上海市南洋模范2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/(x)=2cos?x+e)3>0,0<°W萬)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是()

A.函數(shù)/(x)在一石，一直上單調(diào)遞減

B.函數(shù)/(X)在71,—上單調(diào)遞增

C.函數(shù)“X)的對稱中心是保q，0)(keZ)

D.函數(shù)/(x)的對稱軸是x=^—1|(ZeZ)

2.設(shè)5={%|21+1>0},T={x|3x-5<0},則S?T(

A.0B.C.{x|x>g}D.{x|--<x<-}

23

22

3.已知雙曲線A-2r=1(。>0,。>0)的左、右頂點分別是A8,雙曲線的右焦點尸為(2,0),點P在過戶且垂直

a~b~

于x軸的直線/上，當AA8P的外接圓面積達到最小時，點P恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為()

22

A-r2_=]B.f—匕=i

223

22

4.過雙曲線C:=-4=1（。>08>0）的右焦點尸作雙曲線C的一條弦A8,S.FA+FB=O>若以A8為直徑的圓經(jīng)

a'b'

過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（）

A.近B.石C.2D.6

5.已知復(fù)數(shù)z=W,則I的虛部是（）

1-Z

A.iB.-iC.-1D.1

6.在長方體ABC。-A用G2中，AB=1,AT>=0,A&=6，則直線。2與平面ABC；所成角的余弦值為（）

A百n百「而V10

A.B?C?------n1）.------

2355

7.對于任意xeR,函數(shù)f（x）滿足/（2-幻=一/（幻，且當x..l時，函數(shù)/（x）=GT.若

a===則。，仇c大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

8.已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點。，E分別是邊A8,8C的中點，連接OE并延長到點尸，使得

。石=2￡F,則的值為（）

11511

A.—B.—C.—D.一

8448

9.已知復(fù)數(shù)z滿足Z（l+i）=l—iQ?為虛數(shù)單位），則Z的虛部為（）

A.-iB.iC.1D.-1

10.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：C"?）,則該幾何體的表面積是（）

儕視圖

俯視圖

A.Scm2B.Ucm2C.(475+2)cw2D.(4^+4)c/n2

11.下列判斷錯誤的是()

A.若隨機變量二服從正態(tài)分布N0,4),尸(JW4)=O.78,貝然偌<一2)=0.22

B.已知直線/人平面。，直線機//平面/，貝!]“a/R”是"/_L/n”的充分不必要條件

C.若隨機變量4服從二項分布：百8(4,力，則E(?=l

D.。加是的充分不必要條件

12.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-分，若曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程為y=2x,則實數(shù)a的取值為()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若a=log231=log32，貝！|ab=,lga+\gb=.

14.函數(shù)/(x)=(a-一3(a>1,a/2)過定點.

15.如圖，在正四棱柱A8CD-A4G。中，P是側(cè)棱CG上一點，且￡P(guān)=2PC.設(shè)三棱錐尸一DQ8的體積為匕，

正四棱柱ABCD-^B^D]的體積為V,則孑的值為.

16.已知函數(shù)/(x)=cosx-log2(2x+l)+tix(awR)為偶函數(shù)，貝1Ja=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=3+4/

17.(12分)在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為《一c.，。為參數(shù)).以坐標原點為極點，X軸的正半

y=-2+3/

軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為0?+2。cos。-8=0.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)若點。是直線/的一點，過點。作曲線。的切線，切點為。，求歸。|的最小值.

18.(12分)設(shè)數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，其前〃項和為S“，q=l,若%,%，4成等比數(shù)列?

(1)求明及s“；

(2)設(shè)方“=丁二(〃wN*),設(shè)數(shù)列｛a｝的前〃項和7；,證明：Tn<\.

an+\~A4

x=-3+—

2

19.(12分)在直角坐標系中，直線/的參數(shù)方程為〈.a為參數(shù)).以坐標原點。為極點，x軸的正半

V3

軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為22-4pcos。+3=0.

