股定理知識點歸納及例題【知識點梳理】知識點一、勾股定理勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，即直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。若直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，則a2+b2=c2。利用勾股定理，我們可以建立方程求解，將數(shù)與形結(jié)合，達(dá)到解決問題的目的。此外，還有勾股定理的一些變式：a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab。知識點二、勾股定理的證明勾股定理有多種證明方法，其中較為常見的有三種。一種是將四個全等的直角三角形拼成正方形，另一種是將四個全等的直角三角形拼成另一個正方形，最后一種是將兩個直角三角形拼成直角梯形。知識點三、勾股定理的作用勾股定理可以用于求直角三角形的第三邊長，解決帶有平方關(guān)系的證明問題，與勾股定理有關(guān)的面積計算，以及在實際生活中的應(yīng)用?！镜湫屠}】類型一、勾股定理的直接應(yīng)用已知直角三角形的兩條直角邊長，求斜邊長。利用勾股定理a2+b2=c2即可。舉例：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c。（1）若a=5，b=12，求c；（2）若c=26，b=24，求a。【解析】（1）由a2+b2=c2得c2=52+122=169，故c=13。（2）由a2+b2=c2得a2=262-242=100，故a=10?！究偨Y(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再決定用勾股定理還是變式。舉一反三：（1）已知b=6，c=10，求a；（2）已知a:c=3:5，b=32，求a、c?！敬鸢浮浚?）由a2+b2=c2得a2=102-62=64，故a=8。（2）由a:c=3:5和a2+b2=c2得a=24，c=40。注意：第二題中先用勾股定理求出a，再代入a:c=3:5中求出c。解得$k=8$。因此，$a=3k=3\times8=24$，$c=5k=5\times8=40$。類型二、與勾股定理有關(guān)的證明2、（2015?豐臺區(qū)一模）閱讀下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣。下面介紹一種用拼圖證明勾股定理的方法。先做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為$a$，$b$，斜邊為$c$，然后按圖1的方法將它們擺成正方形。由圖1可以得到$(a+b)^2=4c^2$，整理得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$。因此，$a^2+b^2=c^2$。如果將圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：由圖2可以得到$4a^2+4ab=4b^2$，整理得$a^2+ab=b^2$。因此，$a^2+b^2=c^2$。【答案與解析】證明：因為大正方形的面積為$c^2$，而大正方形可以由四個全等的直角三角形拼成，所以大正方形的面積也可以表示為$4ab+\frac{(b-a)^2}{2}$。因此，$c^2=4ab+\frac{(b-a)^2}{2}$，整理得$2ab+b^2-2ab+a^2=c^2$。因為$c^2=a^2+b^2$，所以$a^2+b^2=c^2$?！究偨Y(jié)升華】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長的關(guān)系進行組合圖形。舉一反三：【變式】如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$D$為$BC$邊的中點，$DE\perpAB$于$E$，則$AE^2-BE^2$等于（）A．$AC^2$B．$BD^2$C．$BC^2$D．$DE^2$第3頁共19頁【答案】連接$AD$構(gòu)造直角三角形，得$AE^2-DE^2=AD^2$，即$AE^2-BE^2=AC^2$，選A。類型三、與勾股定理有關(guān)的線段長3、如圖，長方形紙片$ABCD$中，已知$AD=8$，折疊紙片使$AB$邊與對角線$AC$重合，點$B$落在點$F$處，折痕為$AE$，且$EF=3$，則$AB$的長為（）A．3B．4C．5D．6【答案】D；【解析】解：設(shè)$AB=x$，則$AF=x$。因為$\triangleABE$折疊后的圖形為$\triangleAFE$，所以$\triangleABE\cong\triangleAFE$。因此，$BE=EF$，$EC=BC-BE=8-3=5$。在$\triangleEFC$中，由勾股定理解得$FC=4$。在$\triangleABC$中，$x+8=x+4+4$，解得$x=6$?！究偨Y(jié)升華】折疊問題包括“全等形”、“勾股定理”兩大問題，最后通過勾股定理求解。類型四、與勾股定理有關(guān)的面積計算4、如圖，直線$l$上有三個正方形$a$，$b$，$c$，若$a$，$c$的面積分別為5和11，則$b$的面積為（）（此處有明顯的格式錯誤或缺失，無法進行修改和改寫。建議重新編輯并提交問題。）有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．解：設(shè)門高為$x$尺，則竹竿長為$(x+1)$尺，根據(jù)勾股定理可得：$x^2+4^2=(x+1)^2$，即$x^2+16=x^2+2x+1$，解得：$x=7.5$，竹竿高$=7.5+1=8.5$（尺）。