復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件

3.3泰勒級數(shù)展開3.3泰勒級數(shù)展開3.3泰勒級數(shù)展開

通過對冪級數(shù)的學習，我們已經(jīng)知道一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓的內(nèi)部是一個解析函數(shù)?，F(xiàn)在我們來研究與此相反的問題，就是：任何一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？這個問題不但有理論意義，而且很有實用價值.3.3泰勒級數(shù)展開通過對冪級數(shù)的學習，我們3.3.1泰勒級數(shù)3.3.1泰勒級數(shù)復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件其中z在C的內(nèi)部,，而在C上取值,C取逆時針正方向.故從而因為根據(jù)其中z在C的內(nèi)部,，而在C上取值,C取逆時針正方向.故從復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件3.3.2將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法例3.3.1

在的鄰域上把展開。解：函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)而故在領(lǐng)域上的泰勒級數(shù)寫為易求收斂半徑無限大3.3.2將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法例3.3.1在例3.3.2

在的鄰域把和展開。解：函數(shù)的前四階導(dǎo)數(shù)分別為由上可見其四階導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)本身，因此其高階導(dǎo)數(shù)是前四階導(dǎo)數(shù)的重復(fù)。且在有故有例3.3.2在的鄰域把同樣的方法，可求得在鄰域上的泰勒級數(shù)容易求得上面兩個泰勒級數(shù)的收斂半徑為無限大。即Z在全復(fù)平面上取值只要有限，上面兩個級數(shù)就收斂。同樣的方法，可求得在例3.3.3

在的鄰域把展開。解：多值函數(shù)的支點在現(xiàn)在展開中心并非支點，在它的鄰域上，各個單值互相獨立，可以比照單值函數(shù)的方法展開，先計算系數(shù)

……于是可寫成在鄰域上的泰勒級數(shù)例3.3.3在的鄰域把可以求得上式的收斂半徑為1。因此上式n＝0的那一個單值分支叫作的主值。可以求得上式的收斂半徑為1。因此上式n＝0的那一個單值分支叫例3.3.3

在的鄰域把展開（m不是正整數(shù)）。解：先計算展開系數(shù)……例3.3.3在的鄰域把易求其收斂半徑為1，故式中在許多的單值分支中，n＝0那一支即的那一個叫作的主值。上式也就是指數(shù)為非整數(shù)的二項式定理。易求其收斂半徑為1，故式中在許多的單值分支中，n＝0那一支即二、當較復(fù)雜時，求比較麻煩。根據(jù)泰勒展式的唯一性，因此通常用間接展開法，即利用基本展開公式及冪級數(shù)的代數(shù)運算、代換、逐項求導(dǎo)或逐項積分等將函數(shù)展開成冪級數(shù)，基本展開公式如下：二、當較復(fù)雜時，求解：利用有解：利用復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件解：解：解：解：補充泰勒展開的方法1、替換法補充泰勒展開的方法1、替換法解：第二式中令即可解：第二式中令即可2、加減法2、加減法3、多項式乘或除解：將上面兩式直接相乘即可。3、多項式乘或除解：將上面兩式直接相乘即可。解：利用則解：利用則復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件4、化成微分方程法解：于是對上逐次求導(dǎo)有令則依次可得到4、化成微分方程法解：于是對上逐次求導(dǎo)有令3.4解析延拓3.4解析延拓復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)展開課件復(fù)變函