(1)求/的普通方程及C的直角坐標方程；

(2)求曲線C上的點P至心距離的取值范圍.

20.(12分)已知正實數(shù)a,人滿足a+b=4.

14

(1)求一+一的最小值.

ab

(2)證明：(a+工］+(b+-25

\a)\b)T

x=1+cosa

21.(12分)在平面直角坐標系x。)中，曲線G的參數(shù)方程為：(a為參數(shù))，以。為極點，元軸的正

y=sma

半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為：夕=2百sin6.

(1)求曲線G的極坐標方程和曲線G的直角坐標方程；

(2)若直線/:y=h(Z>0)與曲線C交于。，A兩點，與曲線G交于。，B兩點，求|。山+|0網(wǎng)取得最大值時直

線/的直角坐標方程.

22￡7

22.(10分)設(shè)橢圓C:\+==l(a>b>0)的離心率為半，圓O：/+y2=2與x軸正半軸交于點兒圓。在點

A處的切線被橢圓C截得的弦長為272.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)圓。上任意一點P處的切線交橢圓C于點M,N,試判斷1PM卜|91是否為定值？若為定值，求出該定值；若

不是定值，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)y=/(x)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性逐項判斷即可.

【詳解】

’5乃71

由圖象可得，函數(shù)的周期T=2x="'所以0=彳=2.

方―5

將點(工代入/(x)=2cos(2x+°)中，得2x%+(p=2k兀一三(keZ),解得°=2版■—衛(wèi)(％eZ),由

V3J326

0<(p<7r9可得夕=葛，所以/(X)=2COS12X+K；

令2Z乃<2x+—<2k7i+7i(kGZ),^kn--<x<kn+—(ke7j^

61212<9

S77JT

故函數(shù)y=f(x)在-,^+—(ZeZ)上單調(diào)遞減，

「1711

當上=—1時，函數(shù)y=〃x)在一在肛一五"上單調(diào)遞減，故A正確；

令2k兀一兀幺2x+^-<2keZ),得攵萬一VxW一卷(左GZ),

11yr,4

故函數(shù)y=/'(x)在k兀―-^,1(九一五(左eZ)上單調(diào)遞增.

134197r

當左=2時，函數(shù)y=/(x)在—上單調(diào)遞增，故B錯誤；

令2》+葛=癡+多壯2),得》=寫一看伏eZ),故函數(shù)y=/(x)的對稱中心是住一在j(丘Z),故C

正確;

令2x+%=女乃(&wZ),得x=4—1|(ZwZ),故函數(shù)y=/(x)的對稱軸是x=4—1|(&wZ),故D正確.

故選：B.

【點睛】

本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式，同時也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的判斷，考查推理能力與計算能

力，屬于中等題.

【解析】

集合S,7是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可

【詳解】

S={xH\2x+l)0\=

T={x|3x-5<0}=

則ScT=

故選O

【點睛】

本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

點2的坐標為(2,利)(〃7>0),1211//47歸=1311(/42尸一/8/平)，展開利用均值不等式得到最值，將點代入雙曲線

計算得到答案.

【詳解】

不妨設(shè)點P的坐標為(2,/%)(“>()),由于為定值，由正弦定理可知當sinNAPB取得最大值時，AAP3的外接

圓面積取得最小值，也等價于tanNAPB取得最大值，

因為tanNA尸尸二g一，tanZBPF=^-9

mm

2+。2—a

2a

所以tan/APB=tan(ZAPF-NBPF)=mm

2

2+Q2—ab

14--------m-\---

mmm

當且僅當加=幺（加＞0）,即當m=b時，等號成立，

m

此時NAP5最大，此時的外接圓面積取最小值，

丫22_________

點P的坐標為（2,勾，代入3一2=1可得.=&，匕=后=7=0.

ab

22

所以雙曲線的方程為土-匕=1.

