《解三角形》的教學(xué)設(shè)計(jì)

《解三角形》的教學(xué)設(shè)計(jì)高三數(shù)學(xué)備課組姜友糧設(shè)計(jì)了一堂關(guān)于解三角形的課程。教學(xué)目標(biāo)包括掌握正弦定理、余弦定理，通過例題的分析和學(xué)生的自主探究，使學(xué)生掌握解決解三角形有關(guān)問題的通性通法和學(xué)會(huì)尋找解決問題的切入口。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界和實(shí)際生活的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)是邊角的轉(zhuǎn)化，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，教學(xué)難點(diǎn)是應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題，靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理。教學(xué)設(shè)計(jì)分為兩部分。首先進(jìn)行復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生回顧公式，為具體運(yùn)用公式做好必要的知識(shí)鋪墊，對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行梳理，從整體上把握本課題的知識(shí)結(jié)構(gòu)。正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用有兩種類型：一是解三角形中的邊角互化；二是會(huì)利用正弦定理和余弦定理等知識(shí)和方法解決一些測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。類型一是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題。高考對(duì)該內(nèi)容的考查可以是選擇題或填空題，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形問題，多屬于中檔題；也可以是解答題，多是交匯性問題，常常是與三角函數(shù)或平面向量結(jié)合。教師提供了一個(gè)例子，利用向量垂直，求出數(shù)量積為時(shí)的關(guān)系式，利用余弦定理求解即可。經(jīng)過本堂課的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了解決解三角形有關(guān)問題的通性通法和學(xué)會(huì)尋找解決問題的切入口，同時(shí)也培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力。已知三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，其中a=1，b=3，且A+C=2B。求sinC。解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A+B+C=π，又A+C=2B，所以B=π/3。根據(jù)正弦定理可得sinA=a/2b=1/6，又因?yàn)閍<b，所以A的取值為銳角對(duì)應(yīng)的值。由sinA和三角形內(nèi)角和定理可得sinB=sin(π/3-A)=sin(π/3)cosA-cos(π/3)sinA=√3/2cosA-1/2sinA=√3/4，再由sinB和A+B+C=π可得sinC=sin(π-A-B)=sin(π/3)=√3/2。在三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且(2a-c)cosB=bcosC。求(1)角B的大??；(2)若cosA=2/3，a=2，求三角形ABC的面積。解析：(1)將(2a-c)cosB=bcosC轉(zhuǎn)化為角的形式，即(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，進(jìn)一步化簡可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA，所以cosB=sinA/2，又因?yàn)锽為銳角，所以B=π/6。(2)根據(jù)cosA=2/3和a=2可得b=√(a^2+c^2-2accosB)=√(4+c^2-4c/2)=√(c^2-2c+4)，代入(2a-c)cosB=bcosC可得c=4/3。由正弦定理可得sinB=b/2c=√3/9，sinC=c/2b=2/3√3，所以S=1/2absinC=1/2×2×√3/9×2/3√3=1/3。(2)已知兩邊和夾角，如已知a、b和C，先用余弦定理求c，再用正弦定理求較短邊所對(duì)的角，最后用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如已知a、b和A，先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再用正弦定理或余弦定理求c。需要注意解題時(shí)可能存在多種情況．(4)已知三邊a、b、c，可用余弦定理求A、B、C．本節(jié)課主要復(fù)習(xí)了解斜三角形的相關(guān)知識(shí)，包括正弦定理和余弦定理的應(yīng)用。通過本節(jié)課，我們掌握了解決實(shí)際問題的重要數(shù)學(xué)思想，即將問題轉(zhuǎn)化為解三角形，并合理運(yùn)