答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺。勾股定理的逆定理指出，如果一個三角形的三條邊長滿足a+b=c，那么這個三角形就是直角三角形。這個定理的作用是用來判定三角形是否為直角三角形。它是通過計算三條邊長來判斷的。要判定一個三角形是否為直角三角形，首先要確定最大的邊，然后驗證最大邊與其他兩條邊之和是否相等。如果相等，那么這個三角形就是直角三角形；如果不相等，那么這個三角形就不是直角三角形。當(dāng)a+b<c時，這個三角形為鈍角三角形；當(dāng)a+b>c時，這個三角形為銳角三角形。勾股數(shù)是指滿足不定方程x+y=z的三個正整數(shù)。勾股數(shù)也叫高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)。如果以勾股數(shù)為三邊長構(gòu)成三角形，那么這個三角形一定是直角三角形。一些常見的勾股數(shù)包括3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41等等。如果a、b、c都是勾股數(shù)，那么以at、bt、ct為三邊長的三角形也一定是直角三角形。要判斷三條線段能否組成直角三角形，可以運用勾股定理的逆定理，即判斷較短的兩條線段的平方和是否等于最長線段的平方。如果相等，那么這三條線段可以組成直角三角形；如果不相等，那么就不能組成直角三角形。例如，線段a=7，b=24，c=25，滿足a+b=c，因此這三條線段可以組成直角三角形。題意簡述：本文主要講述了如何判斷一個三角形是否為直角三角形，并通過一個例題來進行說明。解題思路：首先，判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進行判斷。其次，根據(jù)結(jié)果判斷是否為直角三角形。例題解析：根據(jù)已知條件，我們可以先求出AC的長度為5。然后，我們在△ACD中，已知AC，AD，CD三邊長，判斷這個三角形的形狀，進而求得這個三角形的面積。由于DC+AC=AD，因此△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。所以，四邊形ABCD的面積等于△ABC和△ACD的面積之和。舉一反三：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，我們可以判斷出哪些組合可以組成直角三角形。例如，①8，15，17；②5，12，13；④7，24，25。因此，選項C為正確答案?？偨Y(jié)升華：判斷一個三角形是否為直角三角形的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進行判斷。在實際應(yīng)用中，我們可以通過解決類似的題目來提高自己的判斷能力和應(yīng)用能力。2.AC2+DC2=32×4+52×12=9×4+25×12=333，所以AC2+DC2=333，答案為333。類型二、勾股定理逆定理的應(yīng)用3.已知三角形ABC的三邊a、b、c，且滿足a+b+c+338=10a+24b+26c，試判斷三角形ABC的形狀。解：由題意得a+b+c-10a-24b-26c=-338，化簡得-9a-23b-25c=-338，進一步化簡得9a=338-23b-25c，所以9a-23b-25c=338。將此式變形得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=222，因此a=5，b=12，c=13。由勾股定理可知，52+122=132，所以三角形ABC是直角三角形。舉一反三：【變式】已知a、b、c為三角形ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a?-b?，試判斷三角形ABC的形狀。解：由題意得a2c2-b2c2=a?-b?，化簡得c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，進一步化簡得c2=a2+b2，因此三角形ABC是直角三角形。問：（1）在上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤：第三步；（2）錯誤的原因是：方程兩邊同時除以(a2-b2)時，沒有考慮(a2-b2)的值有可能為0；（3）本題正確的結(jié)論是：c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，所以c2=a2+b2或a=b，因此三角形ABC是直角三角形或等腰三角形。4.（2015?秦皇島校級模擬）如圖，鐵路MN和鐵路PQ在P點處交匯，點A處是第九十四中學(xué)，AP=160米，點A到鐵路MN的距離為80米，假使火車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響。（1）火車在鐵路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響？請說明理由。（2）如果受到影響，已知火車的速度是180千米/時，那么學(xué)校受到影響的時間是多久？解：（1）由題意可知，學(xué)校A到鐵路MN的距離為80米，而火車在鐵路MN上沿PN方向行駛，因此不會經(jīng)過學(xué)校A，學(xué)校不會受到影響。（2）若學(xué)校受到影響，則火車行駛的范圍應(yīng)該是以學(xué)校A為圓心，半徑為100米的圓內(nèi)。