22

故選：A

【點睛】

本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

4.C

【解析】

由E4+EB=0得?是弦A3的中點.進而得A5垂直于x軸，得生=。+。，再結(jié)合a*,c關(guān)系求解即可

a

【詳解】

因為必+所=0,所以F是弦A3的中點.且A3垂直于工軸.因為以A3為直徑的圓經(jīng)過雙曲線。的左頂點，所以

扇「22

—=a+c9即^~—=4Z+C,則。一。=。，故e=—=2.

aaa

故選：c

【點睛】

本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以1+7,進而求得復(fù)數(shù)2,再求出之，由此得到虛部.

【詳解】

z=---=i,z=—i，所以z的虛部為—1.

1-z

故選：C

【點睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查共挽復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

在長方體中A5//￡A，得。。與平面ABC；交于2,過。做。OJLA2于。，可證DO_L平面ABGA，可得

NORA為所求解的角，解RtAADR,即可求出結(jié)論.

【詳解】

在長方體中AB//CR,平面ABC,即為平面ABCR,

過。做。O_LAR于。，QA8_L平面44,。。，

AD^D,

：.DOJ_平面ABC^,NDD]A為。。與平面ABC,所成角,

在Rt^ADD[,DD]-A4t=百,AD-V2,AD,=也>

DD]G岳

cosZDDA-

}礪一石一丁

???直線DD\與平面ABC,所成角的余弦值為半.

故選:C.

【點睛】

本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

由已知可得工?)的單調(diào)性，再由/(2-幻=-/。)可得/。)對稱性，可求出/(x)在(HO,1)單調(diào)性，即可求出結(jié)論.

【詳解】

對于任意xeR,函數(shù)滿足了(2-x)=—/(x),

因為函數(shù)f(x)關(guān)于點(1,0)對稱，

當XN1時，/(x)=J7萬是單調(diào)增函數(shù)，

所以/(x)在定義域R上是單調(diào)增函數(shù).

因為所以

b<c<a.

故選:A.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..

8.D

【解析】

設(shè)氏4=a，BC=b，作為一個基底，表示向量說=gAC=g,-a),DF=^DE=^(b-a],

AF=AD+DF=--a+-(b-a]=--a+-b,然后再用數(shù)量積公式求解.

24、>44

【詳解】

設(shè)8A=。，BC=b，

11/--\33/■\13/-\53-

所以O(shè)E=—AC=-(b-a),DF=-DE=-(b-a],AF=AD+DF=--a+-{b-a]=--a+-b,

22^>24、124V/44

531

所以AFBC=——a-b+-b-b=~.

448

故選：D

【點睛】

本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=l-i,利用復(fù)數(shù)的除法求得二，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.

【詳解】

因為復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=l—i,

所以Z的虛部為—1.

故選：D,

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體的表面積.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為2x2=4.側(cè)面的高為療手=石，所以側(cè)面積為

4xgx2x石=46.所以該幾何體的表面積是（475+4）

故選：D

【點睛】

本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質(zhì)等知識，依次對四

個選項加以分析判斷，進而可求解.

【詳解】

對于A選項，若隨機變量4服從正態(tài)分布N（L〃）,尸偌44）=0.78,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，有

P（JV-2）=P（J24）=1—P（JW4）=1—0.78=0.22,故A選項正確，不符合題意；

對于3選項，已知直線/，平面a,直線機//平面夕，則當a//￡時一定有/，加，充分性成立，而當/_Lm時，不

一定有故必要性不成立，所以“a//￡”是的充分不必要條件，故3選項正確，不符合題意；

對于C選項，若隨機變量J服從二項分布：J則E（J）=〃p=4x；=l,故C選項正確，不符合題意;

對于。選項，am＞bm,僅當加＞0時有。＞6,當機＜0時，不成立，故充分性不成立；若。＞6,僅當加＞0

時有〃利＞加當機＜0時，約口＞力篦不成立，故必要性不成立.

