多體系統(tǒng)的基本力量指標(biāo)

多體系統(tǒng)的基本力量指標(biāo)

近年來(lái)，隨著航空航天技術(shù)、機(jī)械工程、車輛工程、機(jī)械人學(xué)和生物動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，多體動(dòng)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)能力得到了更好的發(fā)展。多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究包括建模方法的研究和數(shù)值算法的研究。目前,Lagrange方法是建立多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的一種普遍方法本文運(yùn)用第一類Lagrange方程建立了平面多剛體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,對(duì)具有光滑固定面約束和光滑柱鉸鏈約束的平面多剛體系統(tǒng)進(jìn)行了分析,應(yīng)用笛卡兒坐標(biāo)1多剛體約束和自由面約束的平面系統(tǒng)模型對(duì)于一般的非樹形平面多剛體系統(tǒng),先解除閉鏈上的某些約束使其變成樹形結(jié)構(gòu),如圖1(a)、圖1(b)所示,先解除剛體9和剛體12之間的約束。設(shè)固連在D設(shè)系統(tǒng)是由p個(gè)剛體和r個(gè)滑塊(視為質(zhì)點(diǎn))組成的具有光滑鉸鏈約束和光滑固定面約束的平面多剛體系統(tǒng)。假設(shè)該系統(tǒng)剛體只受鉸鏈約束,滑塊受鉸鏈約束和固定面約束,且系統(tǒng)無(wú)冗余約束,解除l個(gè)鉸鏈約束和e個(gè)固定面約束后系統(tǒng)為樹形結(jié)構(gòu)。這樣,系統(tǒng)受到u個(gè)鉸鏈約束和r個(gè)固定面約束,其中u=p+l+e。由于滑塊受固定面約束,當(dāng)取笛卡兒坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)q,即用廣義坐標(biāo)(x系統(tǒng)的動(dòng)能為:其中:若第i個(gè)物體為滑塊,則式(1)中沒有設(shè)系統(tǒng)受到的u個(gè)鉸鏈約束和r個(gè)固定面約束均為完整定常理想約束。由于每個(gè)鉸鏈約束可列寫2個(gè)獨(dú)立的約束方程,每個(gè)固定面約束可列寫1個(gè)獨(dú)立的約束方程,所以系統(tǒng)可列寫2u+r個(gè)獨(dú)立的約束方程,寫成矩陣形式為:由第一類Lagrange方法和約束方程可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為:其中:λ=[λ2采用局部方法的方法為了研究系統(tǒng)的理想約束力與Lagrange乘子之間的關(guān)系,本節(jié)利用矢量方法建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,將其與第一類Lagrange方法建立的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行比較,得出理想約束力可以表示成與Lagrange乘子有關(guān)的比較簡(jiǎn)潔的形式。作用在剛體i上的主動(dòng)力系可等價(jià)于作用在剛體i質(zhì)心上的一個(gè)力F將式(3)與式(2)比較可得:由于物體i上受到的主動(dòng)力在慣性坐標(biāo)軸上的投影分別為F除具有奇異位置的多體系統(tǒng)外,方程(5)中的矩陣Φ建立約束方程的兩種常用方法為便于列寫約束方程,應(yīng)對(duì)鉸鏈和固定面進(jìn)行編號(hào):先解除閉環(huán)系統(tǒng)的約束使其變成樹形系統(tǒng),物體i與物體j(i<j)用鉸鏈B對(duì)于光滑鉸鏈,鉸點(diǎn)其中:r在本文中,θ根據(jù)約束條件(6),每個(gè)鉸鏈約束可寫出兩個(gè)獨(dú)立約束方程。每個(gè)固定面約束只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的約束方程。因此,對(duì)于具有u個(gè)鉸鏈約束和r個(gè)固定面約束的系統(tǒng),共有2u+r個(gè)獨(dú)立的約束方程,約束方程按鉸鏈序號(hào)和固定面序號(hào)編寫。由于剛體1用鉸其雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置為:1)設(shè)B由于本文假設(shè)滑塊i受固定面約束,不存在與之用鉸鏈連接的較高序號(hào)剛體j,故物體i只能是剛體。