由此可得，火車行駛的距離為160+100=260米，時間為260/180=1.44小時，即86.4分鐘。的概念和性質(zhì)勾股數(shù)指的是能夠滿足勾股定理的整數(shù)三元組(a,b,c)，其中a、b、c均為正整數(shù)，且a、b、c互質(zhì)（即它們沒有公共因子）．勾股數(shù)的性質(zhì)：（1）勾股數(shù)一定存在；（2）勾股數(shù)的個數(shù)是無限的；（3）勾股數(shù)中，偶數(shù)較多，且偶數(shù)勾股數(shù)可以通過奇數(shù)勾股數(shù)推導(dǎo)得到；（4）勾股數(shù)中，滿足a、b均為奇數(shù)的勾股數(shù)較少．【典型例題】例1如圖，在鐵路MN上，距離學(xué)校A80米處經(jīng)常有火車通過，火車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響．若火車的速度是180千米/時，學(xué)校會受到影響的時間是多少秒？解析：（1）由題可知，學(xué)校受到影響的范圍是周圍100米以內(nèi)，而學(xué)校距離鐵路MN的距離為80米，因此學(xué)校會受到影響；（2）以點A為圓心，100米為半徑畫圓，交直線MN于BC兩點，連接AB、AC，根據(jù)勾股定理可得BE=60m，進而可得出BC的長為120m，根據(jù)火車的速度是180千米/時求出火車經(jīng)過BC是所用的時間為2.4秒；（3）因此，學(xué)校受到影響的時間是2.4秒．例2求出勾股數(shù)中，滿足a、b均為奇數(shù)的勾股數(shù)．解析：勾股數(shù)中，偶數(shù)較多，因此滿足a、b均為奇數(shù)的勾股數(shù)較少．可以通過列舉勾股數(shù)的方法得到：（1）3、4、5；（2）15、8、17；（3）35、12、37；（4）63、16、65；（5）99、20、101；因此，滿足a、b均為奇數(shù)的勾股數(shù)為3、15、35、63、99等．【思考延伸】1.勾股定理有哪些應(yīng)用？請結(jié)合實際例子進行說明．2.勾股定理的逆定理是什么？如何利用逆定理判定一個三角形是否為直角三角形？3.勾股數(shù)有哪些性質(zhì)？請結(jié)合例子進行說明．勾股數(shù)是指滿足不定方程$x+y=z$的三個正整數(shù)，也稱為高斯數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)。顯然，以$x$、$y$、$z$為三邊長的三角形一定是直角三角形。常見的勾股數(shù)有：$(3,4,5)$、$(5,12,13)$、$(8,15,17)$、$(7,24,25)$和$(9,40,41)$。如果$(a,b,c)$是勾股數(shù)，當(dāng)$t$為正整數(shù)時，以$at$、$bt$、$ct$為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形。觀察上述五組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1；3.假設(shè)三個數(shù)分別為$a$、$b$、$c$，且$a<b<c$，那么存在$a=b+c$成立（例如$(7,24,25)$中存在$7=24+25$、$9=40+41$等）。勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理。兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān)。例題：在$\triangleABC$中，$AB=15$，$BC=14$，$AC=13$，求$\triangleABC$的面積。根據(jù)勾股定理，設(shè)$BD=x$，則$CD=14-x$，由勾股定理得$AD^2=AB^2-BD^2=225-x^2$，$AD^2=AC^2-CD^2=169-(14-x)^2$，故$225-x^2=169-(14-x)^2$，解得$x=9$。因此，$AD=12$，$S_{\triangleABC}=BC\cdotAD=\frac{1}{2}\cdot14\cdot12=84$。變式：在$\triangleABC$中，$AB=15$，$AC=13$，$AD=12$，求$\triangleABC$的周長。根據(jù)勾股定理，得$BD=AB-AD=15-12=3$，$CD=AC-AD=13-12=1$。當(dāng)$\angleACB>90^\circ$時，$BC=BD-CD=3-1=2$，$\triangleABC$的周長為$AB+BC+CA=15+2+13=30$；當(dāng)$\angleACB<90^\circ$時，$BC=BD+CD=3+1=4$，$\triangleABC$的周長為$AB+BC+CA=15+4+13=32$。2、如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M為AB上一點．證明：AM+BM=2CM．證明：過點C作CD⊥AB于D．∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD．∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝DB．∴AM+BM=(AD-DM)+(AD+DM)/2=AD^2-2AD·DM+DM^2+AD^2+2AD·DM+DM^2=2(AD^2+DM^2)=2(CD^2+DM^2)在Rt△CDM中，CD+DM=CM，∴AM+BM=2CM．變式：已知△ABC中，AB＝AC，D為BC上任一點，求證：AB-AD=BD·CD.解：如圖，作AM⊥BC于M，∵AB＝A