因而的＞物72是4＞人的既不充分也不必要條件，故D選項不正確，符合題意.

故選：D

【點睛】

本題考查正態(tài)分布、空間中點線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質(zhì)等知識，考查

理解辨析能力與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過/(0),求解即可；

【詳解】

/(x)的定義域為(-1,+oo),

因為/(X)=—1---a,曲線y=/(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x,

x+1

可得l-a=2,解得a=-L

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.10

【解析】

①根據(jù)換底公式計算即可得解；

②根據(jù)同底對數(shù)加法法則，結(jié)合①的結(jié)果即可求解.

【詳解】

①由題：a=log23,&^log32,

貝ijah=log23log32=log23=1.

log23

②由①可得：lga+lg"=lgab=lgl=O.

故答案為：①L②0

【點睛】

此題考查對數(shù)的基本運算，涉及換底公式和同底對數(shù)加法運算，屬于基礎(chǔ)題目.

14.(0,-2)

【解析】

令x=0,/(0)=1-3=-2,與參數(shù)無關(guān)，即可得到定點.

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得x=(),函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，

所有/(%)=(。一以-3過定點(0,-2).

故答案為：(0,-2)

【點睛】

此題考查函數(shù)的定點問題，關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.

1

15.-

6

【解析】

設(shè)正四棱柱ABC。-44GA的底面邊長==高A4,=b,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.

【詳解】

解：設(shè)正四棱柱A6CO—AgG2的底面邊長AB=8C=a,高明=b,

則=SABCDx例=a'b,

Vp.“DB=VB-DDP=叫DP.BC=a=

,耳功」即竺」

VABCD-A禺G46V6

故答案為：—

6

【點睛】

本題考查柱體、錐體的體積計算，屬于基礎(chǔ)題.

1

16.-

2

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡求得”的值.

【詳解】

由于“X)為偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),

gpcos(-x)-log2(2-"+1)-OT=COSX-k)g2(2*+1)+3

-x

gpcosx-log,(2+l)-ar=cosx-log2(2"+l)+or,

即log?(2'+1)-log,(2-x+1)-2ax=0,

即log2自8—2以=0,即log?百力又一2依=0,即log2V——26=0,即

log2T-2ax=x-2cLx=(l-2a)x=0,所以1-2。=0,〃=；.

故答案為：7

2

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)3x—4y—17=0,(x+l)2+/=9；(2)見解析

【解析】

(1)消去t,得直線/的普通方程，利用極坐標與普通方程互化公式得曲線C的直角坐標方程；(2)判斷/與圓A相離,

連接AQ,AP,在放AAP。中，|「。|2=|四2一|%。『242-32=7,即可求解

【詳解】

x=3+4/

(1)將/的參數(shù)方程cc(，為參數(shù))消去參數(shù)，得3x—4y—17=0.

[y=-2+3t

x=pcosd、

因為《八，夕~+2夕cos6-8=0,

y-psinO

所以曲線。的直角坐標方程為(x+l)2+y2=9.

(2)由(1)知曲線。是以(一1,0)為圓心，3為半徑的圓，設(shè)圓心為A,

則圓心A到直線I的距離d=上上U1=4>3,

5

所以/與圓A相離，且1P4".

連接AQ,AP,在R/A4PQ中，怛Q『=|PA|2—|AQ|2"2—32=7,

所以，|PQ|NJ7,即歸0的最小值為近.