a)若剛體i用鉸鏈B其中:Φb)若剛體i用鉸鏈B2)設(shè)B該約束方程的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置為:其中:Φ3)對(duì)于第v(v=1,2,,r)個(gè)固定面約束,設(shè)其約束方程為g該約束方程的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置為:Φ這樣系統(tǒng)所有約束方程的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置可以表示為:其中:Φ式(5)中的其中:A∈R用矢量方法分析可得,對(duì)于上文提到的情況1)和2),有Φ將矩陣A與Φ寫成矩陣形式為:其中,k=diag(k由上述建立系統(tǒng)約束方程的方法可知,局部方法由鉸鏈的偶對(duì)剛體出發(fā),對(duì)于同一類鉸鏈,約束方程有共性,是一種程式化的方法。并且,應(yīng)用笛卡兒坐標(biāo)描述系統(tǒng)的位形,應(yīng)用局部方法建立系統(tǒng)的約束方程,可使固定面的法向約束力及鉸鏈約束力在慣性坐標(biāo)軸上的投影與Lagrange乘子一一對(duì)應(yīng)。由于Φ由式(8)可以得到物體在構(gòu)成樹形結(jié)構(gòu)的鉸鏈B在解除約束的鉸鏈B滑塊i在固定面v(v=1,2,…,r)所受的約束力為:3局部方法的數(shù)值計(jì)算如圖5所示的曲柄-連桿-滑塊機(jī)構(gòu),曲柄OA長(zhǎng)為l由式(1),系統(tǒng)廣義坐標(biāo)q=[x分別由式(2)和式(3)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可得:其中,[λ由此可知,若采用全局方法建立約束方程,則系統(tǒng)的約束力是Lagrange乘子的線性組合,不能簡(jiǎn)單的僅由一個(gè)Lagrange乘子表示一個(gè)約束力,且約束力不能由約束方程直接得到,給約束力的分析與計(jì)算帶來(lái)困難。若用局部方法建立約束方程,其約束方程可表示為下列形式:由約束方程求出Φ因此鉸鏈O,A,B處的約束力及滑塊的法向約束力的大小可表示為:其中:由此算例可以驗(yàn)證式(8)是成立的。即:采用笛卡爾坐標(biāo)描述系統(tǒng)的位形,并按局部方法的原則建立系統(tǒng)的約束方程,則固定支承面的法向約束力及每個(gè)鉸鏈的約束力在慣性坐標(biāo)上的投影與Lagrange乘子一一對(duì)應(yīng)。下面給出兩種建模方法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,如圖6所示。其中圖6(a)―圖6(d)的第一幅圖中細(xì)實(shí)線分別表示用Lagrange方法建立方程,得到的Lagrange乘子由數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出,兩種方法計(jì)算結(jié)果之間的誤差最大為104建立系統(tǒng)的約束方程應(yīng)用第一類Lagrange方程建立多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程,對(duì)于具有光滑柱鉸鏈約束和光滑固定支承面約束的平面多剛體系統(tǒng),其約束力一般可表示為L(zhǎng)agrange乘子的線性組合,不便于約束力的分析與計(jì)算。本文采用笛卡爾坐標(biāo)描述系統(tǒng)的位形,并按局部方法的原則建立系統(tǒng)的約束方程,證明了由此得到的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中的拉氏乘子與固定支承面的法向約束力及每個(gè)鉸鏈的約束力在慣性坐標(biāo)上的投影一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,便于系統(tǒng)約束力的分析與計(jì)算;若按其他方法建立約束方程,則一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系不成立,給約束力的分析帶來(lái)困難。最后用算例驗(yàn)證了該方法的正確性。并且,當(dāng)選用笛卡兒坐標(biāo)描述系統(tǒng)的位形時(shí),廣義質(zhì)量矩陣M和廣義力Q都有統(tǒng)一規(guī)范的表達(dá)形式,便于方程的建立與計(jì)算。當(dāng)選用局部方法建立約束方程時(shí),對(duì)于同一類鉸鏈,約束方程有共性,是一種程式化的方法。應(yīng)用本文給