【點睛】

本題考查參數(shù)方程化普通方程，極坐標與普通方程互化，直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題

2

18.(1)an=2n-l,5?=/?；(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題中條件求出等差數(shù)列｛%｝的首項和公差，然后根據(jù)首項和公差即可求出數(shù)列｛%｝的通項和前〃項和;

(2)根據(jù)裂項求和求出，，根據(jù)的表達式即可證明

【詳解】

(1)設(shè)｛%｝的公差為d,

ci,—1q=l

由題意有｛2

。2=4?。5(q+辦=q?(4+4d)

a=1

且,

d=2

所以%=1+2(〃-1)=2〃一1,

〃(％+%)

=n2；

“一2

4=1邛

(2)因為“

a；+i—14”(〃+1)n+\)

T=-\1———=--------<-

"4(n+l)44(/?+1)4

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列基本量的求解，裂項求和法，屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)百x-y+36=0,*+/-4%+3=0.(2)號

【解析】

*=-3+展

(1)根據(jù)直線/的參數(shù)方程為〈(/為參數(shù))，消去參數(shù)L即可求得的/的普通方程，曲線C的極坐標方

V3

x=pcos0

程為22-4pcos6+3=0,利用極坐標化直角坐標的公式：，,八，即可求得答案;

y="sin"

(2)C的標準方程為(x-2)2+V=I,圓心為C(2,0),半徑為1,根據(jù)點到直線距離公式，即可求得答案.

【詳解】

x=-3+—,

(1)直線/的參數(shù)方程為1廠2。為參數(shù))，消去參數(shù)f

2

；./的普通方程為Gx—y+3G=0.

曲線C的極坐標方程為"_"cos6+3=0,

X-OCOS0

利用極坐標化直角坐標的公式:.八

y=psin3

C的直角坐標方程為f+y2-4x+3=0.

(2)C的標準方程為(x—2)2+y2=i,圓心為C(2,0),半徑為1

二圓心C到,的距離為八咯產(chǎn)考

5百,5百

二點P到/的距離的取值范圍是

22

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是掌握極坐標化直角坐標的公式和點到直線距離公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

9

20.(1)-；(2)見解析

4

【解析】

(1)利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.

(2)直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.

【詳解】

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（1）因為。+/?=4，所以一+7=

ab

因為a>0,h>0,所以2+%..4(當且僅當？=網(wǎng)，即a=&力=§時等號成立),

abab33

所以口5+3+與）…3（5+4）=?

Q+Z?H--1—4H--1—

(2)證明:Q。J_Iab

F—2~

...；x(2+2)=1

因為q+b=4，所以—b—=—(a+b)

ab4

故[a+4]+^+-1...—(當且僅當。=8=2時，等號成立)

Ia)Ib)2

【點睛】

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.

21.(1)曲線C[:0=2cos。，曲線。2：x?+｝一6)=3.(2)y=6x.

【解析】

x=1+cosax-pees6

(1)用《和.消去參數(shù)a即得G的極坐標方程；將夕=26sin。兩邊同時乘以「，然后由

y=sincey-psin0

222

p=x+y,y=psmO解得直角坐標方程.

(2)過極點的直線的參數(shù)方程為。=以,代入到G：o=2cos，和C2：0=28sin。中，表示出

|。4|+|。8|即可求解.

【詳解】

x=1+cosafx=pcosOfpcos^-1=coscif

解：由〈和《"，得《尸八

y=sina[y=psinO[夕sin6=sina

(pcos^-1)2+(夕sin9)2=1,化簡得夕=2cos9

故G：夕=2cos8

將°=26sin。兩邊同時乘以夕，得夕2=2Gpsin，

因為夕*=x2+y2,y=psinO,所以f9一2月y二()

得C2的直角坐標方程。2：/+()，—0丁=3.

(2)設(shè)直線/的極坐標方程6=@[0<e<],0€7?)

\0=(P

由《c八,得|OA|=2cos夕，

p=2cos^

但=9,r

由土廠，得|03|二26sin*

p=2yJ3cos。

故|。4|+10卻=2cos（p+20sin夕=4sin［夕+

當9=?時，|。4|+|。8|取得最大值

此時直線的極坐標方程為：e

其直角坐標方程為：y=&.

【點睛】

考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標方程中。的幾何意義求距離的的最大值方

法；中檔題.

22

22.（1）—+21=1；（2）見解析.

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【解析】

（I）結(jié)合離心率，得至！Ia,b,c的關(guān)系，計算A